3.机械能守恒定律是质点动力学规律

PAGEPAGE21机械能守恒定律是质点动力学规律——力学相对性原理与机械能守恒定律的关系研究综述摘要：分析了在研究机械能守恒定律与力学相对性原理的关系时需要准确理解的二十个问题，正是这些问题造成了长期的争论，建议力学教材明确指明，根据势能定理推导出惯性系中外势能的一般公式，外势能不具有伽利略变换的不变性，最后给出一个简要的一般性证明——机械能守恒定律满足力学相对性原理，牛顿运动定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件．文章系统地阐明了机械能守恒定律无条件服从力学相对性原理.关键词：机械能守恒定律；力学相对性原理；势能公式；势能定理；质点动力学中图分类号：O313.1文献标识码：A一、对应原理在坐标变换中的要求对应原理的提出1911年卢瑟福提出了原子的核式结构理论，宣告了原子基本结构的确立，但是卢瑟福的原子模型有一个致命的缺陷，它是直接由经典理论推演出来的，却无法由经典理论解释原子的稳定性、同一性和再生性等一系列问题.Bohr在研究这一问题时意识到有核模型理论不但在说明粒子大角度散射之类的实验上是有用的，而且也为建立一种有关原子的各种属性的系统理论奠定了基础.以此为研究目标，1913年Bohr分三部分在英国《哲学杂志》上发表了划时代的论文《论原子和分子构造》，此文被后人称为玻尔理论伟大的三部曲.文中把量子化的概念引入到原子结构之中，不仅从理论上解释了氢原子的光谱规律，并且精确地计算出里德伯常数.玻尔理论揭示了亚原子层次的量子特性，它和经典理论在本质上是有区别的.在考察其理论与经典理论之间的关系时，玻尔发现，随着量子数的不断增大，按照两种理论求得的谱线将趋于一致，在极限情况下(当量子数时)原子的能量趋于连续，同时氢原子光谱线的频率等于电子绕核运动的频率，而这些正是经典物理学的结论，对于这种渐近一致性，部分学者认为这是玻尔对应原理的最初萌芽.从玻尔1913年发表原子结构的论文开始，玻尔其实就是在用对应原理指导他的研究，对应原理这个思想体系的建立是一个长期研究形成的过程，而不是哪一天的工作.直到1920年玻尔才在正式场合使用“对应原理”一词，这是他对前面研究工作的一种总结，是对类比、对应思想的一种更确切的表述方式.量子力学理论可以成功精确的描述微观世界的物体（例如原子以及基本粒子），而宏观的物体（例如弹簧、电阻等）则可以用经典力学和经典电动力学所描述.矛盾在于，同一个物理世界，仅仅因为物体大小的不同，就需要不同的两个理论来描述，这显然是荒谬的.这一矛盾就是玻尔阐述对应原理的初衷，即在系统“大”的情况下，经典物理学可以认为是量子物理学的一个近似.量子逻辑对经典逻辑最根本的革命是修改排中律，正如海森伯所指出的“经典逻辑假设：如果一个陈述是有意义的，那么或者这个陈述是正确的，或者这个陈述的否定是正确的，二者必居其一.”，“按照经典逻辑，原子若不在箱子的左半边就必定在它的右半边，没有第三种可能性”.然而，在量子论中，如果我们仍用‘原子’和‘箱子’等词的话，我们必须承认，还有其它的可能性，这种可能性是前面两种可能的奇特的混合物”.量子力学和经典力学间就是存在这样的矛盾，然而由对应原理可知，量子力学和经典力学不是互不相容的或绝无联系的，也不存在孰是孰非，它们在各自领域内都是正确的，彼此由对应原理有机地联系.玻尔敏锐地把握住以实验为依据的原子核式模型和光谱分立的规律，同时接受了具有革命性的光量子观点，巧妙解决经典理论的困难而进一步大胆创新的思维轨迹.经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系，其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果，因此量子力学的建立必然是以经典力学为基础，它们之间存在必然的联系：（1）在量子力学中，对于谐振子和氢原子，它们相邻能级间隔很小.当n很大即时，能级可看作是连续能级，此时量子化特征消失，量子理论过渡到经典理论.（2）从量子理论过渡到经典理论的一个标志是普朗克常数h，当普朗克常数h对研究的问题可以忽略时，量子理论就过渡到经典理论.（3）量子力学中动量和坐标满足不确定关系，而经典力学牛顿方程中的动量和坐标在计算中取平均值.（4）通过从运动学和动力学角度对量子力学和经典力学的理论进行了比较分析，得出量子力学不同于经典力学的本质在于运动学.对应原理的意义对应原理的方法论意义不限于量子理论的发展，对应性是属性或关系范畴，包含对立和同一的类比性内涵，具有整体类比的意义.因此，现代科学发展中新旧理论之间也普遍存在这种极限条件下的类比对应关系.如当物体运动速度远小于光速时，相对论力学公式就过渡为牛顿力学公式等.同时，这一原理也对提出新的理论和模型具有重要的启示和选择作用，为科学创新提出了一种制约性的要求，即任何理论的发展都必须是逻辑自洽的.对应原理作为一种富有启发性的物理思想，对当今物理学的发展仍然具有重要的指导作用.