专题46 抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质（优练）-2026版高考数学一轮复习讲优练

第7页（共7页）专题专题46抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质

一．选择题（共10小题）1．（2025•山西模拟）若点在以原点为顶点，轴为对称轴的抛物线上，则的方程为A． B． C． D．2．（2025春•建华区期中）设第一象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则A． B．4 C． D．323．（2025春•南宁期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为A．13 B．9 C．11 D．104．（2025春•红河州期末）已知抛物线的焦点为，点在上，则A． B．5 C．4 D．5．（2025•绵阳模拟）已知抛物线的焦点为，是上一点，且△的面积为1．则A．1 B． C．2 D．6．（2025•河北模拟）已知抛物线，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则△的面积为A． B．5 C．2 D．7．（2025•山西二模）已知抛物线的焦点为，准线为．点在上，过作抛物线的切线交准线于点．当△外接圆面积最小时，点的坐标可以是A． B． C． D．8．（2025•惠山区三模）已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，则的最大值为A．2 B．3 C．4 D．69．（2025春•资中县月考）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则A．3 B．6 C．9 D．1210．（2025•丰台区模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则A． B． C．12 D．8二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025•武进区模拟）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，，，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是A． B． C． D．△与△的面积之比为（多选）12．（2025•合肥模拟）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是A．若，则直线的斜率为 B． C．为坐标原点） D．当取最小值时，（多选）13．（2025春•北碚区期末）已知圆和抛物线的准线相切于点，点为圆与抛物线的一个交点，点，分别为圆与抛物线上的动点，则下列选项中正确的是A． B．点到的准线的距离为2 C．直线与抛物线相交 D．若点，则的最小值为3（多选）14．（2025春•宣城期末）已知点是抛物线的焦点，，是过点的弦且，直线的斜率为，，且，两点在第一象限，则A． B．四边形面积的最小值为64 C． D．若，则直线的斜率为三．填空题（共4小题）15．（2025春•邯郸期末）已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是．16．（2025•昭通模拟）已知为坐标原点，为抛物线的焦点．过点作直线交于，两点，轴上一点满足，且，则．17．（2025春•厦门期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则△的面积为．18．（2025•邵阳模拟）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，过直线上一点（点不在轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交轴于，两点，则△外接圆的面积的最小值为．四．解答题（共6小题）19．（2025春•保山期末）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合．（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设点是抛物线准线上一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．求证：直线过定点，并求该定点的坐标；以线段为直径的圆与抛物线的准线相切于点．20．（2025春•玉溪期末）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线．（1）求；（2）若直线与交于点，求三角形的面积；（3）求到的准线的距离与到的距离之和的最小值．21．（2025春•会宁县期末）已知直线与抛物线相切，且切点为．（1）求直线的斜率的值；（2）如图，，是轴上两个不同的动点，且满足，直线，与抛物线的另一个交点分别是，，若直线的斜率为，求的值．22．（2025•甘肃三模）已知过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，△的面积为．（1）求抛物线的方程；（2）若为△的重心，直线，分别交轴于点，，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．23．（2025春•北碚区期末）已知曲线到两个定点和的距离和为定值4．（1）求的方程；（2）过点的直线（斜率存在且不为与交于，两点，关于轴的对称点为．已知．证明：、、三点共线；求的取值范围．24．