2.内势能与外势能关系探微

内势能与外势能关系探微摘要：分析了计算势能的两种方法——内场和外场的适用范围、区别和联系，并以自由落体和弹簧振子为例说明了这个问题，“势能属于系统”这句话不适用于外势能，建议力学教材指明其适用范围。文章指出了约束力、浮力、静摩擦力等稳定场都是保守力，阐述了经典势能公式的适用范围，纠正了现行力学教材对于功能原理和机械能守恒定律成立的条件错误表述，功能原理正确表述为——非保守力的功等于系统机械能的改变量，系统机械能守恒的条件是系统没有非保守力，从理论上得出了机械能守恒定律是普遍物理规律，无条件服从力学相对性原理。由于惯性力都是保守力，因此对于同一个物理过程，在一个参照系机械能守恒，在其他任何参照系机械能都守恒。对于弹性碰撞而言，牛顿碰撞定律等价于机械能守恒定律的协变性。我们默认地面系是惯性系的同时，不再考虑其各个物理量的变化，地球不再是研究对象了，我们对于惯性系的认识更加深刻了。关键词：内势能；外势能；势能属于系统；功能原理；惯性力；保守力；机械能守恒定律；协变性中图分类号：O313.1文献标识码：A能量守恒定律是自然界中最普遍、最重要的定律之一，从物理学、化学到地质学、生物学，大到宇宙天体，小到原子核内部，只要有能量转化，就一定服从能量守恒定律。能量守恒定律使人们认识自然和利用自然的有力武器。早在1842年雅可比就指出，对于一个能够用拉氏量L来描述的体系，L在体系平移下的不变性将导致动量守恒；在空间转动下的不变性将导致角动量守恒。科学史家丹皮尔在评论牛顿理论体系时所言：“牛顿赋予世界必面的惊人的秩序与和谐所给我们的美感上的满足，超过凭藉任何天真的常识观或亚里斯多德的谬误概念，或诗人们的神秘想象所见到的、万花筒式的混乱的自然界。”机械能守恒定律是能量守恒定律在经典力学表现形式。换位思考能量守恒与坐标变换的关系，分析能量守恒定律对坐标变换的要求，按照现代物理的说法，能量守恒只在每个参照系各自内部都有一套描述守恒的方法，它们都在自己的描述下承认能量守恒，则必需要假设在二个坐标系能量守恒成立。对于同一个物理过程，只要一个坐标系能量守恒，在其他坐标系能量一定守恒，符合爱因斯坦的科学思想——物理规律对于所有的参照系都相同。公理是不证自明的道理。有一条公理是，当自然界或者说某个系统中发生了一个事件之后，各个不同系统中的观察者必须承认这个事件已经发生了。只要一个事件发生了，即使只有一个人直接观察到了，其他没有直接观察到的人，都可以通过与这个已经直接观察到了的人交流信息，也能知道并承认该事件发生了。1.势能属于系统的局限性现在大中学力学教材都明确写着势能是状态量，又称作位能，可以释放或者转化为其他形式的能量。势能属于系统，是存储于一个物体系统内的能量，不是物体单独具有的，而是相互作用的物体所共有的，系统选择的原则是：系统必须由保守力源和在该保守力源施与的保守力作用下做功的质点组成，例如重力势能是物体与地球所组成的“系统”共有的，没有地球就谈不上重力，也谈不上重力势能，文献[1]进一步分析了这个问题，这种计算势能的方法一般称为内势能，此时势能是相对位置的函数，一对保守力的功等于重力势能的改变量。由于一对作用力和反作用力的功与坐标系的选择无关[2-13]，因此重力势能的改变量与坐标系的选择无关，人们开始怀疑引入外势能概念的必要性[14-20]，结果不但使功能原理和机械能守恒定律出现了不同的表述，还涉及到经典力学系统的内在协调性问题。科学的最基本态度之一就是疑问，科学的最基本精神之一就是批判。可是利用内势能计算重力势能有先天的局限性，把地球和物体看做相互作用的系统，由于质点对于地球的作用力改变了地球的运动状态，因此地球不再是惯性系[21—26]，与现在大部分力学教材中认为经典力学中普通实验地面系是惯性系矛盾，研究重力势能需要引入惯性力和惯性力势能，才能确保地面系测量自由落体质点的机械能守恒。例1设小球（视为质点）的质量为,从距地面高度为处自由下落，落地时速度大小为。我们知道自由落体过程是势能转变为动能的过程，当小球落地时，其动能的增量等于系统势能的减少，即，在地面参照系∑上来描述，即现在，让我们在另一参照系上来讨论上述过程。如图1示，系以速度u相对于地面竖直向上作匀速直线运动，并且。显然，在系看来：小球的初速度为，小球落地时刻的速度,小球的动能增量,而系统的势能减少，仍等于，有。即是：小球的动能增量不等于系统的重力势能的减少。其问题的根本原因在于地面系按照惯性系计算，此时是外势能；此时也是惯性系，势能的减少不再是。如果按照内势能计算，地面系和都不是惯性系了，需要计算惯性力的功，在地面系地球受到的惯性力的功为0，质点受到惯性力的功不等于0，但是惯性力是保守力，同时改变质点的动能和势能，因此质点的机械能依然守恒。在看来，地球和质点受到惯性力做功，但是同时改变其动能和势能，不改变其机械能，但是改变其势能，系统的势能减少不是，这样才出现上面的佯谬。如果以地球和质点组成系统的质心为惯性系研究，由于地球的质量确切值我们不知道，而且有陨石、宇宙射线等因素的存在，地球的质量是一个变量，系统的质心我们根本不知道在哪里，不具有可操作性，只具有纸面的意义。在地球上狂风、暴雨、地震、海啸等因素比自由下落的质点对于地球运动的影响大得多。目前的实验根本测量不到质点对于地球运动的影响，不要说实验室里一个自由下落的质点，就是一艘航空母舰的运动对于地球运动的影响也无法测量得到，除非质点的质量和月球的质量同一个数量级或者更大。我们把地球作为惯性系的同时，已经默认其质量为无穷大，不再考虑其能量、动量、角动量等物理量的变化，地球不再是研究对象了。爱因斯坦曾经讲过：“我们离开有一种合理并符合事实的关于光和实物的理论还远得很！我觉得，只有大胆的思辨而不是经验的堆积，才能使我们进步。为了科学，就必须反反复复地批判这些基本概念，以免我们会不自觉地受它们支配。”牛顿为了精确表述物理量的变化用了“无限小”的概念。例如在变速运动中定义即时速度为在某一时刻前进的无限小距离与相应无限小时间之比，无限小与无限小之比为有限值。这是速度的微分表述。从即时速度对时间积分可求出实际运动路线。这里所谓积分实质上就是把有限时间分成无限多个无限小时间微分，再用这无限多个时间微分去乘即时速度得无限多个无限小路径，这无限大乘无限小可得一有限数。有限数究竟等于多少由变化的趋势决定。由此可见牛顿力学将物理量表述为微分形式，物理量之间的关系表述为微分方程，再用解微分方程即用积分求出结果。出发于有限巧妙地应用无限大与无限小的运算回到有限。