2026甘肃职教高考数学第一章集合 1.3集合的运算及充要条件

1．3集合的运算及充要条件第1章集合第1页，共43页1．集合的运算集合的交集集合的并集集合的补集定义及符号表示由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作A∩B由属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B一般地，设U为全集，由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA集合的交集集合的并集集合的补集图形表示集合表示A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}续表集合的交集集合的并集集合的补集集合性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩∅＝∅，∅∩A＝∅；(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪∅＝A，∅∪A＝A；(1)(∁UA)∩A＝∅；(2)(∁UA)∪A＝U；(3)∁U(∁UA)＝A续表集合的交集集合的并集集合的补集集合性质(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B；(5)A⊆B⇔A∩B＝A(4)A⊆A∪B，B⊆A∪B；(5)A⊆B⇔A∪B＝B(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；(5)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)续表2．充分条件、必要条件、充要条件．对于一个命题，其条件为p，结论为q，则：(1)若p⇒q，则p是q的________条件；(2)若p⇐q，则p是q的________条件；(3)若p⇔q，则p是q的________条件．提示：充分条件、必要条件、充要条件，说的都是________是________的(充分/必要/充要)条件．充分必要充要条件(p)结论(q)【例1】(2022年甘肃省分类考试)已知集合A＝{(x，y)|x－y＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝4}，则A∩B等于(

)A．{3，1} B．{(3，1)}C．{3} D．{1}例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【点拨】集合A表示方程x－y＝2的解集，集合B表示方程x＋y＝4的解集，A∩B则是二元一次方程组

的解集，利用消元法解得

这是一组有序实数对，用列举法表示为A∩B＝{(3，1)}，也可以用描述法表示为A∩B＝{(x，y)|x＝3，y＝1}．【变式训练1】已知集合A＝{(x，y)|x∈R，y＝3}，B＝{(x，y)|x＋y＝4}，则A∩B等于(

)A．{3，1} B．{(1，3)}C．{3} D．{1}B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【提示】

求A∩B即求方程组

的解，解得{(x，y)|x＝1，y＝3}，即{(1，3)}．【例2】(2019年甘肃省分类考试)已知集合A＝{2，3，5，6}，B＝{2，5，7，9}，则A∪B等于(

)A．{2，5} B．{2，3，5，6，7，9}C．∅ D．{3，5，7，9}【点拨】由并集定义得A∪B＝{2，3，5，6，7，9}．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7B【变式训练2】已知集合A＝{a，b，c，d}，B＝{b，d，e，f}，则A∪B等于(

)A．{a，b} B．∅C．{a，b，c，d，e，f} D．{a，d，e，f}例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【提示】

由并集定义得A∪B＝{a，b，c，d，e，f}．C【例3】(2021年甘肃省分类考试)设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，则下列式子中错误的是(

)A．A∩B＝{3，4} B．A∪B＝{2，3，4，5}C．A⊆U D．U⊆B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7D【点拨】此题考查求集合交集、并集的运算，以及子集的定义．由集合交集的运算得A∩B＝{3，4}，集合并集的运算得A∪B＝{2，3，4，5}，子集的定义得A⊆U，B⊆U，故选择D.例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练3】已知U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{2，3，4，5}，则下列式子中错误的是(

)A．A∩B＝{2，3} B．A∪B＝{2，3，4，5}C．A⊆U D．U⊆B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7D【提示】

此题考查求集合交集、并集的运算，以及子集的定义．A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，由集合交集的运算得A∩B＝{2，3}，由集合并集的运算得A∪B＝{2，3，4，5}，由子集的定义得A⊆U，B⊆U，故选择D.例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例4】设全集U＝{x|0<x≤9}，集合A＝{x|x(x－3)<0}，B＝{x|x2－3x≤0}．求∁U(A∩B).【点拨】此题考查集合的补集以及相关运算．按照“交共有、并所有、补剩余”的原则进行，注意运算顺序．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【解】∵A＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，B＝{x|x2－3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，∴A∩B＝{x|0<x<3}，∴∁U(A∩B)＝{x|3≤x≤9}．【变式训练4】设全集U＝R，集合A＝{x(x－4)>0}，B＝{x|x2－4x≤0}．求∁U(A∩B).例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7解：∵A＝{x(x－4)>0}＝{x|x<0或x>4}，B＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴A∩B＝∅，∴∁U(A∩B)＝R.【例5】已知全集U＝{0，1，2}，且∁UP＝{2}，则集合P的非空真子集共有________个．【点拨】由补集的定义可知，若a∈∁UA，则a∉A.因为∁UP＝{2}，所以P＝{0，1}，故P的非空真子集的个数为22－2＝2.2例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练5】已知全集U＝{b，a，e，d，c}，且∁UA＝{a，e}，则集合A的非空真子集共有________个．【提示】