（2025春•浙江月考）位于第一象限的一点，满足，过作的切线，切点为，且满足，设，为关于的对称点．（1）证明：；（2）．若过的另一条切线切于，设为关于的对称点，如此重复进行下去，若为关于切点的对称点，设，，证明：为等差数列．．由所设且，求的值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AADBCABACD二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCDABDABDACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】根据题意可设抛物线的方程为，再根据其过点，从而建立方程，即可求解．【解答】解：根据题意可设抛物线的方程为，又其过点，所以，所以，所以抛物线的方程为．故选：．2．【答案】【分析】由抛物线的方程可得准线方程，由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得的值，将点的坐标代入抛物线的方程可得的值．【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程，由抛物线的性质可得，所以，将的坐标代入抛物线的方程：，所以，又因为在第一象限，所以，故选：．3．【答案】【分析】根据抛物线与圆的几何性质，即可求解．【解答】解：因为抛物线方程为，所以，所以，又圆的圆心为，半径，所以，当且仅当，，，共线，且平行轴时等号成立，所以的最小值为10．故选：．4．【答案】【分析】根据条件，求得，再利用抛物线的定义，即可求解．【解答】解：已知抛物线的焦点为，点在上，则，解得．由抛物线的方程可知，准线方程为，焦点，则点到准线的距离为，由抛物线的定义得．故选：．5．【答案】【分析】由题意可得，设，，结合△的面积可得，进而求得，再根据抛物线的定义求解即可．【解答】解：已知抛物线的焦点为，是上一点，且△的面积为1，则，设，，则，则，即，将代入，得，根据抛物线的定义，．故选：．6．【答案】【分析】利用导数求出直线的方程为，与抛物线方程联立得到，结合韦达定理求出，再求出点到直线的距离为，利用面积公式即可求解．【解答】解：设，，，，由，得，所以，所以，所以点处的切线方程为，又因为点，在上，所以，所以得到点处的切线方程为，又因为点处的切线过点，所以．同理可得，所以直线的方程为，联立，整理得，所以，，所以，点到直线的距离为，所以．故选：．7．【答案】【分析】设，，求导，由导数的几何意义求出切线方程，得到根据向量数量积为得到方程，求出为直角，为△外接圆的直径，表达出换元后，利用导数求单调性，得到函数最小值，得到外接圆的面积最小，此时点，得到答案．【解答】解：设点，，由抛物线方程得，则，所以，则过的抛物线的切线方程为：，即，又抛物线的准线方程为，故中，令得，可得点，又，所以，，所以，所以，即为直角，为△外接圆的直径，因为，则．令，则可得，所以，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极小值，也是最小值，即所求外接圆的面积最小，此时点．故选：．8．【答案】【分析】由抛物线的性质可得：，又，则，然后结合基本不等式求解即可．【解答】解：已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，由抛物线的性质可得：，又，则，当且仅当时取等号，即，即的最大值为2．故选：．9．【答案】【分析】由抛物线的定义，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系求解即可．【解答】解：已知抛物线的焦点为，则，即直线的方程为，其中，联立，消可得：，设，，，，则，又，则，即，则，则，又，则，即．故选：．10．【答案】【分析】由抛物线定义结合得到△为等边三角形，进而得到，设准线与轴交点为，求出，再由锐角三角函数求出，即可得解．【解答】解：已知抛物线的焦点为，准线为，则，准线为，又与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，由抛物线定义可知，则△为等边三角形，故，，所以，设准线与轴交点为，则，故，所以．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和即可判断选项；进而求出点和和即可计算求解判断．【解答】解：因为，所以，且，则在第二象限，在第一象限，且，联立，则，所以或（舍去），所以抛物线，，，所以可得，，所以，直线与轴交于点，所以，所以，所以错误，正确．故选：．12．【答案】【分析】设直线的方程，并与抛物线联立，由抛物线的定义、韦达定理及基本不等式依次对每一选项进行判断即可求解．【解答】解：对于，依题意得，设直线，，，，，联立，消去得，则，，则，解得或，则，或，则直线的斜率，故正确；对于，，当且仅当时等号成立，故项正确；对于，因为，所以，故项错误；对于，依题意有，抛物线的准线方程为，所以，，则，由抛物线的定义可得，，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，故项正确．故选：．13．【答案】【分析】由抛物线的性质求得判断，根据抛物线的定义判断，由直线与抛物线的位置关系判断，根据抛物线的定义与圆的性质判断．【解答】解：对于，因为的准线与圆相切，则，即，故正确；对于，由可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点到的准线的距离等于，故正确；对于，点，设，，则由选项知，，可得，所以，抛物线方程对应函数为，导函数为，则点处的切线斜率为，则直线与抛物线相切，故错误；对于，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值，过点作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点到准线的距离，即为5，则最小值为，故正确．