在对应原理提出初期，由于历史条件，对某些问题，如量子动力学中的初始问题未能很好解决，使得在一个时期内量子力学不能像经典力学那样按因果关系去理解自然界的事件在空间时间中的演化过程.20世纪中期以后，经典混沌研究获得成功，表明这一问题是可以得到解决的.具体表现为:第一，经典力学中关于可积性的刘维尔定理，只是通过正则变换来明白显示系统哈密顿量与角变量无关的动力学对称性，与所涉及的由泊松括号来表示的李代数不同实现形式间的变换与变换后的哈密顿量具有的动力对称性的李代数特征，都有明确的量子经典对应，故这一刘维尔定理对于相应的量子情形同样适用.第二，通过反映系统哈密顿量动力对称性的李代数和李群，指出了哈密顿量的态空间与它的动力对称性群的表示空间之间的联系，因为不论经典情形或量子情形，都会存在这样的联系，所以也就指出了量子态空间和经典态空间之间的对应.第三，在量子力学中，哈密顿量的基态虽与经典力学中的静平衡态不同，具有零点涨落，它是具有最小不确定度的态，但是通过动力对称性群的不同元素的作用，可以给出与经典相点一一对应的具有最小不确定度的量子态，在不确定性原理的前提下，具有明确的量子经典对应.近年来实验技术的发展，使得能将微观粒子捕入势阱，再进一步将其冷却，从实践上提供了制备最小不确定度的可能.另外量子力学与经典力学的一个基本差异是线性叠加的“退相干”问题，而现行研究表明宏观量子体系在环境的影响下即退相干而显出经典性质.所以在量子力学现有的框架内依据对应原理，像经典情形那样完整地考虑量子动力学问题，不仅具有理论的而且还具有实践的意义.对应原理不仅仅是玻尔理论的重要部分，它用极限条件下的转化标准这根逻辑纽带，推进了和谐、完美、高度自治的物理学系统理论的构建；对应原理的推广更使人们有理由相信，对应原理是物理学中的一个重要的普遍原理，对应原理贡献巨大而又意义深远.对应原理对物理学发展的作用突出表现在量子论的形成和矩阵力学的建立上，在能量子理论和光的波粒二象性理论提出的过程中，普朗克和爱因斯坦都潜意识地受到了对应原理基本思想的启发，而海森堡、波恩等正是在对应原理的指导下建立了矩阵力学.对应原理对科学方法论的影响也是巨大的，作为多数非经典逻辑的通用原理，对应原理真正的价值在于“向前看”，在于转换，在于启发创新.对应原理的优点在于事先预言新的非经典逻辑将可能会怎样，而不满足于事后说新逻辑有什么性质与旧逻辑相对应.它更象预言家，而不是“事后诸葛亮”.对应原理不仅仅是玻尔理论的重要部分，它用极限条件下的转化标准这根逻辑纽带，推进了和谐、完美、高度自治的物理学系统理论的构建；系统论的纲领性思想是研究不同领域的概念规律和模型的同形性，寻找通用原理，并使之在各领域间转移使用，对多种非经典思想而言，对应原理恰恰是一条重要的通用原理；对应原理的推广更使人们有理由相信，对应原理是物理学中的一个重要的普遍原理.科学研究是继承和创新的过程，对应原理虽然具有一定的局限性和表述的非完备性，也不是一种具有严格规范程序的研究方法和定量表现形式，但作为一种富有启发性的物理思想，在物理学的发展史上起到过相当积极的作用，对当今的科学研究仍具有重要的实际指导意义.3.对应原理对于运动学、动力学方程的要求从运动学角度来看，选取什么物体系统作为参照系描述质点的运动，仅是为了处理问题的方便．这个看来是很简单的问题，在物理学史上却占有极为重要的地位.在四百多年前，哥白尼提出用日心说代替地心说，就是变换参照系的一个极为典型的问题．这一理论的建立，是天文学史上的一次伟大革命，是自然科学从神学中解放出来的标志，也是科学大踏步前进的开始.变换参照系处理问题，既不是故弄玄虚，更不是玩弄数学游戏，从运动学角度来看，完全是为了方便，描述运动更加简单.对于同一物理过程，不同参照系测量的守恒值不同，不代表不满足相对性原理.同理在运动学中，对于同一物理过程，不同观察者得到的运动方程形式上看似乎不协变，例如在静止系计算是自由落体运动，在运动系计算可能是平抛运动；在静止系计算是简谐振动，在运动系计算可能不是简谐振动；在静止系计算是匀速圆周运动，在运动系计算既不是匀速圆周运动，也不是椭圆运动，而且轨迹不封闭；……这些不能说明运动方程不具有协变性，不满足相对性原理，只要在运动系计算的运动方程当v=0时回到静止系方程即可，满足对应原理的要求就是满足相对性原理，运动系计算的运动方程是一般性方程，具有协变性，例如在运动系计算质点的轨迹方程为，当v=0时显然是匀速圆周的轨迹方程，因此方程具有协变性.伽利略运动的相对性原理能使牛顿力学运动方程的形式在任意惯性系中保持不变，不会破坏运动方程及其解的唯一性.对于运动学的定律，应该区分清楚用圆、抛物线、直线描述时，其数学形式也不会完全相同才合乎逻辑规范吧——科学理性有逻辑理性、数学理性、实验理性三种.为了描述运动观测的物理过程，我们必须建立正确的反映实际过程的物理模型及相应的数学模型，进行严谨的数理分析与推导，这样才能找到运动观测中客观存在的时空数据转换关系—“时空变换”的数学式，才能建立正确的相对运动观测理论.