因为∁UA＝{a，e}，所以A＝{b，d，c}，故A的非空真子集的个数为23－2＝6.6例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例6】(2018年甘肃省分类考试)设全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，4，5}，则∁UA等于(

)A．{0，1，2，6，7，8} B．{0，1，6，7，8}C．{1，6，7，8} D．{6，7，8}【点拨】根据补集的运算可得∁UA＝{0，1，6，7，8}．B例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练6】设全集U＝{x||x|≤3，x∈Z}，集合A＝{2，3}，则∁UA等于(

)A．{－3，－2，－1，0，1，2，3} B．{0，1，2，3}C．{－3，－2，－1，0，1} D．{0，1，2}【提示】

全集U＝{x||x|≤3，x∈Z}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，A＝{2，3}，根据补集的运算可得∁UA＝{－3，－2，－1，0，1}．C例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【例7】若集合P∩Q＝P，那么(

)A．P⫋Q B．P⊇QC．P＝Q D．P⊆Q【点拨】应注意P＝Q这一特殊情况．D例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7【变式训练7】如果集合P∩Q＝P，Q＝{2，3，4}，那么请列出P所有可能的情况．例1例2例3例4例5变1变2变3变4变5例6变6例7变7解：P∩Q＝P，则P⊆Q，Q＝{2，3，4}，根据子集定义P可能的情况有∅，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}．12345678910111213141516一、单项选择题1．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝3}，N＝{(x，y)|x－y＝5}，则M∩N等于(

)A．{x，y|x＝4，y＝－1} B．(4，－1)C．{(4，－1)} D．{4，－1}C123456789101112131416152．设集合A＝{1，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a的值有(

)A．1个 B．3个 C．5个 D．无数个B3．已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－4<x<－2}，则A∩B＝(

)A．{x|－2<x<4} B．{x|－4<x<2}C．{x|－2<x<2} D．∅D123456789101112131416154．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4D12345678910111213141615123456789101112131416155．已知全集U＝{x|－4<x≤4}，集合A＝{x|1<x≤4}，则∁UA＝(

)A．{x|x≤1} B．{x|－4<x≤1}C．{x|1<x≤4} D．∅B123456789101112131416156．“0<x<5”是“不等式|x－2|<4”成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A123456789101112131416157．设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A∪B的真子集个数为(

)A．14 B．8 C．15 D．16C123456789101112131416158．设集合A＝{x∈N*|x≤13}，P＝{x∈N*|x<6}，则A∩P＝(

)A．{x∈N*|1≤x≤6} B．{x∈Z|1≤x＜6}C．{x∈N*|6≤x＜13} D．{x∈N*|6≤x≤13}B12345678910111213141615二、填空题9．设集合U＝{x||x|≤4，x∈N}，集合A＝{1，2，3，4}，则∁UA＝________．{0}1234567891011121314161510．设全集U＝{小于8的所有自然数}，集合A＝{1，3，5，7}，则∁UA＝_______________．{0，2，4，6}1234567891011121314161511．若集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，且B＝A∩B，则x＝___________．0，－2，21234567891011121314161512．设全集U＝R，集合P＝{x|x≥1}，Q＝{x|0＜x＜5}，则(∁UP)∩(∁UQ)＝________．{x|x≤0}1234567891011121314161513．设集合A＝{x|－6≤x<4}，集合B＝{x|x≤4}，则A∪B＝________．{x|x≤4}1234567891011121314161514．选用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填入空格：(1)“x是正方形”是“x是矩形”的_________；(2)“同旁内角互补”是“两直线平行”的_________；(3)“x2＝4”是“