江苏省部分学校2026届高三上学期模拟调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省部分学校2026届高三上学期模拟调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】A【解析】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2，方差是，加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3，方差是，所以不发生变化的是平均数，故选：A.2.若，则的值为（为虚数单位）（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】因为，所以，则.故选：C.3.若集合，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，由可得，所以，所以，故选：A.4.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】不等式，可转化为，即，即且，即且，解得，所以不等式的解集为，故选：B.5.在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，当且仅当b=c时等号成立.因为，所以，∴，故选：C．6.设抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）（已知：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点）A. B. C.13 D.15【答案】D【解析】抛物线的焦点为，由轴，点，得，由抛物线的光学性质，得点共线，设，则，解得，点，于是，，，所以的周长为.故选：D.7.已知数列的前项和为，若，且，则（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】D【解析】，，，变形得所以数列是每项均为的常数列，，即又解得：故选：D.8.已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则的值为（）A.2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数在区间内的图象相切，在区间上，的解析式为，因为切点坐标为，切线斜率，由点斜式得切线方程为，即，直线过原点，，得，化简.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（）A.是等比数列 B.是等差数列C.是等比数列 D.是等比数列【答案】ABD【解析】A选项，由题意得，故，其中，故为等比数列，A正确；B选项，，故，又，故是等差数列，B正确；C选项，，，，其中，故不是等比数列，C错误；D选项，，故，故，所以为等比数列，D正确.故选：ABD.10.设函数，则（）A.是的极小值点 B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得.所以，当时，单调递减；当时，单调递增.对于A，显然是的极小值点，正确；对于B，显然，而在内单调递减，所以，正确；对于C，当时，，故.由，得，即，错误；对于D，由，得所以，因为，而在内单调递增，所以，即，正确.故选：ABD.11.已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为B.点在双曲线的左支时，的最大值为C.点到两渐近线的距离之积为定值D.若是△的面积，则为定值【答案】ACD【解析】对A：因为双曲线，故可得，则离心率，故A正确；对B：因为，故可得，则，因为，则，令，故，，故当时，取得最大值.故B错误；对C：设点，则，又双曲线渐近线为，故到两渐近线的距离之积为.故C正确；对D：不妨设点在轴上方，则，则，又，，故，又，故；当点在轴下方时，同理可得.故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，若与垂直，则实数________.【答案】1【解析】向量，，则（1，1+λ），（﹣2，1），因为与垂直，所以故答案为：．13.已知函数的定义域为，，，且，则_____.【答案】【解析】因为，，令，得，因为，所以，即，令，，得，即，所以，令，，得，所以.故答案为：.14.已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的表面积为__________.【答案】【解析】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则底面，令为的中点，连接，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，，侧面与底面所成的角为，球的体积为.设，由于，即，，两式相减可得，即，，球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，函数（）．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，函数的最小值是，求的最大值．解：（1）.的最小正周期．令（），解得（），故函数的单调递增区间为（）．（2）∵，∴，∴，∴，，令，得，∴．16.已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．（1）解：设椭圆的方程为，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：将代入并整理得，则，.∵直线：与椭圆交于不同的两点，，∴，解得，∴直线，的斜率存在且不为零.设直线，的斜率分别为和，只要证明.设，，.故原命题成立.17.如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小．（1）证明：在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．设，连接，因为为菱形，所以为中点在中，因为，，所以，又因为平面，平面，所以平面．又因为，平面，所以平面平面．（2）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直．所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面是边长为的菱形，，，所以，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得．由平面，得平面的法向量为，则.所以二面角的大小为．18.函数．（1）当时，求在上的最大值；（2）若在上单调递减，求实数的取值范围；（3）证明：，．（1）解：，当时，，．当时，，当时等号成立，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减．所以．（2）解：，，，当时等号成立，当时，，恒成立，在上单调递减，符合题意；当时，，要使为单调函数，则只需，即恒成立，所以，解得，所以．综上，实数的取值范围为．（3）证明：先证明左边，由（1）知，当时，在上单调递增，所以当时，，即．又因为，所以，，，，累加得，．再证明右边，由（2）知，当时，在上单调递减，所以当时，，得，令，累加得，所以．所以，．综上所述，，．19.已知：在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位且向四个方向移动的概率均为．（1）设第2秒末，粒子移动到点（x，y），记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）记第秒末粒子回到原点的概率为．（i）已知求以及；（ii）令为数列的前项和，已知，证明：对任意实数，存在，使得．（1）解：在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处.故粒子在第2秒可能运动到点或或的位置，其中可能出现4次，各可能出现2次，各可能出现1次，总共有种等可能的结果所以的路径有条，的路径有条，的路径有条，故的可能取值为：，，，，所以的分布列为：02故.（2）（i）解：粒子在奇数秒不可能回到原点，故，粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同