现代控制理论 课件 第6-9章 状态反馈和状态观测器-线性系统的状态空间分析与综合

第六章状态反馈和状态观测器第六章目录CONTENTS1236.1.状态反馈与极点配置6.2.状态观测器设计6.3.带有观测器的状态反馈系统的设计6.1状态反馈与极点配置6.1.16.1.3状态反馈的概念状态反馈闭环系统可控性与可观测性6.1.2状态反馈极点配置方法6.1.4状态反馈与系统的镇定为维参考输入向为时，称之为线性直接状态反馈，简称为状态反馈，其中6.1.1

状态反馈的概念设有n维线性定常系统当将系统的控制量u取为状态变量的线性函数维实反馈增益矩阵。可得状态反馈系统动态方程

在系统的综合设计中，两种常用的反馈形式是线性直接状态反馈和线性非动态输出反馈，简称为状态反馈和输出反馈。量，由式可以看出，引入状态反馈后系统的输出方程没有变化。其传递函数矩阵为因此可用来表示引入状态反馈后的闭环系统。加入状态反馈后系统结构图如图6-1所示。6.1.1

状态反馈的概念

系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了限制。在此情况下，人们常常采用输出反馈法。输出反馈的目的首先是使系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统性能。

输出反馈有两种形式：一种是将输出量反馈至状态微分，另一种是将输出量反馈至参考输入。输出反馈系统的动态方程为其传递函数矩阵为6.1.1

状态反馈的概念

输出量反馈至状态微分的系统结构图6.1.1

状态反馈的概念

当将系统的控制量

取为输出的线性函数时，称之为线性非动态输出反馈，常简称为输出反馈,其中

将式代入式可得输出反馈系统动态方程其传递函数矩阵为6.1.1

状态反馈的概念维参考输入向量，为这是一种最常用的输出反馈为维实反馈增益矩阵。6.1.2

状态反馈极点配置方法1、极点可配置条件

这里给出的极点可配置条件既适合于单输入-单输出系统，也适合于多输入-多输出系统。

1）利用状态反馈的极点可配置条件

利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。证明下面就单输入-多输出系统来证明本定理。这时被控系统中的B为一列向量，记为b。先证充分性：若系统可控，则通过非奇异线性变换可变换为可控标准型式在单输入情况下，引入状态反馈其中则引入状态反馈后闭环系统的状态阵为6.1.2

状态反馈极点配置方法

对于上式这种特殊形式的矩阵，容易写出其闭环特征方程

显然，该n阶特征方程中的n个系数，可通过来独立设置，也就是说的特征值可以任意选择，即系统的极点可以任意配置。必要性：如果系统不可控，就说明系统的有些状态不受的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控制来影响不可控的极点。证毕。6.1.2

状态反馈极点配置方法2）利用输出反馈的极点可配置条件

用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统图可观测。

证明

下面以多输入—单输出系统为例给出定理的证明。根据对偶定理可知，若被控系统

可观测，则对偶系统

可控，由状态反馈极点配置定理知

的特征值可任意配置，

为

输出反馈向量。由于

的特征值与

的特征值相同，故当且仅当系统

可观测时，可以任意配置

的特征值。证毕。6.1.2

状态反馈极点配置方法

对于多输入—单输出被控系统来说，当采用输出至参考输入的反馈时，反馈增益矩阵

为

维，记为向量

，则

输出反馈系统的动态方程为

若令

，该输出反馈便等价为状态反馈。适当选择

，可使特征值任意配置。但是当比例的状态反馈变换为输出反馈时，输出反馈中必定含有输出量的各阶导数，于是

向量不是常数向量，这会给物理实现带来困难，因而其应用受限。可推论，当

是常数向量时，便不能任意配置极点。6.1.2

状态反馈极点配置方法第5步：比较多项式以

与

，令其对应项系数相等，可确定状态反馈增益向量

。第4步：计算状态反馈系统的特征多项式第3步：由要求配置的闭环极点，求出希望特征多项式第2步：检验的可控性。若，则转下步。第1步：列写系统状态方程及状态反馈控制律对于具体的可控单输入—单输出系统，求解实现希望极点配置的状态反馈向量时，不必证明那样去进行可控标准型变换，只需要运行如下简单算法。6.1.2

状态反馈极点配置方法2、单输入—单输出系统的极点配置算法式中：

应当指出，应用极点配置方法来改善系统性能，有以下需要注意的方面。（1）配置极点时并非离虚轴越远越好，以免造成系统带宽过大使抗扰性降低。（2）状态反馈向量露中的元素不宜过大，否则物理实现不易。（3）闭环零点对系统动态性能有影响，在规定希望配置的闭环极点时，需要充分考虑闭环零点的影响。（4）状态反馈对系统的零点和可观测性没有影响，只有当任意配置的极点与系统零点存在对消时，状态反馈系统的零点和可观测性质将会改变。以上性质适用于单输入-多输出或单输出系统，但不适用于多输入-多输出系统。6.1.2

状态反馈极点配置方法例6-1已知单输入线性定常系统的状态方程为求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为解：系统的可控矩阵为系统可控，满足极点可配置条件。系统的希望特征多项式为6.1.2

状态反馈极点配置方法

令于是有可求得6.1.2

状态反馈极点配置方法试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为-2，，闭环系统结构图如图所示。例6-2某受控对象的传递函数为

6.1.2

状态反馈极点配置方法解：（1）因为传递函数没有零，极点对消现象，所以受控系统是能控能观测的。由传递函数直接写出它的能控标准Ⅰ型（2）加入状态反馈阵，求闭环系统特征多项为（3）根据给定极点，求期望特征多项式（4）比较与各对应项系数,可解出6.1.2