由此可见，牛顿定义的物理量是和数学量一样的可以趋向无限大、无限小，也可以等于绝对的零而化为乌有。因此牛顿定义的用以描述相互作用的“力”是有精确作用点和能瞬时超距传播的。这意味着物体可小到无限小成为质点，速度可大到无限大形成瞬时传播。速度可等于绝对的零而化为乌有，因而存在绝对静止。牛顿力学的空间是线性平坦无限的欧氏空间。牛顿称之为绝对空间，并认为绝对空间是绝对静止的。牛顿还定义了数学抽象的绝对时间。2.外势能（单质点的势能）与内势能的关系对于自由落体这样简单的力学实验，我们一般把地面系当做惯性系，此时默认地球质量视为充分大，忽略实验对于地球运动的影响，不必考虑地球能量的变化，这种计算质点势能的方法称为外势能(质点的势能)，其实任何力学教材最初引入势能的方法都是按照外势能引入的，文献[27—39]都提出了外势能的问题。所谓内力、外力都是以由保守力源和质点组成的系统为界限的，系统以外的物体作用到组成系统的质点上的力叫做外力，系统以内的物体作用到组成系统的质点上的力叫做内力，内势能和外势能也应该这样分。内势能就是把力源和质点同等对待，也需要研究力源的能量；外势能就是计算势能时忽略力源的能量，只研究质点的势能。在由保守力源和在该保守力的作用下做功的质点组成的系统中，该质点在该保守力的作用下做功的能力叫做该质点在该系统中的势能。所以，势能属于由保守力源和在该保守力的作用下做功的质点组成的系统中质点。外势能和内势能的关系如下：保守力的功和势能的关系势能所有者势能函数关系坐标系变换与势能的关系适用范围惯性系的选取二者之间的关系内势能（内场处理，把力源也作为研究对象）一对保守力的功等于势能的减少，需要两个位形坐标表示。势能属于系统即两个质点，与势能零点的选择无关，势能零点不同，计算的结果相同。势能是相对位置的函数。势能是伽利略变换的不变量。势能的数值与势能零点的选择无关适用于所有情况，主要适用于质量差别不是太大的两个质点，例如地月系统。以系统的质心为参照系。内势能可以看作两个质点的外势能，也可以折合质量代替一个质点的质量转化为外势能[81—86]，也可以在质量不变的前提下利用折合力代替作用力[80]。在静止系，外势能是内势能的极限情况。外势能（外场处理，不再研究力源）[27—38]一个保守力的功等于势能的减少，只需一个位形坐标表示（忽略另一个保守力的功）[31—38]势能属于一个质点，数值与势能零点的选择有关，选择不同的势能零点计算势能的数值不同。势能是坐标的函数[37]，计算外势能不用考虑力源。势能不是伽利略变换的不变量[27—38]。势能的数值与势能零点的选择有关。适用于所有情况，主要适用于质量相差悬殊的质点，例如重力势能。把质量较大的物体质量按照无穷大计算。以大质量物体为参照系。当相互作用的两个物体质量相差极大时，要么按照内势能研究，要么按照外势能研究，前后必须自洽。按照内势能研究时，必须以系统的质心或者相对于质心匀速运动的物体为惯性参照系，例如在自由落体运动研究中，以地面系为参照系为外势能，此时实际上把地球质量视为充分大；以相对于地面匀速运动的电梯考察时也应该按照外势能计算，不能认为此时地球受到惯性力，在惯性系里测量不到惯性力，否则会得出机械能守恒定律不满足伽利略变换的错误结论[25]。爱因斯坦曾经讲过：“科学知识中存在着“经验知识和理性知识之间永恒的对立”；今天，在原则上占统治地位的仍然是教条式的顽固。在传统的基本概念的贯彻使用碰到难以解决的矛盾而引起了观念发展的那些情况，这就变得特别明显。为了科学就必须反复地批判这些基本概念，以免我们会不自觉地受到它们的支配。科学迫使我们创造新的观念和理论，它们的任务是拆除那些常常阻碍科学向前发展的矛盾之墙，所有重要的科学观念都是在实在跟我们的理解之间发生强烈冲突时诞生的。马赫的真正伟大，就在于他的坚不可摧的怀疑态度和独立性。在人类成熟到获得一种能够概括全部实在的科学以前，还需要有另一种基本的真理。这种真理只是随着开普勒和伽利略的到来才成为哲学家的共同财富。”在科学元典里，有讲述不完的传奇故事，有颠覆思想的心智波涛，有激动人心的理性思考，有万世不竭的精神甘泉。……科学元典是时读时新的。“势能属于系统”理论上没有错误，尤其是内势能问题，但是当相互作用的两个物体质量相差极大——例如力学实验室中研究自由落体问题，经过计算可知质点的运动对于地球能量的变化微乎其微，系统相对误差在10-25至10-26范围内[40]，不仅远远小于空气阻力的影响，也小于重力加速度变化产生的误差，甚至小于狭义相对论效应，完全可以忽略，我们在地面系计算重力势能时忽略了地球能量的变化，在电梯系也必须忽略量变引起了质变。物理学没有绝对0与无穷的客观事实，物理学方程只能是客观物质世界近似描述的必然原因。准确地说自由落体是一个两体问题，即小球和地球所构成的质点组问题。在质心系中，按动量守恒有（1）其中：分别为小球和地球质量()；分别为小球落地时刻小球和地球在质心系中的速度。所以，小球落地时刻地球的动能为（2）把式(1)代入式(2)得（3）而初始时刻小球与地球的动能均为零。所以，即是地球的动能增量与小球的动能增量相比较，是可以忽略不计的，小球的动能增量可以近似地等于系统动能增量，故系统势能的减少近似等于小球的动能增量。非质心（非惯性系）中的情况，按动量守恒有（4）其中：分别是小球和地球在系中的初始速度；分别是小球落地时，小球和地球在系中的速度，显然（5）把（5）代入（4）得（6）地球的动能增量（7）这就是在系中的地球动能改变量，与小球的动能增量3mgh是同数量级的，不能被忽略，所以系统的总动能改变为，满足能量守恒。由此可见，在质心系中可以被忽略的大物体的动能改变，在非质心系中一般是不能略的。外势能并没有否定内势能，只是某些情况下内势能不具有可操作性，利用外势能计算简便，可操作性强，这只是一种数学计算技巧而已。数学本身是一种物理简并，解题方法、手段、规则也是一种简并。“重力势能属于地球和物体”理论上没有错误，但是没有实际意义。现行力学教材中说：“重力势能属于物体是一种通俗的说法”表述错误，应该是一种精确度极高的表述。此时地面系和相对于地面匀速运动的坐标系都按照惯性系对待，地球质量视为充分大，外势能只研究质点就可以，例如研究自由落体运动，在电梯系不用管地球。实验中按照内势能计算还是按照外势能计算根据研究问题的需要，例如日地系统、人造地球卫星围绕地球运动必须按照外势能计算，地月系统、木星围绕太阳运动可以按照内势能计算。