无论伽利略变换还是洛伦兹变换，在变换中存在着某些不变量和协变量，对于协变量必须满足对应原理的要求，例如运动系测量的某个物理量当牵连速度等于0时必须等于静止系测量的该物理量，对于非惯性系当牵连加速度为0时必须回到惯性系测量值.二、相对性原理在物理学中的核心地位在物理学中，在相对性运动问题上的核心原理是相对性原理，这一点无论对于经典力学还是相对论都成立.相对性原理即物理规律在不同惯性参考系中具有相同的形式，或者称之为物理规律在不同惯性系中的协变性.在物理学中在相对性运动问题上的核心原理是相对性原理，这一点无论对于经典力学还是相对论都成立.相对性原理，即物理规律在不同惯性参考系中具有相同的形式，或者称之为物理规律在不同惯性系中的协变性.当然，这是今天的表述，或者说是相对论的提出使得这样一种原理更广为人知，因为相对于以往的理论，相对性原理在相对论中的地位（作用）更为重要些，但似乎可以明确地说关于它的内容的认识或关于相对性运动的认识则可以从近代物理学的开端讲起.因为相对性运动的问题并不是新问题，现代物理学从其建立时起就关涉到这个问题.或者换一种说法仅仅就相对性原理本身的内容而言在不同时期看不出显著的差别，因为看单一原理的表述还不能体现出其具体意义，还要看其在具体理论或观念中怎样体现.比如在狭义相对论中，相对性原理被设定为一基本原理，但如果仅仅看这样一原理似乎还并不能从中看出狭义相对论的一些基础观念与经典力学的基础观念有什么区别.因为真正为两者带来差异的是相对性原理与谁相结合，如果设定时间的绝对性，那么则对应经典力学的内容.但如果设定光速的绝对性以及时空均质性，那么相对性原理与之结合则意味着新的不同于牛顿体系的理论框架.所以爱因斯坦说狭义相对论与经典力学的区别并不在相对性原理，而在于狭义相对论对真空中光速不变性假设的引入.今天人们认识到，相对性原理是最重要的对称性原理之一，而20世纪最重要的规范对称性便是受相对论中相对性原理的变换不变性启示并经由量子力学的发展逐渐发展而来的.另一方面，我们知道刻画运动时必不可少的因素或概念是参考系或参照框架以及时间量和空间量，因为要定量化地描述物体的运动状态，参考系是不可缺少的，即当我们说运动状态是怎样时，首先要说以哪一个参考系为基准，否则一切就无从谈起.所以说参考系是重要的，即是说基准是重要的.规律的成立是与参考系的设定相关的.力学方程的形式同样与参考系的选取有关.即是说参考系的设定或参考系的性质是力学体系的基础.另外，对于运动定量化的描述同时要求精确的测量，而对于运动的描述，时间、空间量则是最基础的量，因为描述物体运动状态的最基础的运动方程即是关于空间（位置）、时间的方程（函数）.在对运动的描述的基础上，进而致力于去把握物体运动状态的变化相关的规律，即动力学方程.应当说，参考系与时间、空间的问题是两个基础问题并且是紧密关联的问题，对两者的认识则是理解相对性运动问题，甚至是一切运动问题的基础.规律的形式是由参考系的性质决定的，参考系的等价性，意味着规律形式的不变性，这就是相对性原理的最基本设定.当然这仅仅是一种抽象的所指，科学理论要由具体的概念组成.因为规律形式的不变性所指的规律在不同时期可能并不相同，所涉及参考系之间的参数变换形式也会改变，所以要理解相对性原理在不同时期的意义，需要结合具体的概念.因为相对性运动的问题并不是新问题，现代物理学从其建立时起就关涉到这个问题.或者换一种说法仅仅就相对性原理本身的内容而言在不同时期看不出显著的差别，因为看单一原理的表述还不能体现出其具体意义，还要看其在具体理论或观念中怎样体现.比如在狭义相对论中，相对性原理被设定为一基本原理，但如果仅仅看这样一原理似乎还并不能从中看出狭义相对论的一些基础观念与经典力学的基础观念有什么区别.因为真正为两者带来差异的是相对性原理与谁相结合，如果设定时间的绝对性，那么则对应经典力学的内容.但如果设定光速的绝对性以及时空均质性，那么相对性原理与之结合则意味着新的不同于牛顿体系的理论框架.所以爱因斯坦说狭义相对论与经典力学的区别并不在相对性原理，而在于狭义相对论对真空中光速不变性假设的引入.今天人们认识到，相对性原理是最重要的对称性原理之一.而20世纪最重要的规范对称性便是受相对论中相对性原理的变换不变性启示并经由量子力学的发展逐渐发展而来的.2.1.力学相对性原理及其价值2.1.1哥白尼的观点哥白尼在其著作《天球运行论》中提到了这个问题，他讲道：“当船在平静的海面上行驶时，船员们会觉得自己与船上的东西都没有动，而外面的一切都在运动，这其实只是反映了船本身的运动罢了.同样，当地球运行时，地球上的人会觉得整个宇宙都在旋转.那么，云和空中其他漂浮物以及上升和下落的物体的情况如何呢？我们只需要说，不仅地球和与之相连接的水有这种运动，而且大部分气以及与地球以同样方式连接在一起的东西也有这种运动.这或是因为靠近地面的气混合了土或水，从而遵循着与地球一样的本性；或是因为这部分气靠近地球而又不受阻碍，所以从不断旋转的地球那里获得了运动.