状态反馈极点配置方法

例6-3试设计图6-5所示系统中的反馈矩阵，使闭环系统满足下列动态指标（1）输出超调量（2）调整时间6.1.2

状态反馈极点配置方法是能控的。化

为能控标准型解（1）求出受控系统的状态空间方程而

而6.1.2

状态反馈极点配置方法变换矩阵的逆，为二阶系统的阻尼系数，为自振频率。为计算方便选，

（3）确定闭环系统的期望极点。由于对象为3阶系统，因此，期望的极点数为3。选其中一对为主导极点，，另一个为远极点，并且认为系统的性能主要由主导极点，决定，远极点的影响可忽略。根据二阶系统性能指标公式，由，，求出，（2）状态反馈闭环系统的特征多项式，求出为6.1.2

状态反馈极点配置方法，由此可得主导极点为远极点应选择得使其和原点距离大于5，取。从而期望特征多项式为

（4）求状态下的反馈矩阵。令

求出（5）把化成对于原状态的反馈矩阵6.1.2

状态反馈极点配置方法说明几点：（1）定理适用于单输入---单输出系统，而且也适用于单输入---多输出、多输入---单输出和多输入---多输出系统。（2）对于单输入量系统的状态反馈矩阵是一个维行向量，且有唯一解。而对于多输入系统的状态反馈矩阵是一个维矩阵，为输入量的个数，且解不是唯一的。因此，对于多输入---多输出系统采用状态反馈综合变得较复杂。

(3）单输入---单输出系统由状态反馈进行闭环极点配置时，不会改变传递函数的零点（除非有意制造零、极点对消）。而对于多输入---多输出系统由状态反馈进行闭环极点配置时，传递矩阵各元素的零点则可能会改变。6.1.2

状态反馈极点配置方法6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

由于引入反馈，系统的系数矩阵发生了变化，对系统的可控性、可观测性、响应特性等均有影响。对于系统，状态反馈的引入不改变系统的可控性。证明:设被控系统的动态方程为

加入状态反馈后系统的动态方程为

首先证明状态反馈系统

可控的充分必要条件是被控系统可控。系统的可控性矩阵为系统的可控性矩阵为6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性由于式中，为列向量。将表示为行向量组，则

令，，…，式中，均为标量。故这说明的列是列的线性组合。同理有

的列是

列的线性组合，如此等等。故的每一列均可表为的列的线性组合。由此可得另一方面，又可看成为的状态反馈系统，即

6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

同理可得由式(6-32)和式(6-33)可得

从而当且仅当可控时，可控。证毕。

应当指出，状态反馈系统不一定能保持可观测性，对此只需举一反例说明。例如，考察其可观测性判别阵

故该系统可观测。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

现引入状态反馈，取，则状态反馈系统为

其可观测性判别阵

故该状态反馈系统为不可观测。若取，则通过计算可知，此时它是可观测的。这表明状态反馈可能改变系统的可观测性，其原因是通过状态反馈造成了所配置的极点与零点相对消。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

对于系统(6-1)，输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性。

证明用对偶定理证明。设被控对象为，将输出反馈至状态微分的系统为，若可观测，则对偶系统可控，由定理可知，系统

加入状态反馈后的系统的可控性不变，因而有6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性上式表明，原系统与原系统可观测性判别阵的秩相等，这意味着若可观测，则也是可观测的，表明输出至状态微分反馈的引入不改变系统的可观测性。证毕。

显然，由于对偶系统的可观测性判别阵为6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性加入状态反馈后的对偶系统的可观测性判别阵为由定理知，系统加入状态反馈后有可能使得:

因为也是系统的可控性判别阵，又是系统的可控性判别阵，式(6-36)表明，输出至状态微分的反馈有可能改变系统的可控性。

对于系统(5-1),如图6-1所示，输出至参考输入反馈的引入能同时不改变系统的可控性和可观测性，即输出反馈系统为可控(可观测)的充分必要条件是被控系统为可控(可观测)。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性

证明首先，由于对任意输出至参考输入的反馈系统都能找到一个等价的状态反馈系统，知状态反馈可保持可控性，因而输出至参考输入反馈的引入不改变系统的可控性。由于和的可观测性判别阵分别为6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性并且式中，为行向量将表示为列向量组即，则6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性令式中

，为标量，，则有该式表明的行是的行的线性组合。同理有

的行是的行的线性组合，如此等等。故的每一行均可表为的行的线性组合，由此可得

由于又可看成为的输出反馈系统，因而有

由式(6-29)和式(6-30)可得

这表明输出至参考输入的反馈可保持系统的可观测性。

证毕。6.1.3

状态反馈闭环系统可控性与可观测性6.1.4状态反馈与系统的镇定如果n维线性定常系统状态完全能控，则采用状态反馈可以任意配置的n个极点。对于完全能控的不稳定系统总可以求得线性状态反馈阵K，使系统变为渐近稳定，即的特征值均具有负实部，这就是系统的镇定问题。假如状态不完全能控,那么有多少个特征值可以配置？哪些特征值可以配置呢?系统在什么条件下是可以镇定的?设n阶线性定常系统的状态空间表达式为当系统式状态不完全能控时，能控性矩阵的秩，其中可控性矩阵为。对其状态方程进行能控性分解，经线性变换其状态方程变为或者变为约当型状态方程。则n维状态方程是状态完全能控的。6.1.4状态反馈与系统的镇定方阵的个特征值为能控因子，而方阵的个特征值为不能控因子。所以，当状态不完全能控时，其中的维能控子系统采用状态反馈，可以配置的个特征值，计算出1×