下面以弹簧振子为例验证一下利用内势能计算的机械能守恒定律满足伽利略变换，在静止系外势能是内势能的极限情况，——○○○○小车uv墙Fo图2弹簧振子机械能守恒问题光滑水平地面xmx•假设弹簧振子固定在地面上，如果把地球考虑进来，静止惯性参考系就只能选择地球之外的更高级别的惯性系，比如地球和小球系统的质心为惯性参照系，总之质心参照系是理想的，速度和加速度都是0，就讨论振子机械能的目的而言，其它天体的作用和地球的自转都要忽略掉(或者相互抵消)，地球也被当成一个均匀球形刚体，或者更进一步简化为质点，地球和小球之间只有弹力作用，如图1所示，记小球和地球的质量分别为，各自相对质心参考系的速度分别为，小球的弹性势能为，则有(8)式中为系统能量常量。假定有一个以相对于质心恒定速度运动的参考系，在这个动参考系中观察到的小球和地球速度分别为，相应的机械能为(小球的弹性势能仍然不变)(9)将代入有整理可得(10) 式(10)等号左端第一个圆括号内为静止系中看到的系统机械能，第二个圆括号内也是常量。第三个圆括号内为静止系中观察到的系统动量。前面已经声明，其他外力忽略不计，所以动量也不随时间变化。综上，在相对于质心参考系作匀速动参考系中观察到的机械能也守恒，验证了利用内势能计算的机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性。当趋向于无穷大时，此时地球和系统的质心重合，，把它们代入式(9)有(11)为了便于对式(11)讨论，我们应该把它换成为，和的表达式。此时可解出(12)代入式(8)可得(13)再代入式(11)有(14)当把地球质量视为无穷大时，式(14)退化为，机械能显然守恒，所以外势能是内势能的极限情况。物理学中没有真正的无穷大，只有相对的无穷大，例如本题，当然本题也可以利用约化质量解决。等效思想作为物理学研究中的重要方法论，在复杂系统问题的研究中展现出独特的优势。通过对经典两体问题研究范式的分析可见，基于万有引力模型的折合质量方法已构建完整的理论体系:通过天体运动方程的系统性解算，验证了折合质量等效方法在天体力学中的普适性;更进一步，折合质量在统一动量、角动量等物理量表达式中也能发挥有用的整合效能。从上面的计算过程可以看出，我们把地面系作为惯性系的同时默认了地球质量为无穷大，是近似计算的需要，此时需要忽略实验因素对于地球能量、动量等物理量的影响，地球质量为有限值和地面系为惯性系二者不能兼容。计算过程体现了微分学的基本思想——在近似中求得以精确，在量变中求得以质变。物理学家约翰·惠勒所说，“简单的是数学，复杂的是现实”。有限是物理存在的客观概念，无限是数学想象的主观概念。人类只能认识有限的客观世界，所以现实物理学不考虑无限的主观世界。现实物理学将真实量限制在有限实数域(–∞<|q|<∞)，将标度限制在正实数域(0<qs<∞)。线段、面积和体积的标度分别为rs，(rs)2和(rs)3。“空间点”和“时间点”不属于物理量，因为点是没有标度的。现实物理学采用位移速度取代经典力学的瞬时速度。位移速度的标度是us=rs/ts，由于标度不为零，避免了瞬时速度所用的无限小时间概念。真实量的导数和积分不包含无限概念和求极限过程，从而消除了无限所导致的各种悖论。其实现在国内外所有的力学教材最初都是以外势能引入的，只不过后来增加了一个势能属于系统、势能是相对位置的函数、一对保守力的功等于势能的减少量等内势能的属性，这样人们就误认为外势能也具有这些属性。在文献[41—42]中作者在地面系按照外势能计算，在电梯系（或者小车系）按照内势能计算，前后不自洽，导致了机械能守恒定律不满足力学相对性原理的错误。由于外力做功不具有伽利略变换的不变性，因此外势能不具有伽利略变换的不变性，这也是量变引起质变的结果，在经典力学中由于没有明确指出这个问题。由于“势能属于系统”仅仅适用于内势能，笔者建议把“势能属于系统”在教材中删除，或者说明仅仅适用于内势能。伽利略说过：“真理不在蒙满灰尘的权威著作中，而是在宇宙、自然界这部伟大的无字书中。”物理学是自然科学领域的一门基础学科，研究自然界物质的基本结构、相互作用和运动规律。物理学基于观察与实验，建构物理模型，应用数学等工具，通过科学推理和论证，形成系统的研究方法和理论体系。物理学史表明，每一次物理学思想上的危机，都孕育着物理学上的一次重大的突破，而每一次重大的突破，都会强烈地在当代乃至下一代的哲学思想上留下不灭的印记。牛顿、爱因斯坦等在物理学发展进程中所做出的贡献，始终伴随着他们从哲学高度所阐发的思想，不仅对物理学，对全部自然科学乃至社会科学的探究，均产生了深刻的影响。波恩在诺贝尔物理学奖致谢词中讲到：“我荣获1954年的诺贝尔奖，与其说是因为我所发表的工作里包含了一个自然现象的发现，倒不如说是因为那里面包括一个关于自然现象的新思想方法基础的发现。物理学不仅包括物理概念、规律和原理等知识，还蕴含了物理学认识客观世界的一般化思路，即物理学认识路径。所谓物理学认识路径，是指面对物理现象或者问题情境时，从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系的认识过程中所使用的结构化、系统化思维模式或者程序。主要包括问题特征、认识对象、认识角度和认识方式四个元素。物理学认识路径是物理学知识和思想方法的结晶，是物理学家认识客观世界的思维工具，是物理学习的重要内容。3.纠正对于功能原理的误解3.1目前教材对于功能原理和机械能守恒定律的推导首先我们回顾一下教材中功能原理和机械能守恒定律的推导过程：机械能守恒定律来自于动能定理或功能原理。在经典力学范围内，它们都可以由牛顿第二定律导出。而牛顿定律只适用于惯性系，因此，通常只在惯性系中讨论相对性原理。由于dWFdR，因此力F必须是稳定场，功的定义式W=F.S和动能定理只适用于稳定场。滑动摩擦力属于“耗散力”，做功与路径有关，如果考虑摩擦力做功的过程中与产生热能关系时，一个物体在另一个物体上相对滑动,摩擦产生的热量“Q=f·s相对”。此时是一对滑动摩擦力的功，与单质点的功不同，耗散力的功具有伽利略变换的不变性，原因在于质点组内部微粒之间的作用力参与了能量转换，没有定义势能，是一种接触作用。W=F.S适用于对于单质点或者刚体做功，此时做功与路径无关，可以定义势能，动能与势能之和机械能守恒，对于不同的参照系机械能之差是一个定值；W=F.S对于耗散力不成立，因为耗散力的功与做功的路径有关。设在一个惯性系S中，，其中应理解为作用于质点上的合外力,两边同时点乘质点的位移，得，或，对有限过程，这就是动能定理。