而另一方面，同样令人惊奇的是，他们说最高处的气体伴随着天的运动，那些突然出现的星体（我知道的是希腊人所说的“彗星或胡须星”）便说明了这一点.和其他天体一样，它们也有出没，被认为产生于那个区域.我们可以认为，那部分气距离地球太远，因此不受地球运动的影响.于是，离地球最近的气以及悬浮在其中的东西看起来将是静止的，除非有风或其他某种扰动使之来回摇晃.气中风难道不就是大海中的波浪吗？”2.1.2.布鲁诺的贡献布鲁诺的著作《圣灰星期三晚餐》的第三篇对话中同样提及了这样一类问题，对于天空中的云涉及到的问题，他认为可以把云看作是地球的一部分，所以作为一个整体一起运动就不存在上述问题了.在之后的讨论中同样提及了上述石块下落的问题，并且给这样一个问题一种基于冲力理论的解释.在其中以船与船上物体的运动来类比地球与地球上的物体（石块）的运动.他意识到这样一点，那就是在地球上抛（落）下的物体和在地球之外抛向地球的物体相对于地球的运动是不一样的.即是说如果地球是运动的，那么在地球之外（这里的之外意味着与地球处于分离状态或未受到地球运动的影响）抛向地球的物体由于地球的运动和在地球上抛下的一石块的相对于地球的运动并不一样.或者用一个简单的实例来做相似的说明，以在船上落下的石块与岸上落下的石块相对于船的运动为例，当在一艘在水面上以一定速度行驶（更确切地说要求匀速直线运动）的船的桅杆上端使一石块落下，石块会落在船的桅杆底部，或者换一种说法相对于船来说，石块是垂直落下的.然而，当石块不是和船一起运动或者说不是船的一部分时，以在岸上抛下的石块为例，显然石块相对于船并不是垂直落下的.那么这其中的区别或造成这样一种区别的原因是什么呢？布鲁诺用冲力理论给予了解释，他认为在船桅杆上部落下的石块在落下之前在伴随船的运动中获得了一种内在的力量（冲力），所以当石块脱离与船的联系后仍然保有这种冲力，并在下落的同时向前运动，所以石块会落在杆的底部，而以船为参考来看，石块是垂直落下的.但在岸上的石块就不同了，因为他并没有在船的运动中获得那样一种冲力，所以它的运动情况在船上的人看来和船上下落的石块并不相同.“假设有两个人，一个在急速行驶的船上，一个在船外.在同一时间、同一地点，俩人的手在空中举到相同的高度，并且各自让一块石头从手中落下来，而不给石头任何投射力.第一颗会准确地击中目标，不会偏离垂线，而第二颗会落在后面.这完全是因为，从站在船上的人的手中落下的石头有一种冲印力在里面，因而随着船的移动而移动.而从船外的人手中落下的石头就缺乏这种冲印力.当然，这要求这些石头必须有相同的重量，中间有相同数量的空气，并且必须(如果可能的话)从同一点出发，施以相同的投射力.”2.1.3伽利略的主要贡献通过望远镜的观察，看到太阳系内结构的一些细节，进一步说明了太阳系内部结构的统一性，但仍未摆脱行星圆形轨道的传统观念；利用笛卡儿坐标系这一数学工具，给出了关于距离（与空间概念有关）和时间概念的确切的数学形式，明确说明真实空间的三维性和时间的一维性，与太阳中心相连结的坐标系被公认称为伽利略坐标系；伽利略变换是两个惯性系描写同一物体运动时，时间和空间坐标的变换式.体现了运动描写的相对性.为简化起见，设相对于系以速度v只沿x轴方向作匀速直线运动，且静止于系的钟及静止于系的钟读数均为零的时刻，系和系的原点重合.则同一物体任一时刻坐标（x、y、z、t）与（、、、）之间的变换关系为：①时间和空间与物质及其运动无关.时间坐标系和空间坐标系是完全脱离物质而独立存在的.坐标轴上的标度即间隔与惯性系的选择无关.由伽利略变换易导出：说明时间间隔和空间间隔在不同的坐标系中保持不变.即时间、空间观念与物质及其运动无关.②时间空间彼此无关，各自独立存在.这表现在时间坐标系与空间坐标系可以分离，各自独立存在.虽可配合共同描写物体的运动（如运动方程，表现为空间坐标与时间坐标的关系）.但二者并无内在的必然联系.③经典时空结构的特点：a．时间结构.一维性；单向性（这是热力学第二定律不可逆过程概念的贡献，反映了事物发展因果律的要求）;时间的均匀性（即△t＇=△t反映出来，时间间隔的不变性）；同时性概念的绝对性（由伽氏变换易于看出.在S系内不同地点同时发生的事件即△t=0，必然△t＇也等于0.说明在S＇系看也是同时发生的.这来自于牛顿的“超距作用”观点）；时间是有起点的（上帝对宇宙的“第一次推动”）；但时间的发展是无限的.即时间是有始无终的、具有单向的无限性.b．空间结构.三维性；空间的均匀性和各向同性（即伽氏变换中、、，所以空间间隔具有不变性）；空间的无限性（大至无限；小至无限可分——基于牛顿提出的“质点”理想模型）.这种时空结构是均匀的、平直的，在数学上可用欧几里德几何学描写.时间的“均匀性”和空间的“均匀性”、“各向同性”性可以概括为“时空对称性原理”.这实质上是“宇宙无中心”的另一表述.这是基于“物理规律在不同时刻，在空间不同点是等价的”经验提出的.3.提出了伽利略相对性原理：“力学定律在所有惯性系中都相同.”以及对这一原理的数学补充——伽利略变换，即两个惯性系间时间和空间坐标的变换式.