状态反馈矩阵。而维不能控子系统的个状态是不能控的，显然不能采用状态反馈配置其特征值。6.1.4状态反馈与系统的镇定若不稳定的线性系统式是状态完全能控的,则一定存在线性状态反馈阵K,实现系统的镇定。若线性系统式的状态是不完全能控的,则存在线性状态反馈阵K,实现系统镇定的充分必要条件是：系统的不能控部分为渐近稳定。镇定问题实际上是极点配置问题的一种特殊情况,与n个极点配置的问题相比，镇定问题的条件是较弱的。6.1.4状态反馈与系统的镇定例6-4

被控系统的状态方程为解被控系统的状态方程为对角型，b中第三行的元素为0，可直接得出的状态不完全能控，有两个状态是能控的，即的秩为2。或者由下列计算获得：求该系统的反馈矩阵。6.1.4状态反馈与系统的镇定被控系统中的2维能控子系统的状态方程为由于不稳定的特征值，，它们是属于2维能控子系统的特征值，而不能控子系统的特征值是稳定的。因此，被控系统式是可镇定的，采用状态反馈可以将2维能控子系统的2个不稳定特征值配置为期望稳定的特征值。6.1.4状态反馈与系统的镇定设指定的期望特征值为，则2维能控子系统的期望特征多项式为引入状态反馈：

1×2状态反馈矩阵为

2维状态反馈子系统的特征多项式为两特征多项式应相等，它们的同次幂项系数相等，得到配置2维能控子系统的特征值为期望值时，1×2状态反馈矩阵6.1.4状态反馈与系统的镇定结论

例6-4中的能控子系统是直接从原状态方程分解得来的，因此所得K，就是K。如果能控子系统是经过线性变换后分解得来的，对能控子系统加状态反馈实现极点配置和镇定后，再把不能控子系统和镇定后的能控子系统合起来，进行线性反变换，求得从原状态变量反馈的K和闭环系统的状态方程。假如不稳定的线性系统式是状态完全能观测的，则一定存在从输出到状态向量导数的线性反馈，实现系统的镇定。假如线性系统式的状态是不完全能观测的，则从输出到状态向量导数的线性反馈，实现系统镇定的充分必要条件是:系统的不能观测部分为渐近稳定的。6.1.4状态反馈与系统的镇定例6-5

已知系统的状态方程为试判别系统是否为可镇定的，若是可镇定的，试用状态反馈使闭环系统为渐近稳定。解（1）判别系统的可控性因此系统为不完全能控。6.1.4状态反馈与系统的镇定（2）能控性结构分解非奇异变换阵为变换后系统的状态方程：

显然不能控的子系统为

则子系统是稳定的，故原系统是可镇定的。6.1.4状态反馈与系统的镇定（3）使系统成为渐近稳定

对能控子系统引入状态反馈，反馈矩阵为能控子系统的闭环特征多项式为根据劳斯稳定判据，要使系统稳定，应有（4）求原系统状态反馈阵K即6.1.4状态反馈与系统的镇定若保证系统渐近稳定而采用的反馈方式是输出反馈，则称该系统是输出反馈能镇定的。对于受控系统，采用输出反馈能镇定的充要条件是其能控能观子系统以外的各子系统为渐近稳定的。实际上，对输出反馈至参考输入信号入口处的这类系统是不能保证一定具有能镇定的。因为对一个能控能观测的系统是不能通过这类输出线性反馈达到任意极点配置的。

应用输出至输入的线性反馈，不一定能实现极点的任意配置。同样，也只能在一定条件下对某些系统实现镇定，不是对所有的能控和能观测的系统都能实现镇定。下面举例说明。总结6.1.4状态反馈与系统的镇定例6-6

有单输入双输出系统判断该系统的观测性以及选择H完成极点配置。解

其特征多项式为显然系统是不稳定的。6.1.4状态反馈与系统的镇定能观测性矩阵的秩为3，系统的状态完全能观测。但系统是完全能控的，因为能控性矩阵其秩为3。同时，矩阵6.1.4状态反馈与系统的镇定加入输出至输入的反馈，反馈阵，其中和是标量值。引入反馈后闭环系统式的系统矩阵为上式缺项，所以无论怎么选择，均不能使系统稳定，更谈不上极点的任意配置。闭环系统的特征多项式为6.1.4状态反馈与系统的镇定6.2状态观测器设计6.2.16.2.3状态观测器原理状态观测器存在条件6.2.2状态观测器构成6.2.4状态观测器的设计利用状态反馈能够任意配置一个能控系统的闭环极点，从而有效地改善控制系统的性能。现代控制理论中，按各种最优准则建立起来的最优控制系统，以及本章所介绍的极点配置、解耦控制等，都离不开状态反馈。然而系统的状态变量并不都是易于直接能检测得到的，有些状态变量甚至根本无法检测，使得状态反馈的物理实现遇到困难。这样，就提出所谓状态观测或者状态重构的问题。利用重构的状态去代替系统的真实状态来实现所需的状态反馈。状态重构问题的实质就是构造一个新的系统（或装置），利用原系统中可直接测量的输入量u和输出向量y作为它的输入信号，并使其输出信号t在一定的提法下等价于原系统的状态t。6.2.1状态观测器原理对于线性定常系统，状态观测器通常也是一个线性定常系统，按其结构可分为全维状态观测器和降维状态观测器。维数等同于原系统维数的观测器为全维观测器，维数小于原系统的称为降维观测器。通常称为的重构状态或状态估计值，称这个用以实现状态重构的系统为状态观测器。一般和之间的等价性常用渐进等价的提法，两者有如下关系6.2.1状态观测器原理6.2.2状态观测器构成当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。由于多数状态变量难以测得，提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器来重构状态的问题。当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数时，称为全维状态观测器。设被控对象动态方程为：可构造一个动态方程与上式相同但用计算机实现的模拟被控系统

