江西省南昌市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市2025-2026学年高二上学期数学期末教学质量检测题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某学校开设4门球类课程、5门田径类课程和2门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（）A.40种 B.20种 C.11种 D.9种【答案】C【解析】分类加法计数原理，种．故选：C．2.根据3对数据绘制的散点图呈直线趋势，且线性回归方程为，则（）A.9.5 B.10 C.10.5 D.11【答案】C【解析】由3对数据，可得，将代入回归直线方程，可得，解得.故选：C.3.若曲线表示椭圆，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆需满足，解得且，故选：B．4.已知事件A与事件B相互独立，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为事件A与事件B相互独立，且，可得，且，则.故选：A.5.设随机变量，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由随机变量，可得，因为，可得，因为，所以，又由，可得其对称轴为，所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为.故选：B.6.某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（）A.480种 B.504种 C.360种 D.288种【答案】B【解析】由6名演员站成一排表演，共有种排法，甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法，甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法.故选：B.7.已知点P是双曲线C：上一点，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线，所以，所以双曲线的渐近线为，设，则，化简得，距离之积为，故选：A．8.已知，直线与的交点在圆：上，则的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线恒过定点，直线恒过定点，且，知直线与互相垂直，即可得，所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；可得点轨迹方程为；又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，此时满足，解得.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则n值可以是（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】AB【解析】因为，由组合数性质可得或，解得或，检验可知或均符合题意.故选：AB.10.设离散型随机变量X的分布列为：X0124Pa0.30.20.2若离散型随机变量满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由分布列的性质，可得，解得，则，因为，所以.故选：ABC.11.已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（

）A.以为直径的圆与准线相切B.准线上存在唯一点，使得C.D【答案】ABD【解析】对于A：设，，，的中点到准线的距离为，故以为直径的圆与准线相切，故A正确；对于B：以为直径的圆与准线相切，故准线上存在唯一点，使得，故B正确；对于C、D：如图所示，过点作准线的垂线，垂足分别为点，，由倾斜角为，可得，设，则，因为，所以，，故C错误；设，则，因为，所以，所以，故D正确．故选：ABD．12.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2BC=2，M、N分别为棱A₁D₁、BB₁的中点，则下列结论正确的是（）A.MN∥平面ACD₁B.AC₁⊥平面CMNC.异面直线CM与AD₁所成角的余弦值为D.若P为线段CD₁上的动点，则点P到平面CMN的距离为定值【答案】C【解析】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，已知，则，，，，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，，所以，因为，且不在平面中，所以MN不平行于平面ACD₁，所以A选项错误，在B选项中，，所以与不垂直，即AC₁不垂直于平面CMN，所以B选项错误，在C选项中，设异面直线CM与AD₁所成角为，则，所以C选项正确，在D选项中，设平面的法向量为，已知，，则，令，则，代入方程得，所以，又因为，所以，所以不垂直于，即不平行于平面，所以点P到平面CMN的距离不是定值.故选：C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的常数项为________．【答案】0【解析】通项，令，解得，不是整数，所以该展开式的常数项为0.故答案为：0.14.在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________．【答案】1【解析】因为E是棱PC上一点，且，即E是棱PC的中点，所以，则.故答案为：115.某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________．【答案】【解析】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交，则第一天坐公交和骑车概率均为，在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为，在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为，所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为：．故答案为：.16.已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ：（a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________．【答案】【解析】设，则，，，由于点A、B在椭圆上，则，两式相减得，同时乘以得，即，由于，则，则，即，同理，，由于，则，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知两点，直线．（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；（2）若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程．解：（1）直线l斜率为3，斜率为，且过，直线的方程为，即；（2）设圆心，由得，解得，故圆心的坐标为，半径，圆的方程为．18.从0~7这8个数字中取出4个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？（2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？解：（1）首位不排0，共个；（2）个位为0的四位数偶数：；个位不为0的四位数偶数：，总计个．19.某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀．（1）估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例；（2）若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数．参考数据：若，则，．解：（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，可得，则，所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例,所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为.（2）由，则,因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人，所以成绩在内的学生人数大约为人.20.在菱形中，，，将菱形沿着对角线翻折，得到三棱锥，此时．（1）求证：平面⊥平面；（2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接.由题意可知，是边长为2的等边三角形，所以，且.在中，因为，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面⊥平面.（2）解：由（1）可知，，因此以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，所以.所以设平面的法向量为，则，即.令，则，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.21.某调查小组研究短视频播放量与内容类型的关联性，从平台抽取容量为200的样本，整理数据如下：播放量\内容类型知识类娱乐类合计高播放5070120低播放305080合计80120200（1）是否有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联？（2）定义似然比R(B|A)=P(B|A)/P(Ā|B)，当R(B|A)≥1.35时，认为事件A条件下B发生有优势．现从200个样本中任选1个，A表示“选到高播放视频”，B表示“选到娱乐类视频”，估计R(B|A)的值，并判断是否有优势；（3）从知识类样本中按播放量分层抽样选出8个视频，再从这8个视频中抽取2个分析内容质量，求抽取的2个视频中高播放视频的个数X的概率分布和数学期望．附：，．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）假设短视频播放量与内容类型无关联，由题中数据可得，所以假设成立，即有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联.（2）由题，，所以有优势.（3）从知识类样本中抽取个视频，则抽样比为,所以从高播放抽取个视频，从低播放抽取个视频，可取，，，，所以的分布列为X012P22.已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且．（1）求的方程；（2）过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且．①求证：为