这里，集中体现了经典物理学的时空观.牛顿继承了这一观点，并给出完整的表述.4.提出了惯性定律.为牛顿创立力学的动力学理论打下了基础.他指出了亚里士多德的错误，力并非是物体运动（速度）的原因.而是物体运动变化（加速度）的原因.从而也科学地解释了“日心说”中行星的运动和地球表面上物体的落体运动.爱因斯坦对伽利略的工作给予了极高的评价：“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端.”力学基本原理：伽利略相对性原理——力学定律在所有惯性系中都相同，也就是说，在一惯性系内部所作的任何力学实验都不能确定该惯性系相对于其他惯性系的运动.一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响.一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响.对力学规律而言，一切惯性系都是等价的.伽利略说：“我的目的是要阐明一门崭新的科学，它研究的却是非常古老的课题.也许，在自然界中最古老的课题莫过于运动了；例如观察到下落重物的自然运动是连续加速的.”伽利略最先说明了“在惯性系内部所作的任何力学实验都不可能发现该惯性系是静止的还是作匀速直线运动的”这个事实，故名.1632年伽利略在一条作匀速直线运动的船上，对一个封闭船舱内发生的现象进行观察，他写道：“在这里(只要船的运动是匀速的)你在一切现象中观察不出丝毫的改变，你也不能够根据任何现象来判断船究竟是在运动还是在静止着：当你在甲板上跳跃的时候，你所通过的距离和你在一条静止的船上跳跃时所通过的距离完全相同，也就是说，你向船尾跳时并不比你向船头跳时——由于船的迅速运动——跳得更远些，虽然当你跳在空中时，在你下面的甲板是在向着你跳跃相反的方向奔驰着；当你抛一东西给你的朋友时，如果你的朋友在船头而你在船尾时，你所费的力并不比你们两个站在相反的位置时所费的力更大.从挂在天花板下的装着水的酒杯里滴下的水滴，将垂直地落在地板上，没有任何一滴水滴是落向船尾方面，虽然当水滴尚在空中时，船在向前走.苍蝇将继续自己的飞行，在各方面都是一样，丝毫不发生苍蝇(好像它们疲倦地跟在疾驶着的船后)集聚在船尾方面的情形”.“把你和朋友关在一条大船下的主舱里，让你们带着几只苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫，舱内放一只大水碗，其中有几条鱼，然后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐里，船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行；鱼向各个方向随便游动；水滴滴进下面的罐中，你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向施更多的力.当船以任何速度前进，只要是匀速的，你将发现，上述观察的现象依旧，你无法用任何现象判定船是运动还是不动……”[1]“历史上，是惠更斯首先应用这一原理，并把它看成力学的基本规律.”[2]用现代的术语来概括，伽利略相对性原理可表述为：一个对于惯性系作匀速直线运动的其它参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响或者说不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统作匀速直线运动的速度.既然对于惯性系作匀速直线运动的系统内遵从同样的物理学规律，由此可得出结论：相对于一切惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系，也就是对于物理学规律来说，一切惯性系都是等价的.[3]没有伽利略这一相对性的不变性原理，就不存在各惯性系均成立的力学规律，力学也就不成为科学了.牛顿对于伽利略的相对性原理也是肯定的，在《自然哲学之数学原理》一书中，“运动的公理或定律”的第五推论指出：“一个给定的空间，不论它是静止，或是不含圆周运动的匀速直线运动，它所包含的物体自身之间的运动不受影响.”牛顿还特地说明：“这可以由船的实验来清楚地证明，不论船是静止或匀速直线运动，其内的一切运动都同样进行.”牛顿在发现的引力前面，加了二个字，叫万有引力.目的就是表明，引力对所有的物体，在所有的时间和空间都是适用的是普遍成立的.至今没有发现，万有引力定律只对地球适用，在其他天体就不成立，当然现在需要对牛顿的万有引力定理进行相对论效应的修正.所有现在没有被推翻的物理规律，都是对相对性原理的证明.爱因斯坦指出：“由于我们的地球是在环绕太阳的轨道上运行，因而我们可以把地球比作以每秒大约30公里的速度行驶的火车车厢.如果相对性原理是不正确的，我们就应该预料到，地球在任一时刻的运动方向将会在自然界定律中表现出来，而且物理系统的行为将与其相对于地球的空间取向有关……但是，最仔细的观察也从来没有显示出地球物理空间的这种各向异性（即不同方向的物理不等效性）.