对于一组质点组成的质点系，类似可推导得对保守力，有，故，这就是功能原理，其中若，则，即机械能守恒。现在考虑另一个相对于惯性系S匀速运动的惯性系,则在低速情况下，有，，如果与参照系的运动状态无关，则有，由此得，即牛顿第二定律具有伽利略不变性，或者说服从经典的相对性原理。因此，动能定理和功能原理在惯性系中依然成立，可写为：。其中虽然每个质点的受力与参照系无关，但它们的位移与参照系有关。因此，即使在一个惯性系中满足机械能守恒条件，在另一个惯性系中可能不满足机械能守恒条件，即在一个惯性系中机械能守恒，在另一个相对于它做匀速运动的惯性系中，机械能可能不守恒。在一个惯性系中不做功的力，在另一个相对于它做匀速运动的惯性系中，这个力可能做功。反之亦然。3.2功能原理推导的错误在于没有引入外势能由于文献[43]没有正确理解外势能，利用外场计算势能用内势能定义，外势能不用考虑力源。关于内势能的机械能守恒定律满足力学相对性原理力学界是取得共识的[19—20]，关于外势能的机械能守恒定律也满足力学相对性原理[29]，能量守恒定律是一个普遍规律，具有单独的协变性——对于同一个系统在一个惯性系里机械能守恒，在另一个惯性系里机械能一定守恒，文献[11]、[41—51]的观点是完全错误的。其实现在力学教材都是从单质点的势能——外势能定义的，在推导重力、万有引力、弹力是保守力时也是按照一个质点受到的力推导，没有考虑两个质点，在自由落体运动、单摆、斜面、引力场、弹簧振子等问题推导机械能守恒都是利用外势能计算。各参考系中的物理量只当对本参考系中的可观察量定义时才有意义。现行的很多力学教科书的功能原理，W外力W非保守内力(EkEp)(Ek0Ep0)(15)由于式(15)没有引入外势能，将机械能守恒定律成立的条件W非保守力≡0（系统不受任何非保守力的作用），搞错为W外力W非保守内力≡0（外力和非保守内力都不做功）．正确的功能原理应为W非保守力(EkEp)(Ek0Ep0)（非保守力的功等于机械能的改变量）(16)式（15）和式（16）的区别只在于引入外势能，即把所有保守力的功都移到等号右边，等号左边只剩下非保守力的功[39]。式（16）给出的机械能守恒定律成立的条件为W非保守力≡0。因此建议把式（15）从力学教科书中删除，用式（16）代替它的位置（值得一提的是漆安慎的力学从2005年以后的版本就已经这样做了），并改称式（16）为机械能定理，因式（16）确实是定理而非原理。3.3稳定场都是保守力场引理：力的旋度等于0，环路积分为0和作用力F是某\o"位势"位势的\o"梯度"梯度三者是等价的。设定F为在空间任意位置定义（或空间内单连通的区域）的\o"矢量场"矢量场，假若它满足以下三个等价的条件中任意一个条件，则可称此矢量场为\o"保守矢量场"保守矢量场：①F的\o"旋度"旋度是零：；②假设粒子从某闭合路径C的某一位置，经过这闭合路径C，又回到原先位置，则力矢量F所做的机械功W等于零：；③作用力F是某\o"位势"位势的\o"梯度"梯度：。①⇒②：设定C为任意简单闭合路径，即初始位置与终结位置相同、不自交的路径。思考边界为C的任意曲面S。\o"斯托克斯定理"斯托克斯定理表明。假设F的旋度等于零，方程左边为零，则机械功W是零，第二个条件是正确的。②⇒③：假设对于任意简单闭合路径C，F所做的随体功W是零，则保守力所做于粒子的随体功，独立于路径的选择。设定\o"函数"函数，其中x和o分别是特定的初始位置和空间内任意位置。根据\o"微积分基本定理"微积分基本定理，。所以第三个条件是正确的。③⇒①：假设第三个条件是正确的。思考下述方程：所以第一个条件是正确的，因此这三个条件彼此等价。由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径要求，所以只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力。如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关，即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保守力。势能定理为=-fdr，势能是位置的函数，环路积分必等于0。验证一个力是保守力，三个条件只要证明一个即可。环路积分等于0是判定力是保守力的充要条件。定理1：稳定场都是保守力场证明：因为力学中场都是连续的，所以黎曼可积。对于稳定场F=F(r)而言，假设U(r)=F(r),∮F(r)dr=U(a)－U(a)=0，因此所有的稳定场都是保守力场，对于非稳定场环路积分一定不等于0，可以把保守力的定义简化为：只与空间位置有关的力。注意非保守力为显含时间的力[52]（包括耗散力），从对称性角度看，保守力具有时间反演的不变性，非保守力不具有时间反演的不变性，能量守恒定律的普遍性在于它与时间的均匀性相关联。W=F.S⇔F为保守力⇔F为稳定场⇔。文献[62]证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，文献[65]证明了惯性力都是保守力，因此保守力具有坐标变换的不变性。3.4机械能的相对性速度是相对的，所以动能也是相对的。机械能也是相对的，两坐标系“守恒量”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加mu2mu.v0，其中v0为t=0时静止系测量的质点初速度（因为在原点处势能相等，动能之差等于mu2mu.v0，在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为mu2mu.v0），文献[31—35]和[38]得出E'=E+mu2，原因在于v0=0。其他情况不再分析。[35]由此可以得出能量守恒定律的一个推论：对于同一个物理系统，不同观察者（包括惯性系和非惯性系）测量的能量之差（对于保守力能量指的是机械能，不能单指动能或者势能）是一个定值。比较“另类”的科学认识总是由个别人、极少数人最先察觉并大胆提出，刚开始绝大多数人都不接受，随着新证据的不断涌现和时间的推移，接受新认识的人会越来越多，最后才被多数人接受。当“另类”科学认识被实践证实、被多数人接受以后，就不再是“另类”科学认识而是常规科学认识。“另类”科学认识的发现和接受过程都是首先由个别人、极少数人发现最后被多数人接受。科学认识的发现和接受过程说明科学是多数服从少数。