分别为模拟系统的状态向量和输出向量，是被控对象状态向量和输出向量的估值。当模拟系统与被控对象的初始状态向量相同时，在同一输入作用下，有，可用作为状态反馈所需用的信息。但是，被控对象的初始状态与设定值之间可能大不相同，模拟系统中积分器初始条件的设置又只能预估，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个系统的A,B,C矩阵完全一样，也必定存在估计状态与被控对象实际状态的误差，难以实现所需要的状态反馈。而被控系统的输出量总是可以用传感器测量的，于是可根据一般反馈控制原理，将负反馈至处，控制尽快逼近于零，从而使尽快逼近于零，便可以利用来形成状态反馈。6.2.2状态观测器构成根据上述原理构成的状态观测器及其实现状态反馈的结构图如下，状态观测器有两个输入，即u和y，输出为。观测器含n个积分器并对全部状态变量作出估计。H为观测器输出反馈阵，它把负反馈至处，是为配置观测器极点，提高其动态性能，即尽快使逼近于零而引入的。6.2.2状态观测器构成6.2.3状态观测器存在条件1.证明渐近稳定对线性定常系统，状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定。证明：（1）设不完全能观，可进行能观性结构分解。不妨设

已具有能观性分解形式。即为能观子状态；为不能观子状态;

为能观子系统；为不能观子系统。（2）构造状态观测器设为状态

x的估值，为调节渐近于x的速度的反馈增益矩阵。得到观测器方程:或定义为状态误差矢量，可导出状态误差方程:6.2.3状态观测器存在条件（3）确定使渐近于的条件由上式，得:通过适当选择，可使的特征值均具负实部，因而有:同理，可得其解为:6.2.3状态观测器存在条件由于，因此仅当，才对任意和，有：而与特征值均具有负实部等价。只有当的不能观子系统渐近稳定时，才能使。定理得证。6.2.3状态观测器存在条件2.观测器存在条件由图所示可列出全维状态观测器动态方程为故有观测器系统矩阵下，即尽管与不同，但总能保证成立，只有满足该条件，状态反馈系统才能正常工作，式①所示系统才能作为实际的状态观测器，故被称为观测器存在条件。①观测器分析设计的关键问题是能否在任何初始条件6.2.3状态观测器存在条件由和可得其解为6.2.3状态观测器存在条件显见，当时，恒有，所引入的输出反馈并不起作用。当时，有，输出反馈便起了作用，这时只要的特征值具有负实部，初始状态向量误差总会按指数衰减规律足，其衰减速率取决于观测器的极点配置。由前面的输出反馈定理知，若被控对象可观测，则的极点可任意配置，以满足逼近的速率要求，因而保证了状态观测器的存在性。6.2.3状态观测器存在条件状态向量x的重构问题实质上就是根据可直接测量的u和y以及矩阵A,B,C来确定或者产生

的估计值。其状态空间表达式为。并且从所构造的这一装置可以直接测量。这样的装置称为开环状态估计器。然而在工程实际中,这种开环状态估计器是不能付诸使用的,因为它存在如下缺点：（1）每使用一次，都必须重新确定原系统的初始状态并对估计器实施设置，这是极不方便也是极不现实的；（2）若矩阵A具有正实部的特征值，则在某时刻，往往由于干扰或初始状态估计不精确会导致与之间有稍许偏差。随着时间的推移，两者之间的差值将会越来越大，以至达到无穷大。6.2.3状态观测器存在条件若被控系统可观测，则其状态可用形如的全维状态观测器给出估值，其中矩阵H按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。选择H矩阵参数时，应注意防止数值过大带来的实现困难，如饱和效应、噪声加剧等，通常希望观测器响应速度比状态反馈系统的响应速度要快些。6.2.4状态观测器的设计例6-7

设被控对象传递函数为

试设计全维状态观测器，将极点配置在-10，-10。解对象的传递函数为根据传递函数可直接写出系统的可控标准型为6.2.4状态观测器的设计

显然，系统可控可观测。输出反馈向量

为2×1向量。全维状态观测器系统矩阵为观测器特征方程为其中6.2.4状态观测器的设计期望特征方程为令两特征方程同次项系数相等，可得：

因而有

。，分别为由

引至和的反馈系数。

6.2.4状态观测器的设计6.3带有观测器的状态反馈系统的设计6.3.1带有观测器的状态反馈系统的构成6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法

状态观测器解决了被控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接量测的系统实现状态反馈创造了条件。

然而，这种依靠状态观测器所构成的状态反馈系统和直接进行状态反馈的系统之间究竟有何异同?6.3.1带有观测器的状态反馈系统的构成

现在要用状态反馈改善系统的性能，而状态变量信息是由观测器提供的，这时,整个系统便由三部分组成，即被控系统、观测器和控制器。图6-7所示是一个带有全维状态观测器的状态反馈系统。图6-7带状态观测器的状态反馈系统状态反馈控制规律为状态观测器方程为由以上三式可得整个闭环系统的状态空间表达式为：设能控能观测的被控系统为可将其写成分块矩阵的形式或6.3.1带有观测器的状态反馈系统的构成6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法1.

闭环极点设计的分离性和状态变量之间的关系将式(6-41)作非奇异线性变换,就能得到式(6-42)，而非奇异线性变换并不改变系统的特征值。因此根据式(6-42)便可得到组合系统式(6-41)的特征多项式为

观测器构成状态反馈的闭环系统，其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式

和观测器部分的特征多项式

的乘积，而且两者相互独立。

因此,只要系统能控能观测，则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵L可分别根据各自的要求，独立进行配置。这种性质被称为分离特性。同样可以证明,用降维观测器构成的状态反馈系统也具有分离特性。6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法2.传递函数矩阵的不变性

因非奇异线性变换同样不改变系统的输入和输出之间的关系，所以组合系统式的传递函数阵同样可由式(6-50)求得，即根据分块矩阵的求逆公式：6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法