这是一个支持相对性原理的十分强有力的论据.”[4]2.2.相对性原理在物理学中的核心地位相对性原理是整个自然科学生存的基础，基础是不可动摇的，不可错误的.发生错误的只可能是从一个时空变换到另一个时空所采用的变换方式，在这种变换方式下能否使自然界的规律保持不变.牛顿力学在伽利略变换下保持力学规律不变.爱因斯坦在建立理论体系之前，先追求数学上的完美性.对于数学上不完美的理论，则将其拒之门外，爱因斯坦建立的理论属于对称性理论.在发现光速不变之后，爱因斯坦认为只有在洛伦兹变换下物理规律才能保持不变.在一个给定的参照系中的自然规律和一切实验结果都与整个系统的平动无关，更精确地说法是：存在着无穷多的互相作匀速直线相对的运动的三维等效欧几里得参照系，在这些参照系中，一切物理现象都是以等同的方式发生的.所以我们说，爱因斯坦方法可以称为相对自由或受对称性限制的方法.具体地说，即以实验和事实为依据，仅在对称性方案之中选择最佳方案.海森堡说：“在科学史上.以往也许从来没有过一个先驱像爱因斯坦和他的相对论那样，在他在世时为那么多的人所知道，而他一生的工作却只有那么少的人能够懂得.然而，这个名声是完全有理由的.因为有点像艺术领域中的达芬奇或者贝多芬，爱因斯坦也站在科学的一个转折点上，而他的著作率先表达出了这一变化的开端，因此，看来好象是他本人发动了我们在本世纪上半期所亲眼目睹的这场革命.”中国科学技术大学天文与应用物理系沈惠川教授认为，在物理学中能够“永远站得住脚”的，除了分析力学（包括Lagrange力学，Hamilton力学和Birkhoff系统动力学）、热力学外，就是相对论（包括狭义相对论和广义相对论，或称为特殊相对论和一般相对论）.这三门学问可说是物理学中的“铁三角”，是其它物理学科必须遵守的“约束条件”；是物理中的物理，是物理中的哲学.其余的学问，包括量子力学在内，都是在变化的，不一定全对.与没有争议的“运动的相对性”不同，历史上对于“相对性原理”的正确性是存在很大争议的.爱因斯坦指出：曾经有“许多著名的理论物理学家比较倾向于舍弃相对性原理.”甚至，爱因斯坦自己也对“广义相对性原理”有动摇——《爱因斯坦全集》的编辑在第七卷的“序”中指出：“在回答ErichKreyschmann的批评时，爱因斯坦承认广义协变在物理上没有意义.相对性原理不再被陈述为任意参考系的等效性.类似地，等效原理也不再被表述为是将相对性原理从匀速运动推广到非匀速运动.”但是随着爱因斯坦研究的而深入而逐渐放弃了这一观点.爱因斯坦认为：“只要人们坚持整个物理学可以建筑在牛顿运动方程的基础之上这一见解，那就不能怀疑，自然规律可以参照于相互作匀速(没有加速度)运动的坐标系中的任何一个，其结果都是相同的(相对性原理).”相对性原理说明物理规律在相对运动中是等效的，狭义相对性原理指出一切物理规律对于各种惯性系都是相同的，广义相对性原理则把它推广应用于任意相对运动的参照系.相对性原理是一种变换中的不变性(某种守恒)，它联系于空间的某种性质，例如均匀性，引力场与非惯性系的等价性等，它的数学形式是方程等的一般协变性.海森堡指出:“相对性原理构成一个十分普遍的自然规律”.对自然的研究和对自然力量的利用从一开始就是同使物体个体化联系在一起的.一个物体到另外一些物体的距离随时间发生变化.当这些“另外的”物体依然是所论物体的不可分割开来的背景的时候，我们就无法用数列对应于该物体的位置和位置的改变，也就是不能对物体的位置和速度施行参数化.给定一个物体，它相对于一些物体运动，标志出这些物体，然后用数列与这些距离相对应，于是这些物体就成为参照物，而给定物体到这些物体的距离的全体就成为参照空间.对应于距离的数之全体组成为一有序系统.这样同参照物联系在一起的坐标系，也就被引进来了.所谓相对性原理就是坐标系的平等性，从一个坐标系转换到另一个坐标系的可能性以及给出坐标变换时刚体内部的特性和刚体内部的各质点的距离及其结构的不变性.对于科学家，奥卡姆剃刀原理还有一种更为常见的表述形式：当你有两个处于竞争地位的理论能得出同样的结论，那么简单的那个更好.这一表述也有一种更为常见的强形式：如果你有两个原理，它们都能解释观测到的事实，那么你应该使用简单的那个，直到发现更多的证据.对于现象最简单的解释往往比较复杂的解释更正确.如果你有两个类似的解决方案，选择最简单的，需要最少假设的解释最有可能是正确的.2.3.相对论原理的表述描述一个质点的运动状态，总是相对于某一特定的参照系而言的，没有参照系这个前提，质点运动状态的描述就失去了实际意义.力学相对性原理和狭义相对性原理分别是牛顿力学和狭义相对论建立的基础.所谓力学相对性原理，即一切力学规律在相互作匀速直线运动的坐标系——惯性系内都是相同的.而狭义相对性原理则有更大的内涵，它要求一切自然规律在相互作匀速直线运动的坐标系——惯性系内都是相同的.在牛顿力学中，相对性原理同惯性系间的伽利略变换一致；在狭义相对论中，相对性原理同惯性系间的洛伦兹变换一致.