所以，诺贝尔奖得主、华裔美国科学家丁肇中教授认为：“科学是多数服从少数，只有少数人把多数人的观念推翻以后，科学才能向前发展。因此，专家评审并不是绝对有用的，因为专家评审是依靠现有的知识，而科学的进展是推翻现有的知识。”所以说，科学是少数人推翻多数人的观念，“另类”认识不等于错误认识。3.5外势能不具有伽利略变换的不变性利用外势能计算，先看一个经典的证明过程——mF(r)(与地点有关但与时间无关,即该力为保守力)，也就是存在势能U(r)使FF(r)(r那么粒子的运动方程是mrmr(r它的动能是T2，所以总机械能是E(r)2U(r),因此，即总机械能是守恒的。对于静系的速度是u，粒子在静系中的坐标是r，在动系中的坐标是r，那么就有Galileo变换rrut,rrut.由于mrmr，所以粒子在新的参考系中的运动方程变为mrmrrutU(rut),动能变为Tmv2m(vu)22r2, 势能变为U(rut)，所以总机械能变为也就是说EE(r)E(r)12r.所以E(r)和E(r)之间不仅差一个常数项mu2，而且差一个与时间有关的项r，因此不再守恒了。解析地说，现在其中u正是静系相对于动系的速度。所以动系中的总能量E的变化，等于在动系中看来，力F(r)对静系中某固定点所做的功。笔者认为在上述推导过程中，错误在于认为静系与动系的势能相等，导致在动系机械能不守恒。下面利用内势能计算：第三定律，作用必然是相互的。假设粒子m受到的力来自另一个物体Mm受到力FF给M，使后者的速度发生改变，然而上面的计算没有把后者考虑在内。所以，更准确的分析如下：考虑一个二体系统。设两粒子的质量分别是和，它们之间的相互作用是保守的，即是存在势能U)(是是的空间坐标)rUrU)1rUrU)2(实际上二者只是互相反号)，那么总的机械能是这个能量是守恒的，而且这个守恒性与参考系的选择无关。证明很简单，首先，PAGEPAGE16其次，当我们从静系变换到动系的时候，r1和r2同时受到变换这样一来，两个粒子新的动能是二者之和为由于两个粒子之间的相互作用只和它们的相对坐标有关，也就是说这个系统是一个孤立系统，因此两粒子的质心速度是不随时间改变的，即再加上，因此相互作用势能完全不变，即UU)。所以E的守恒就直接给出了E的守恒：证毕。可以注意，我们这里完全没有限定和的大小，即使其中一个是小钢球而另一个是地球，结论仍然是成立的。4.重新理解机械能守恒的条件机械能守恒定律是指在一个系统中，机械能的总和（动能与势能的总和）在任何过程中都保持不变。力学相对性原理是指在任何惯性参考系中，力学规律都是相同的。根据这两个定义，可以得出机械能守恒定律满足力学相对性原理的结论。这是因为机械能守恒定律是基于牛顿运动定律和能量守恒原理得出的，而这些原理在任何惯性参考系中都是成立的。无论参考系如何选择，系统中的动能和势能的变化都将遵循相同的规律，从而保证机械能的守恒。例如，在一个相对运动的参考系中，尽管物体的速度和位置可能看起来不同，但它们的动能和势能的变化仍然满足机械能守恒定律，与静止参考系中的情况一致，因此机械能守恒定律满足力学相对性原理。这意味着无论我们选择哪个惯性参考系来观察一个机械系统，只要满足机械能守恒的条件，该系统的机械能都将保持守恒。机械能守恒定律在力学定律中地位很高，定律本质上是动能定理的等价形式，不需要严格限制条件，机械能守恒定律的具体形式和参考系无关关，无条件遵从相对性原理。文献[33]证明了在自由落体运动中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[53]证明了在斜面问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[35]证明了在单摆问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[31]和[34]说明弹性势能机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[32]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换。机械能守恒定律成立的条件其实非常简单——只有保守力做功[54]（笔者注：或者说不存在显含时间的力），这一点其实早已经取得了共识的，后来由于出现了这一场跨世纪的争论，才导致了多种描述，对于这个内容可以参考文献[55—57]，大部分国内外理论力学教材给出的机械能守恒定律成立的条件都是这样。不用区分内力和外力，这是质点动力学问题。从希腊时期开始，到了开普勒，到了19世纪，到了20世纪，我们对于数学，对于对称的描述，以及这个描述在物理学中的应用都有了长足的进展。到了今天我们已经达到这样的一个高度：知道所有力的基本数学结构，它们的数学方程式都是由对称来描述的。可是，在其中还有一些没有解决的困难。大家都很自然地想到，能解决这些尚末解决的困难的方法是要把对称这个观念再加以推广。在过去的几百年之间，由于不断地推广对称观念，我们才达到今天，今天还未能解决的问题，很可能是出于我们还未把对称这个概念推广到头。机械能守恒定律：如果所研究的系统只有保守力，那么系统的机械能守恒（不变）。证明：（17）机械能与时间无关。[58—60]另证：根据质点运动动能定理：dW保守力+dW非保守力=d(mv2)(18)合力对质点所做之功等于质点动能的增量。引入势能定义：保守力的功等于质点势能增量的相反数，fdr=—dEp（19）(18)式化为质点机械能定理：Fdr=d（Ek+Ep）（20）非保守力的功等于质点机械能的增量。（20）式给出了质点机械能守恒的条件。当质点不受非保守力作用时（F=0），我们便得到质点机械能守恒定律，d（Ek+Ep）=0（21）（20）式为质点微分形式的机械能守恒定律，将其积分便得到积分形式机械能守恒定律，Ep(t)Ek(t)Ep(0)Ek(0)E（22）机械能守恒条件——研究系统里只有保守力（或者说没有显含时间的力），机械能守恒定律满足力学相对性原理，牛顿运动定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件，机械能守恒定律无条件服从力学相对性原理；对于同一个物理过程，只要在一个参照系机械能守恒（拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间），在其他任何参照系一定守恒（拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间），机械能守恒的充要条件是系统只有稳定场（保守力）。