上式表明,带观测器的状态反馈闭环系统的传递函数阵等于直接状态反馈闭环系统的传递函数阵。或者说,它与是否采用观测器反馈无关。6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法3.观测器反馈与直接状态反馈的等效性

可看出,通过选择

L阵,可使

A-LC的特征值均具有负实部，所以必有

。成立

只有当

，进入稳定时,才会与直接状态反馈系统完全等价。但是可通过选择

L阵来加快

的进度。

6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法被控系统的传递函数为

用状态反馈将闭环系统极点配置为-4±j6，并设计实现这个反馈的全维及降维观测器。例6-8

6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法解：（1）由传递函数可知,此系统能控又能观测，因而存在状态反馈及状态观测器。下面根据分离特性分别设计

K阵和L阵。（2）求状态反馈阵K。

为方便

K阵和降维观测器的设计,可直接写出系统的能控标准型实现，即再令将闭环特征多项式与期望特征多

项式比较s的同次幂系数得到即6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法

（3）求全维观测器：

为了使观测器的状态变量

能较快地趋向原系统的状态变量

且又考虑到噪声过滤及L阵系数值不要太大,一般取观测器的极点离虚轴的距离比闭环系统期望极点的位置大2～3倍为宜。本例取观测器的极点位于-10处。设则观测器的特征多项式为与期望特征多项式比较s的同次幂系数,得6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法全维观测器方程为其结构图如图所示：6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法（4）求降维观测器。只要设计一个一维观测器即可。设降维观测器的极点为-10,因为故降维观测器的特征多项式为6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法与期望特征多项式比较得即降维观测器方程为6.3.2带有观测器的状态反馈系统的设计方法THANKS!第七章

线性离散时间系统的状态空间分析

主讲：线性离散时间系统的状态空间分析如何从差分方程或系统函数推导出状态空间模型，以及状态空间描述的等价变换，如状态变量的非唯一性和状态空间模型的规范化。通过迭代法、矩阵指数法以及状态转移矩阵等方法，高效地求解状态方程，进而预测系统在未来时刻的状态。可观性与可观测性是评估系统能否通过输出信息完全确定其内部状态的关键指标。本章内容分为三个核心部分，旨在构建一个从理论到实践的完整框架，帮助掌握线性离散时间系统的状态空间描述、求解方法以及系统性能分析的关键技能。1237.1.线性系统的状态空间描述7.2.线性离散时间系统状态方程的解7.3.线性离散时间系统的可观性与可观测性第七章目录CONTENTS7.1线性系统的状态空间描述7.1.1状态空间表达式的一般形式7.1.2离散化在连续时间系统状态空间中的定义7.1引言在现代控制理论中，系统的行为是由状态空间表达式来描述的。描述了系统的状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为状态方程。描述系统的输出变量与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为输出方程。系统的状态方程和输出方程就构成了一个系统的状态空间表达式(状态空间描述)，也称为系统的动态方程。7.1.1状态空间表达式的一般形式在现代控制理论中，系统的行为是由状态空间表达式来描述的。考虑一个基本的单输入线性时不变n阶系统，它应有规个独立的状态变量，假设这n个状态变量为x1(t)，x2(t),…，xn(t)，系统的输入为u(t)，根据系统的动态特性，可以得到如下n个微分方程，即……7.1.1状态空间表达式的一般形式这种描述了系统的状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间关系的数学表达式被称为状态方程。进一步，可以把这个系统的转台方程写成如下矩阵形式，即定义矩阵A为系统n*n阶的系统矩阵，b为系统的n*1阶输入矩阵(控制矩阵)，显然，对于n个输入的多输入系统，b输入矩阵是n*n阶的。假设上述系统是单输出系统，用y(t)表示系统输出，它的输出方程可以写成:对应的矩阵形式为:式中：c为系统的1*n阶输出矩阵(观测矩阵)；d为1*1阶前馈矩阵(输入输出传递矩阵)。对于多输入多输出系统，系统的输出矩阵式和前馈矩阵均为n*n阶。到此为止，系统的状态方程和输出方程就构成了一个系统的状态空间表达式(状态空间描述)，也称为系统的动态方程。由上面两个式子描述的单输入单输出系统的结构图如下图所示。图中所示，I为单位阵，s为拉普拉斯算子，I/s方框代表了n个积分器。值得注意的是，在矢量矩阵乘法中，通常顺序是不能任意颠倒的。7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符（1）根据系统机理建立状态空间表达式对于一个实际系统，可以按照系统运行所遵循的机理建立相应的数学方程组，然后选择相关的状态变量，化为系统的状态空间表达式。（2）根据其他形式的数学模型建立状态空间表达式对于线性定常连续系统而言，微分方程和传递函数是常见的两种数学模型。因此，可以从系统已有的其他数学模型导出其状态空间表达式，从而揭示系统内部的重要特性。7.1.1状态空间表达式的一般形式1、状态空间表达式的建立：延时符a.由微分方程建立状态空间模型系统输入项中不含导数项，在这种情况下，一个单输入—单输出n阶线性时不变系统可用如下微分方程描述，即若选择状态变量，，则可以得到如下方程组，即7.1.1状态空间表达式的一般形式（2）根据其他形式的数学模型建立状态空间表达式延时符令可以进一步得到方程组的矩阵-矢量形式：系统状态变量图7.1.1状态空间表达式的一般形式例1已知系统的微分方程为

，试选择状态变量，并写出状态空间表达式。解：

选择状态变量，则有

状态空间表达式为：

7.1.1状态空间表达式的一般形式a.由微分方程建立状态空间模型系统输入项中含有导数项，这种情况下的单输入单输出纪阶线性时不变系统可用如下微分方程描述，即选择如下一组状态变量，即式中：是n个待定常数。对xn求导并考虑方程，可以得到将均用及u的各阶导数替换，可以得到7.1.1状态空间表达式的一般形式若令