惯性系中的时空空间是惯性空间，惯性空间有如下特点：①时空独立存在，是万物表演的舞台；②时空是均匀的，各向同性的.文献[5]指出相对性原理可以分为两个层次.第一个层次：从两个惯性系分别考察两个系统.由于牛顿定律对两个惯性系都成立，故在两个惯性系中所得到的一切力学规律(包括无条件的普遍规律和有条件的特殊规律)完全相同.由于是分别考察两个系统，故在两个惯性系中所得到的相同的规律之间，不存在“伽利略变换”这种联系.第二个层次：从两个惯性系同时考察同一系统，由于牛顿定律对两个惯性系都成立，故在两个惯性系中所得到的普遍的(即不加条件由牛顿定律导出的)力学规律完全相同.由于是同时考察同一系统，故两个惯性系中所得到的相同的规律之间，必然存在着“伽利略变换”这种联系，即利用伽利略变换必能把S系中的规律变成要S′系中的规律，反之亦然.笔者认为，这种观点是错误的，不存在第一个层次的相对性原理，力学相对性原理是就是指第二个层次的相对性原理，如果将伽利略变换换成洛仑兹变换，就是狭义相对论中的相对性原理，爱因斯坦本人有关狭义相对论的著述中的三段话便说明了这一点.爱因斯坦在回忆他建立相对论的经过时说，他“对于依靠已知事实通过创造性的努力来发现真实定律的可能性越来越感到绝望.”“空间和时间并没有绝对的意义，它们不过是相对的关系罢了.”“越发相信只有发现一个普遍的形式上的原理”才能得到“精确有效”的结果.他“直觉地感到”，“光速不变原理”和“相对性原理”正是这样的原理.表述A自然界规律对于洛伦兹变换是协变的[86]表述B如果S是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系也是惯性系，自然界规律对于所有惯性系都是相同的[87]表述C自然规律同参照系的运动状态无关，至少在参照系没有加速运动时是这样[88]“只有爱因斯坦真正认识到相对性原理的本质意义，并从根本上改变了矢量力学及其时空观”，相对性原理最初是力学的基本原理.在广义相对论中基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理.依照古典力学，物体在竖直引力场中的竖直加速度，同该物体的速度的水平分量无关.因此在这样的引力场里，一个力学体系或者它重心的竖直加速度的产生，同它内在的动能无关.这就是等效原理的内容：惯性质量同引力质量相等，在引力场中一切物体都具有同一加速度.这就意味着爱因斯坦在狭义相对论框架中构造引力场论的尝试被等效原理否决了.从等效原理中，可以得到这样的结论：在均匀的引力场中，一切运动都像在不存在引力场时对于一个均匀加速的坐标系所发生的一样.爱因斯坦在等效原理的启发下，认为如果我们要得到一种关于引力场的自然的理论，就需要把相对性原理推广到彼此相互作非匀速运动的坐标系上去，引力场方程将在非线性变换的情况下保持不变，这就是新的广义协变性原理，文献[88—93]对此进行了详细的分析.爱因斯坦于1915年发表广义相对论，至今一百年了.这是物理学界见证翻天覆地变化的一百年.整个物理学的理论系统，逻辑系统和思维哲学在20世纪都翻了一个底朝天.此前的经典物理学的时空理论、波动理论、粒子概念、势场概念、质能观、宇宙观、因果率、认识论、形式逻辑、科学实证主义等等，全都被彻底颠覆了.这种翻天覆地的变化是由十几个理论明星造成的.爱因斯坦无疑是众多明星中的巨星.如果从物理理论本身的结构来看.20世纪理论物理的两大支柱是相对论和量子理论，从中生长出了宇宙学和粒子物理.爱因斯坦只手撑起了相对论这根支柱，发展出了20世纪的宇宙学.同时，因为相对论的协变性原理和质能等价原理被引进到量子场论，其对微观物理的影响至深至巨.说爱因斯坦是对近代物理影响最大的里程碑性的人物，确实是实至名归.至于这种影响是功是过，则取决于20世纪理论物理的宏观理论和微观理论的对错，取决于对经典物理的彻底颠覆的对错.而是非对错的判断最终落实到20世纪理论物理对于科学的其他分支到底是否起到了基础理论的作用，对科学其他分支的发展有没有起到推动作用.三、赝功能原理及其应用文献[6]详细分析了功定义的三种表述是一致的，功不具有伽利略变换的不变性，耗散力做功不能把物体视为质点等问题，在此不再论述.所谓赝功，就是不真实的功，但是数学表达式与功的表达式相同，它等于外力与质点组质心位移标积的积分．这时外力虽然不做功，但它可以改变质点组的总动量，使内力通过质点组)，内各质点间相对位置变化做功，把内部其它形式的能量转化为质点组质心的动能.赝功能原理：作用于物体组的所有外力的矢量和的赝功等于以物体组质心为代表的平动动能的增量.例1人由一楼匀速走到五楼（请注意是对地不动的楼梯），地面对人的支持力是否做功？是什么形式的能转化为人的重力势能？分析：从做功的角度来看，人在登楼时，地面对脚底有支持力时，脚没有发生位移，脚腾空向上运动时，支持力消失，故支持力不做功.人在登楼时，不能把人看作一个质点处理，从质点组的动能定理（）角度来看，人所受外力和身体各部分之间内力做功之和等于人的动能增量，既内力做功与重力之和为零（因为人是匀速走的）.