朗道在《理论物理学教程（第一卷）力学（第五版）》第五页指出：力学运动方程在伽利略变换下具有不变性。第13页指出：能量守恒定律不仅对于封闭系统成立，对位于定常外场（即不显含时间）的系统也成立，能量守恒的系统也称为保守系统。现在各个版本的力学教材对于机械能守恒定律的条件叙述不尽相同，例如程守洙、江之永主编的《普通物理学》（第五版）对于系统机械能守恒定律描述为：“如果一个系统内只有保守力做功，其他一切内力和外力不做功，或者它们的总功为0，则系统内各物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总值不变。”漆安慎、杜婵英主编的《普通物理学教程。力学》的描述为：“在一过程中若外非保守力不做功，又每一对内非保守力不做功，则质点系的机械能守恒”和周衍柏的《理论力学》（第二版）的描述为：“如果作用在质点组上的所有外力及内力都是保守力（或其中只有保守力做功）时，才有：T+V=E，即机械能守恒。”赵凯华、罗蔚茵主编的《新概念力学》描述为：“一个保守系总机械能的增加等于（未计入外场部分的）外力对它所做的功；如果从某个参考系看来，这部分做功为0，则该系统的机械能不变。”仅当不存在非保守力或非保守力所作之功可以忽略时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常数，即当时。文献[32]指明了包含外势能的机械能守恒定律成立的条件为只有保守力做功是正确的。除此以外经典力学对于弹性势能定义的表述不严格、没有认识到约束力是保守力以及认为保守力可以变换为显含时间的力错误认识才导致关于机械能守恒定律与力学相对性原理讨论持续没有定论。[35][61—62]相对性原理和单独的协变性是一回事，无需进行区别，不需要引入联合协变的概念，爱因斯坦和朗道对于相对性原理的表述是正确的，纠正了部分文献的错误；牛顿运动定律的所有推论（例如声波运动方程、欧拉方程等）都具有伽利略变换的不变性。[43—51][63—65]根据上面给出的机械能守恒的条件，文献[66]给出的两个实例，机械能显然守恒，无需利用该文中复杂的判断。由于静电力也是保守力，笔者建议把质点受到静电力具有的电势能作为机械能的一部分，电磁学中按照接触作用（场）的能量不再按照机械能处理，国外的教材一直这样编排，否则下面的实例难以理解：由质量为M、带正电为Q的质点兼点电荷A和质量为m、带正电为q的质点兼试验电荷a组成的质点A质点a系统中，增大Q，使A对a的电推力大于A对a的引力，因此a加速远离A。此时突然减少Q，使A对a的电推力等于A对a的引力，因此a匀速远离A。此时对于质点A质点a系统，A对a的电推力是外力兼保守力。5.一个常见实例再探讨济南市2018年中考物理试题中的第10小题如图3所示，小强乘坐自动扶梯匀速上升的过程中，他的（）动能不变，重力势能增加，机械能增大；B.动能减小，重力势能增加，机械能不变；C.动能增大，重力势能减小，机械能不变；D.动能不变，重力势能减小，机械能减小。图3原题的答案是A，速度不变，动能不变，重力势能增大，机械能增加。本题的答案显然错误，正确的答案为：动能不变，重力势能增加，支持力势能减小，机械能不变，支持力也是一个保守力。（在这个问题中如果以电梯为参照系，机械能显然守恒，在地面系机械能也守恒才满足力学相对性原理。）注意此时电能转化为电梯的机械能，不是直接转化为质点的机械能。6.经典势能公式的适用范围根据势能定理势能dEp=（-f）dr，而保守力的元功是坐标函数的全微分、可积分的，积分值为末态始态之差与积分路径无关，因此外势能也具有相对性。在经典力学教材中我们一般都是根据势能定理dEp=（-f）dr推导势能公式的，因此势能定理dEp=（-f）dr比势能公式更基本，对于外势能而言Ep，势能零点必须选在无穷远点，其他情况不成立，仅仅适用于观察者在保守力方向上的分速度始终为0时的情形，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明势能一样具有相对性。Epkx2也不是弹性势能的一般公式[67]。现在不少的力学教材没有指明这一点，认为势能差是绝对的，与观察者无关[68]。文献[69]的错误在于没有区分内势能与外势能，认为外势能也是属于系统，没有认识到外势能不具有伽利略变换的不变性。经典的势能公式对于内势能成立——内势能具有伽利略变换的不变性。不少人认为经典的势能公式适用于所有的惯性系，在功能原理中排斥外势能的存在，认为都是内势能，但此时需要牺牲一些经典的结论，例如研究自由落体运动地面系就不是惯性系了，机械能也不守恒，而且不具有可操作性，譬如我们根本不知道地球的具体质量等，其他实例也存在这个问题。文献[43—47]以及[70—77]是完全错误的。7.机械能守恒定律满足广义相对性原理文献[65]证明了所有惯性力都是保守力，所以对于同一个物理过程，在一个参照系机械能守恒，在其他任何参照系机械能都守恒。[78-87]在只有保守力的情况下，不管是单质点还是质点组，任何一个质点动能的变化量和势能的变化量一定互为相反数。能量守恒定律一定具有单独的协变性，在力学中机械能守恒定律一定具有单独的协变性。因为牛顿运动定律具有单独的协变性，它的所有推论都应当具有单独的协变性。否定了这一点，就等于推翻了牛顿力学和朗道、爱因斯坦对于相对性原理的表述，这就像在欧几里得几何学中可以推出三角形内角和不等于1800一样。1946年爱因斯坦在《自述》中写道:“自然定律应该表述为在连续坐标变换群下协变的方程。这个群替代了狭义相对论中的洛伦兹变换群，后者形成前者的一个子群。”“当然，这一要求自身作为导出物理的基本观念的出发点并不充分。⋯⋯广义相对性原理突出的启发式的意义在于它导致我们去寻求在广义协变形式下尽可能简单的方程组”。于是，他又提出了在广义协变形式下的“简单性”要求。著名相对论学者迈斯勒、索恩和惠勒在他们的名著《引力》一书中，这样来表述广义相对性原理和简单性要求:“‘物理量必需表述为(与坐标无关的)几何量，物理定律必需表述为这些几何量之间的几何关系。’这一物理观点，有时称为‘广义协变性原理’，遍及20世纪物理思维。经典力学中利用折合质量或者折合力处理两体问题，进一步验证了物理规律对于所有参照系都成立，只是物理量数值不同。8.