……可以得到系统的状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式例2

已知系统的微分方程为

，试选择状态变量，并写出状态空间表达式。解：选择状态变量，其中

则状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符b.由系统传递函数建立状态空间模型单输入单输出线性时不变系统的传递函数模型可以表示为应用综合除法可将上式化为式中：bn描述了输入输出之间的直接转移关系，即为系统状态空间模型中的输入输出矩阵。7.1.1状态空间表达式的一般形式（2）根据其他形式的数学模型建立状态空间表达式当G(s)的分母阶数大于分子阶数时，则

若等是严格有理真分式，其分子各次项的系数7.1.1状态空间表达式的一般形式……因此，系统状态空间模型中的剩余三个系数矩阵均由严格有理真分式确定。的串联分解形式：取中间变量Z，将分解为如下图所示的串联结构，则满足延时符图为

的串联分解结构：若取状态变量则系统的状态方程可以表示为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符可以得到系统状态空间表达式的矩阵-矢量形式为其中注意：若系统的状态空间表达式中，A、b矩阵如以上这种形式，则称A矩阵为友矩阵，并把此状态空间表达式叫做能控标准型。7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符若选取状态变量为则系统的状态空间模型为此时，状态方程中的A矩阵为友矩阵的转置矩阵，把A、c矩阵具有以上这种形式的状态空间表达式称为能观标准型。7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符例3

设二阶系统微分方程为，试列写能控标准型、能观测标准型动态方程，并分别确定状态变量与输入、输出量的关系。解：由微分方程可以得到系统的传递函数为因此，系统的能控标准型动态方程的各矩阵为引入中间变量z将系统串联分解得到7.1.1状态空间表达式的一般形式b.由系统传递函数建立状态空间模型延时符对y求导并考虑上述关系式，则有令，可导出状态变量与输入、输出量的关系为能观测标准型动态方程中各矩阵为状态变量与输入、输出量的关系为D(s)中只含单实数极点：设为系统的单极点，则7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符因此，系统的传递函数可以表示为其中为在极点处的留数。若取状态变量为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符可以得到系统的状态空间表达式为若取状态变量为可以得到系统的状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式延时符例4

设系统传递函数为，试写出状态空间表达式。解：系统的传递函数可以表示为采用留数法求上式中的各待定系数，即可得系统的状态空间表达式为7.1.1状态空间表达式的一般形式和连续系统一样，离散系统也可以用状态空间法描述。在经典控制理论中，离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立，可以将线性连续系统动态方程离散化得到。132由差分方程或传递函数建立动态方程由连续系统离散化建立动态方程线性定常离散动态方程的解7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义1、由差分方程或传递函数建立动态方程延时符设单输入单输出线性定常离散系统的差分方程的一般形式为对上式两端取Z变换，并整理可得脉冲传递函数为上式与线性变换的形式上相同，故可将连续系统动态方程的建立方法用于离散系统。7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符考虑零初始条件，利用Z反变换关系和，可以得到动态方程的矩阵矢量形式为并简记为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符已知线性定常连续系统状态方程在x(t0)及u(t)作用下的解为令，则；令，则；并假定在区间内，u(T)=u(KT)=常数，且采样时间间隔相等，则其解化为记7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义2、由连续系统离散化建立动态方程延时符采用变量代换可以得到故离散化状态方程为式中：与连续状态转移矩阵的关系为离散化输出方程仍为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符例5

设线性定常连续时间系统的状态方程如下,试将该连续系统的状态方程离散化(采样周期T=0.1s)。解：计算系统的状态转移矩阵，即可得离散时间系统的系数矩阵，即将T=0.1s代入得7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符故系统离散化状态方程为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义延时符求解离散系统运动的方法主要有两种方法：Z变换法和递推法，由于后者特别适合计算机计算，且对非线性系统、时变系统都适用，因此，这里用递推法求解系统响应。令状态方程式

中的，可得到时刻的状态，即7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义3、线性定常离散动态方程的解延时符输出方程为于是，线性定常离散系统的解为7.1.2在连续时间系统状态空间中的定义7.2线性离散时间系统状态方程的解7.2.1递推法7.2.2z变换法延时符随着系统理论研究领域的扩大和计算机的普及,离散时间系统已逐渐成为系统与控制理论中的一类主要研究对象。对离散时间线性系统的运动分析数学上归结为求解时变或定常线性差分方程。相比于连续时间系统的微分方程形状态方程,离散时间系统的差分方程形状态方程的求解,既在计算上简单得多也更宜于采用计算机进行计算。离散时间系统的差分方程形状态方程有两种解法:递推法(迭代法)和z变换法。递推法对于定常系统和时变系统都是适用的,而z变换法则只能用于定常系统。7.2引言

思路：从初值出发，按照差分方程一步一步地递推出输出序列。该方法特别适合用于计算机求解，是差分方程的最基本方法。考虑离散时间系统，对时变情形系统状态方程为对应常定系统状态方程为在方程式中一次令k=0，1，2，…，可递推求得其中

是给定问题的时间区间的时刻，当给定初始状态x(0)和输入信号序列u(0),u(1),…,u(l-1)即可得

。7.2.1递推法对于定常系统，G和H都是常值矩阵，于是可得以下一系列方程：继续下去，运用归纳法，可以得到递推求解公式方程式称为线性定常离散时间系统的状态转移方程。在此说明两点：（1）容易看出,离散时间系统状态转移方程与连续系统状态转移方程是相对应的且十分类似的,也是必然的结果。它由两部分组成:第一部分是由初始状态所引起的零输入响应(即所谓自由分量);第二部分是由控制输入作用所引起的零状态响应(即所谓强制分量)。（2）第k个采样时刻的状态只取决于此时刻之前的k一1个输入采样值,而与第k个输入采样值及以后的采样值无关。7.2.1递推法