故选：．14．【答案】【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长，同理可得的值，由均值不等式可得四边形的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【解答】解：由抛物线的方程可得焦点，由题意可得直线，的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，联立，整理可得：，显然△，，，，，所以，故正确；由于，所以将中的换成，代入中得，，，当且仅当时等号成立，故错误；可得弦，所以，故正确；设，，，，若，即，即，解得，即，而直线的斜率，所以直线的斜率为，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】3．【分析】将问题转化为抛物线的焦点到直线的距离，即可求解．【解答】解：如图，因为抛物线，所以抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，点到点的距离等于点到直线的距离，因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，为点到直线的距离，即．故答案为：3．16．【答案】．【分析】由平面向量数量积的运算，结合抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系求解即可．【解答】解：已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则，又，则△△，且，设直线的方程为，联立，消可得：，则，，又，则，，即，，又，则，，则．故答案为：．17．【答案】8．【分析】由题意，设出点的坐标，利用抛物线的定义求解即可．【解答】解：设位于第一象限，此时，解得，所以，，则△的面积．故答案为：8．18．【答案】．【分析】由题意，设切线，与抛物线分别切于点，，求出直线，的方程，将直线方程联立，求出点的坐标，根据向量的坐标运算求出，，，四点共圆，且△的外接圆的直径为，此时即为点到直线的距离，代入求解即可．【解答】解：设切线，与抛物线分别切于点，，设，，因为抛物线的方程为，可得，此时，，所以直线，同理得，直线，联立，解得，即，又，此时，，可得，同理得．所以，，所以，，，四点共圆，且△的外接圆的直径为，此时即为点到直线的距离，距离为2，即，所以△的外接圆半径最小值为1，则△的外接圆面积的最小值．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1），；（2）证明见解析，定点；证明见解析．【分析】（1）由题意列方程求得，，可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程；（2）由题意可设可设，，，，，分析得知直线的方程为，令即可得证；联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可．【解答】解：（1）设椭圆焦距为，因为椭圆心率为，长轴长为4，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为，其上顶点坐标为，因为抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，所以，即，所以抛物线的方程为．（2）由（1）知，抛物线的准线方程为，则设，由得，求导得．设，，，，因为点在抛物线上，所以，抛物线在，处的切线方程为，即．因为在切线上，所以①，同理可得②，由①②得、的坐标满足方程，所以直线的方程为，令，则，所以直线恒定点，定点坐标为．联立，消去得，所以，则线段的中点为，，又，所以与抛物线的准线垂直，且，故以线段为直径的圆与抛物线的准线相切于点．20．【答案】（1）2；（2）；（3）2．【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，设出直线方程，联立并写出韦达定理，根据中点坐标公式，可得答案；（2）联立直线方程求交点，利用三角形的面积公式，可得答案；（3）由题意作图，由图中的线段组合以及三角形三边关系，利用点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：（1）因为抛物线的焦点，则，又直线过焦点，且倾斜角为，所以设为，设，，，，，联立，得，△，，解得．（2）因为，联立，则，解得，所以．（3）由（1）得的方程为，由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，联立，得：，由，得与相离，设，，分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接，，所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离，即．21．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程得，令△，即可得出答案．（2）由题知，两直线，的斜率互为相反数，设直线的方程为，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，进而可得点的坐标，同理可得点的坐标，进而可得答案．【解答】解：（1）根据题意设直线的方程为，联立抛物线的方程得，令△，得，解得．（2）由题知，两直线，的斜率互为相反数，设直线的方程为，联立，得，所以，即，所以，，将换成，得，，所以．22．【答案】（1）；（2）．【分析】（1