牛顿碰撞定律与机械能守恒定律的协变性如果把单个质点扩展到质点系统，只要系统与外界没有能量交换，系统内部的力学规律和数学形式是不会改变的，所以伽利略相对论原理的基础是能量守恒律.伽利略变换之所以可以确保力学规律的不变性，很重要的一点是数学的坐标系变换不产生真实的力的作用或能量交换.两个质点发生弹性碰撞，根据牛顿的碰撞定律，碰撞后两个质点的分离速度等于碰撞前的接近速度，这个结论验证了机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性.因为以其中一个质点为参照系，碰撞前另一个质点的速度就是接近速度，碰撞后的速度就是分离速度，根据碰撞定律速度显然相等，动能也相等，所以在以质点为参照系看来能量守恒定律也成立.反之，如果承认机械能守恒定律满足伽利略变换的不变性，就可以直接得出——发生弹性碰撞的两个质点分离速度等于碰撞前接近速度，牛顿碰撞定律是机械能守恒定律满足相对性原理的一个例证.对于弹性碰撞而言，牛顿碰撞定律等价于机械能守恒定律的协变性.根据机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，可以直接得出碰撞定律，无需单独证明.牛顿碰撞定律适用于两个相互作用的质点没有相互作用力，否则它们之间存在势能的变化，结论不成立。参考文献：[1]孟昭辉.要正确认识“势能属于系统”的物理本质.物理实验（中学部分），第24卷第12期，2004（12）：8—9．[2]高炳坤.一个保守力的功等于势能的减少吗.大学物理，第20卷第5期，2001（5）：19—20，30．[3]王广泰.浅谈从保守力做功到势能概念的引入.物理与工程，第13卷第3期，2003:22—24.[4]张萍.一对内力的功.物理教师，第25卷第11期，2004（11）：29，31.[5]侯玉琳.功和能与参照系的关系.鄂西大学学报，1987年第三期，6—11．[6]黄时中，尹仕庭.关于势能教学的讨论.安徽师范大学学报（自然科学版），第17卷第3期，1994（9）：101—102．[7]许胜虎.保守力做功和势能减少的关系.南京广播电视大学学报，2002年第2期:76—77．[8]吴延斌.作用力和反作用力做功与参考系的选取.沈阳师范大学学报（自然科学版），第18卷第2期，2000（4）：37—40．[9]孟昭辉.运用机械能守恒定律解题的参照系问题——对“一道中学生物理竞赛试题答案的商榷”一文的不同意见.物理教师，2015年（2）:94.[10]蔡伯濂.关于讲授功和能的几个问题[J]．工科物理教学，1981(1)，7—13．[11]冉婷，余杰，兰小刚.惯性参照系的选择与机械能守恒.物理教学探讨，2017(9)：38—39．[12]郑永令.力学[M]（第二版）．高等教育出版社，2002年：194．[13]党兴菊，张瑶，孙骏.势能概念的探讨.高师理科学刊，2015（12）:44—48.[14]罗志娟，段永法，谢艳丁，何艳.关于功能原理的讨论.物理通报，2014（11）：106—107.[15]袁书卿，万明理.关于质点系功能原理和机械能守恒定律相关问题的讨论.洛阳师范学院学报.2014（8）：50—53.[16]苏云.功能原理的价值.韩山师范学院学报，32（6），2011（12）：46—48.[17]谭昌炳.机械能定理和力学相对性原理.三峡大学学报（自然科学版），2005(2):93—96.[18]白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律[J].大学物理，1997，(16)3：11—12．[19]管靖.力学相对性原理与机械能.大学物理，1991（11）：21—24.[20]史玉昌.势能和机械能守恒定律[J]．大学物理，1988(7)：16—17．[21]郑国安.不能忽略惯性力的功.物理教师，第26卷第8期，2005（8）：40.[22]高炳坤.力学中一个令人费解的问题.大学物理，第14卷第5期，1995（5）：20—21，24．[23]高炳坤.能量追踪.大学物理，第20卷第3期，2001（3）：15—16，42．[24]谢铁曾.涉及地球的力学问题易出现的佯谬.北京联合大学学报，1991年第2期：26—30．[25]高炳坤，谢铁曾.地球所受的一种易被忽视的惯性力.大学物理，1991（11）：46—47．[26]高炳坤，李复.对“力学中一个令人费解的问题”的补充.大学物理，第15卷第10期，1996（10）：44，48.[27]张景春，韩淑梅.浅析物体系的势能[J]．辽宁大学学报（自然科学版），1989(4)：33—36．[28]党兴菊，张瑶，孙骏.势能概念的探讨.高师理科学刊，2015（12）:44—48.[29]张小溪.也谈力学相对性原理与机械能[J]．怀化师专学报，1994，(13)1：112—114．[30]张相武.力学体系保守力的判据和势能的计算.甘肃教育学院学报（自然科学版），第14卷第1期，2000（1）：24—27.[31]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷[J]．物理通报，2014(9)：119—120．[32]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123—124．[33]赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(3)：96—98．[34]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109—111．[35]李学生.对一道困扰力学界五十多年习题的思考.百科论坛，2020年7月（上）:74—77.[36]李学生.正确理解功的定义.中国高新科技，2020年11月（下），2020年第22期，总第82期：145—147.[37]朗道著.李俊峰，鞠国兴译.力学（第5版）高等教育出版社，2010年7月第2次印刷：15.[38]李学生.匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9.[39]刘文芳，刘明成.关于功能原理之来源之探索.吉林师范大学学报（自然科学版），2007（2）：119—120.[40]丘滨.重力势能系统共有概念的量化分析.中专物理教学，1999年（第7卷）第4期，15—16.[41]高炳坤.一个保守力做的功等于势能的减少吗[J].