方程式中的G称为线性离散时间定常系统的状态转移矩阵，记

为,与连续系统状态转移矩阵相对应地有如下性质。它满足矩阵差分方程和初始条件利用状态转移矩阵可改写为或7.2.1递推法对于线性定常离散时间系统，还可采用z变换法来求解状态方程。设定常离散时间系统的状态方程是对上式两边进行z变换，可得整理后则有作z变换得到x的离散序列由解的唯一性，比较应有7.2.2z变换法7.2.2z变换法解

用递推法，本题的u(k)是标量例6

系统的状态方程是初始条件为试求当u(k)=1时，状态方程的解。可以递推下去，直到所要求计算的时刻为止。所得结果时x(k)的离散序列，但是比较繁琐的计算，可以得到状态的离散序列表达式为：7.2.2z变换法用z变换法，先计算,有所以7.2.2z变换法再计算

，因

，所以

。将它们代入，得取z变换，得7.3线性离散时间系统的可观性与可观测性7.3.1离散系统的可控性7.3.3采样周期对离散化系统可控性和可观测性的影响7.3.2离散系统的可观测性7.3引言

系统的可控性与可观测性，属于系统的定性分析问题。可控性，是研究和讨论系统中的状态变量是否能被控制，以便能对系统实施最优控制策略;可观测性，是要回答系统中的状态变量能否从输出量中观测出来，以便能对系统实施状态反馈。因此，在现代控制理论中，它们是两个重要的概念，也是设计最优控制系统和最优估计的理论基础。这两个重要的概念是由卡尔曼(Kalman)在20世纪60年代初提出的。

（2）离散系统的可控性判据：

对于n阶线性定常离散系统，

若存在一控制作用序列

将某个任意初始状态

在第1步上到达零状态，即

，则称此状态是可控的。若系统所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，或简称系统是可控的。（1）离散系统的可控性定义：线性定常离散系统为完全可控的充分必要条件是其可控性判别矩阵满秩，即7.3.1离散系统的可控性证明：上面推导表明，欲使系统的任意初始状态x(0)在第l步上转移到零状态，其状态方程的G、H阵满足上式的条件。离散系统状态方程求解公式为

设在第l步上能使初始状态转移到零，于是上式便可写成即写成矩阵形式这是一个非齐次线性方程，由线性方程解的存在性定理知，欲解出控制矢量序列的充分必要条件是该方程的矩阵的秩等于n,即7.3.1离散系统的可控性（2）离散系统的可观测性判别：

对于线性定常离散系统，

若能够根据在有限个采样瞬间上量测到的

，即

。可以唯一确定出系统的任意初始状态，则称系统是状态可观测的。（1）离散系统的可观测性定义：线性定常离散系统式完全能观测的充分必要条件是可观测判别矩阵满秩，即7.3.2离散系统的可观测性证明：

根据状态方程的求解公式，从0到n-1各采样顺势的观测值为写成矩阵形式或写成

。

这是一个含有n个未知数的mn个方程的线性方程组，

有唯一解的充分必要条件是其系数比较连续矩阵的秩等于n，于是定理得证。7.3.2离散系统的可观测性

一个线性连续系统在其离散化后的能控性和能观测性是否发生改变，这是在设计计算机控制系统时所需考虑的一个基本问题。

下面将通过一个具体例子的分析，引出离散系统能控性和能观测性的一些结论。

设连续系统的状态空间描述为其可控判别矩阵M和可观测判别矩阵N分别为显然，该连续系统是可控且可观测的。7.3.3采样周期对离散化系统的影响取采样周期为T，将系统离散，计算于是，离散系统的可控性判别矩阵而可观测性判别矩阵7.3.3采样周期对离散化系统的影响可见，欲使离散系统使可控及可观测的，其采样周期应满足由此可知，将原来是完全能控能观测的连续系统离散化后，如采样周期选择不当，也可能使离散化的系统变成不能控和不能观测的。在上面分析的基础上，可得出如下结论：（1）如果连续系统E(A,B,C)是不能控（不能观测)的，则其离散后的系统y(G,H,C)也必是不能控（不能观测)的。（2）如果连续系统E(A,B,C)是能控（能观测)的，则其离散后的系统E,(G,H,C)不一定能控（能观测）的。（3）离散后的系统E,(G,H,C)是否保持能控（能观测）性，将取决于采样周期。保持能控（能观测)性的一个充分条件是一切满足的特征值均使

成立。其中

和

表示A的全部特征值中两个实部相等的特征值。7.3.3采样周期对离散化系统的影响当

则有通过本章的学习，我们系统地掌握了线性离散时间系统的状态空间分析方法。从状态空间描述的基本概念和模型构建，到状态方程的求解方法，再到系统的可观性与可观测性分析，每一步都为我们揭示了线性离散时间系统的内在规律和特性。同时我们深入探讨了系统的可观性与可观测性，理解了这些概念在系统设计、故障诊断以及性能评估中的重要作用。总之，本章的学习不仅让我们掌握了线性离散时间系统状态空间分析的基本理论和方法，更让我们在理解和设计复杂动态系统方面迈出了坚实的一步。这些知识和技能将成为我们未来在信号处理、控制系统设计以及其他相关领域探索和实践的重要基石。本章小结THANKS!138主讲：第八章非线性控制系统分析第八章目录CONTENTS12348.1非线性控制系统概述8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响8.3相平面法8.4描述函数法8.5非线性控制的逆系统方法58.1非线性控制系统概述3.1.13.1.38.1.1研究非线性控制理论的意义8.1.3非线性系统的分析与设计方法3.1.28.1.2非线性系统的特征8.1.1

研究非线性控制理论的意义

由于组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性，所以实际上，理想的线性系统并不存在。

以下是几种典型的非线性特征介绍，以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图(a)所示；

执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特征如图(b)所示；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图(c)所示。

在下图所示的柱形液位系统中，设为液位高度，为液体流入量，为液体流出量，为贮槽的截面积。

显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。

柱形液位系统其中比例系数取决于液体的粘度的阀阻。液体系统的动态方程为：根据水力学原理知8.1.1

研究非线性控制理论的意义

当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为:其中和为非线性函数。

当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。8.1.1

研究非线性控制理论的意义

注意，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。

非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用。8.1.1

研究非线性控制理论的意义线性系统与非线性系统的本质区别：线性系统可以应用线性叠加原理；描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，故非线性系统不能应用叠加原理。线性系统与非线性系统的主要特点：（1）稳定性分析复杂

按照平衡状态的定义，对于线性系统，只有一个平衡状态，线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性，只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。8.1.2非线性系统的特征

相应的时间响应随初始条件而变。当

时，随

增大，

递增，

当时，

为无穷大。当

，

递减并趋于0。

对于非线性系统，则问题变得较复杂。非线性系统可能存在多个平衡状态。先考虑下述非线性一阶系统：

令

可知该系统存在两个平衡状态

和

为了分析各个平衡状态的稳定性，为了分析各个平衡状态的稳定性，设

时，系统的初始状态为

，得8.1.2非线性系统的特征

考虑上述平衡状态受小扰动的影响，故平衡状态

是不稳定的，因为稍有偏离，系统不能恢复至原平衡状态；而平衡状态

在一定范围的扰动下（

）是稳定的。由此可见，非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。更重要的是，平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且也与系统的初始条件有直接的关系。8.1.2非线性系统的特征

（2）可能存在自激振荡现象线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。考虑下图所示系统，设初始条件，系统自由运动方程为

根据线性叠加原理，在系统运动过程中，一旦有外扰动则使系统输出发生偏离，因而上述周期运动将不能维持。所以线性系统在无外界周期变化信号作用时所具有的周期运动不是自激振荡。

8.1.2非线性系统的特征

考虑著名的范德波尔方程

该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使

时，因为系统具有负阻尼，此时系统从外部获得能量，

的运动呈发散形式；当时，因为

系统具有正阻尼，此时系统消耗能量，的运动呈收敛形式；而当时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表明，系统能克服扰动对的影响，保持幅值为1的等幅振荡，见右图。8.1.2非线性系统的特征

必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙、死区等非线性因素的不良有影响。而在振动试验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。因此研究自振的产生条件及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。（3）频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外，还含有关于的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。8.1.2非线性系统的特征

一般情况下，求线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。本章重点介绍以下三种方法：（1）相平面法相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。（2）描述函数法描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。

8.1.3

非线性系统的分析与设计方法

描述函数法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。（3）逆系统法逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的发展方向。8.1.3

非线性系统的分析与设计方法定义非线性环节输出y和输入x的比值为等效增益应当指出，比例环节的增益为常值，输出和输入呈线性关系，而上式所示非线性环节的等效增益为变增益，因而可将非线性特性视为变增益比例环节。当然，比例环节是变增益比例环节的特例。

8.2常见非线性特性及其对系统运动的影响3.1.13.1.38.2.1非线性特性的等效增益3.1.28.2.2常见非线性因素对系统运动的影响

(1)、继电特性继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常都表现为继电特性，继电特性的等效增益曲线如右图所示。

当输入x趋于零时，等效增益趋于无穷大；由于输出y的幅值保持不变，故当增大时，等效增益减小，趋于无穷大时，等效增益趋于零。8.2.1

非线性特性的等效增益

(2)、死区特性

一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区造成的。死区特性的等效增益曲线如下图所示。当

时，；当，为

的增函数，且随趋于无穷时，趋于。8.2.1

非线性特性的等效增益

(3)、饱和特性放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和现象，等效增益曲线如右图所示。当输入

时，输出y随输入x线性变化，等效增益；当

时，输出量保持常值，

为的减函数，且随趋于无穷而趋于零。

(4)、间隙特性齿轮、蜗轮轴的加工及装配误差或磁滞效应是形成间隙特性的主要原因。如右图所示。间隙特性为非单值函数。8.2.1

非线性特性的等效增益

(5)、摩擦特性摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力阻挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。摩擦力一般表示为三种形式的组合，如右图所示。F1是物体开始运动所需克服的静摩擦力；F2为动摩擦力;第三种摩擦力为粘性摩擦力，与物体运动的滑动平面相对速率成正比。8.2.1

非线性特性的等效增益

为便于定性分析，采用下图所示的结构形式，图中K为非线性特性的等效增益，G(s)为线性部分的传递函数，为线性部分的开环根轨迹增益。当忽略或不考虑非线性因素，即K为常数时，非线性系统变为线性系统，因此非线性系统的分析可在线性系统分析的基础上加以推广。非线性因素对系统运动的影响通过增益的变化改变系统的闭环极点的位置，因而仍可采用根轨迹分析法。

等效增益表示的非线性系统8.2.2

常见非线性特性及其对系统运动的影响（1）继电特性由继电特性的等效增益曲线可知，，且为的减函数。对于上图所示系统，以下讨论两种情况。取，由于闭环系统对于任意的值均稳定，将趋于零，由下张图a所示根轨迹可知，由于的减小，随之增大，系统闭环极点将沿着根轨迹的方向最终趋于

，因为实际系统中的继电特性总是具有一定的开关速度，因此呈现为零附近的高频小幅度振荡。当输入时，非线性系统的单位阶跃响应的稳态过程亦呈现为叠加高频小幅度振荡的运动形式。8.2.2

常见非线性特性及其对系统运动的影响

对于，由图b所示，根轨迹与虚轴的交点为，交点

处根轨迹增益为30，由此可确