大学物理，2001，(20)5：19—20，30．[42]白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律[J].大学物理，1997，(16)3：11—12．[43]朱如曾.力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016（10）：11—16.[44]朱如曾.相对论力学中普遍定律的实用判别法和协变集的实用构造法.力学与实践，2002年第24卷第3期:70—71.[45]朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求——机械能守恒定律协变性疑难的解答.大学物理，2000（2）：15—19，26.[46]朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求——关于协变性疑难的进一步讨论.大学物理，2002（3）：19—23.[47]赵凯华.编者的话.大学物理，2002（3）：18.[48]赵凯华.澄清对相对论性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月:12—13.[49]杨习志，赵坚.关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨.物理教师，第41卷第5期，2020（5）：65—67，72.[50]赵坚.关于与机械能守恒相关的一些问题的探讨.物理教师，2019，40（5）：62—65.[51]赵坚．机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题[J]．物理通报，2006（6）：19—21．[52]张建忠.对机械能守恒条件的讨论［J］.集宁师专学报，2006，28（4）：68—69.[53]张翠.斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115—117.[54]王燕波，鲁祥珍.经典力学中功能关系.剑南文学（下半月）（经典教苑）学海纵横，2011（6）：281.[55]漆安慎，杜婵英.包景东修订．力学[M]．北京：高等教育出版社，2012年：139．[56]李力．谈机械能守恒定律的正确表述[J]．物理通报，2007(3)：21—22．[57]贾利群，黄宏春.关于机械能守恒定律的讨论.平顶山师专学报（自然科学版），1998（4），第13卷第2期，22—27.[58]刘明成.对一道困扰中国力学教学40多年习题的思考.2025年全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会论文集.清华大学出版社，2025年7月：20—27.[59]李学生.动量守恒定律与角动量守恒定律的协变性疑难.国际教育学，2025年第7卷第7期：30－38./zn/Detail/index/GARJ2021_6/SQLLF6F6E0C13241EC8F3C712805EBC7348D[60]刘明成.电子的电磁质量不是引力质量的一部分.2025物理与工程前沿教育教学创新研讨会暨大学物理MOOC联盟工作会会议论文集：115—121.[61]刘瑞金.机械能相关问题的讨论.淄博学院学报（自然科学与工程版），2001（12）：47—50.[62]李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318—319.[63]周筑文.国外与国内大学物理对于伽利略变换不同描述的思考.物理与工程，2019（S1）：112.[64]周筑文.物理学对称美和物理核心素养的培养.贵州师范学院学报，第35卷第12期，2019（12）：51—56．[65]李学生.理想流体伯努利方程的协变性初探.科学发展研究，2025年第5卷第6期:83-92.[66]谭小虎，李秋明，韩小雪，马颖.例谈杆球问题中机械能守恒的判定.物理通报，2024年第1期：66—68.[67]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237—238.[68]郑金.对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨[J]．物理通报，2015(7)：109—112．[69]林辉庆.机械能守恒定律服从力学相对性原理.物理教师，第41卷第4期，2020（4）：,94—97.[70]赵凯华.澄清对相对性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月：12—13.[71]秦真科,朱广天.保守力、势能与参考系的深入讨论[J].物理与工程,2025,35(01):174-177.[72]高炳坤.机械能守恒定律和相对性原理.大学物理，1999（1）：18—21，24.[73]高炳坤.“机械能守恒定律是否遵从力学相对性原理”辨.大学物理，2000（2）：20—22.[74]喀兴林.编者的话.大学物理，2000（2）：27—29，34.[75]高炳坤.用伽利略变换审视牛顿力学.大学物理，2010（6）：1—3.[76]蔡伯濂.关于力学相对性原理与机械能守恒的来稿综述.大学物理，1994（1）：20—22.[77]易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：18—22.[78]李学生.一个物理教师提出的理论物理问题.现代物理学报，2025年第8卷第12期：1-36.[79]李武刚.引入“折合力”的两体系统力学关系及应用.高师理科学刊，第31卷第5期,2011年9月：40-43.[80]周衍柏．理论力学教程[M]．2版．北京：高等教育出版社，1986：126-130[81]钟小丽，韩仁元．折合质量的运用[J]．海南师范学院学报：自然科学版，1999，12（1）：74-76[82]徐望枢．两体问题在两个方面的推广[J]．温州师范学院学报，1996（6）：28-31.[83]高爱英．两体问题中基本运动定理的相对运动形式及其应用[J]．安庆师范学院学报：自然科学版，2009，15（2）：115-116.[84]白静江．两体问题中的功能原理及机械能守恒定律[J]．大学物理，1997，16（3）：11-14[8