这说明人的身体各部分之间的内力做正功，从功和能的关系角度，如果地面的支持力做功，则地面必然给人提供能量，事实上地面不可能给人提供能量，因此地面不可能对人做功.事实上是肌肉收缩做功，也就是人的内力做功，从而把人体内的化学能转化机械能和内能（人体五分之四的热能来自肌肉收缩），即人的重力势能是通过消耗人体的生物能来转化来的.（以上是从内力做功的角度来考虑）从赝功能原理的角度来讲，在登楼时受到竖直向上的支持力和竖直向下的重力，人的位移方向与支持力方向相同，故支持力做正功，重力做负功，地面提供能量转化为人的重力势能.四、势能的零点选取问题根据力学相对性原理（或者说坐标系的观点），在计算势能时势能的零点应该相对于观察者不变，而不是相对于力源不变，例如在一个相对于地面匀速上升的封闭的电梯内，一个观察者看到一个小球从电梯的顶端落下，碰到电梯底部后发生弹性碰撞，如果不考虑空气阻力等因素，理想状况下小球将不断运动下去，观察者看不到外面的情况，不知道小球距离地面的高度以及电梯相对于地面的速度，势能的零点只能相对于自己不变.只要建立了坐标系，势能零点便随之确定.汤川秀树讲：“只用物体、空间和时间这样的概念，还很难准确地描述运动，所以人们进一步引进坐标系，特别是直角坐标系.”一个坐标系一个势能零点，不存在所谓各个坐标系的公共势能零点，引力势能选在无穷远点计算方便，其他势能零点选在坐标原点计算方便.一般情况下在一个惯性系里选择了势能零点，在另一个惯性系里最好用它的伽利略像点，并不是选择其他点不行，只要相对于观察者不变即可.当一个轻质弹簧竖直悬挂一个质点，质点浸没在水（充分多，忽略质点运动对于其能量的影响）中，在这里质点具有弹性势能、重力势能、浮力势能[7]，在地面系看来总机械能守恒，在相对于地面匀速上升的电梯系看来，机械能也守恒，势能零点只能相对于观察者不变[8].文献[9]由于用错了势能零点，才导致了势能显含时间的错误.正当一个力学体系处于稳定平衡时，势能为极小值，这称为最小势能原理.也可以说是当一个体系的势能为最小时，整个体系处于稳定平衡状态.最小势能原理只适用于物体在给定条件下处于稳定平衡状态的情况.最小势能原理是物理学中一个很重要的原理，在材料力学和弹性力学中有广泛的应用，通过合理的构建物理模型，寻找系统的能量关系和平衡态的特点，再利用最小势能原理，我们可以解决物理中的一些疑难问题，甚至可以解决一些数学难题.如：利用最小势能原理在边坡稳定性问题中的分析，最小势能原理在钢架稳定问题中的应用.还有混合变量的最小势能原理，应用混合变量的最小势能原理解决悬臂弹性矩形板的稳定问题.另外应用大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理，可以求解两端固定的大挠度柱面弯曲板条的轴向挠度分布和轴向弯矩分布的问题.许多实例表明，最小势能原理对现代的建筑和桥梁中的受压构件的稳定设计和计算带来了很大的便利，提供了一个简单有效的方法.五、正确理解有势力、等时积分的概念力是看不见也摸不到的，许多天才哲学家都承认力是最难弄清的概念.恩格斯认为：“力只能被当作未被阐明的因果关系的略语来使用倒也可通，在日常生活中作科学上的小买卖，技术上开个处方倒也可通，超过了这一点，在理论方面乱用力字的名词就是荒谬.形而上学最省力气，他们凡是碰到不能解释的种种现象就贴上种种力字的标签作为避难所.有多少不能解释的现象，就有多少力的名词.终极的原因和无数起作用的原因之间的对立，被相互作用的范畴所扬弃，因为我们不能追究到比相互作用更深的地步上去了.”（这些话引自恩格斯《自然辩证法》当质点运动时所受力系F是位置和时间的单值连续函数，我们称这部分空间为力场，且可表为F=F(r，t).若F中不显含t，则称为稳定力场（三维空间里的力场）；F显含t时称为瞬变力场（四维空间里的力场）.显含时间力场的定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场.[10]力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，r是指质点的坐标，含有时间参量t是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间.对于稳定场F=F(r)而言，假设U(r)=F(r)，∮F(r)dr=U(a)－U(a)=0，因此所有的稳定场都是保守力场，对于非稳定场环路积分一定不等于0，可以把保守力的定义简化为：只与空间位置有关的力.若质点在空间各处所受场力F都相同，则称为均匀力场；反之，F在空间各处都不相同时，则称为非均匀力场.例如万有引力场和弹性力场都是稳定场（三维空间里的力场），在地面附近的重力场F=mg便是均匀场，而瞬变场的例子在电磁学和量子力学中是很容易见到的.注意显含时间的力F=F(r，t)是位置和时间的二元函数，如果t也是位置的函数，如果此时F可以表示为位置的一元函数，不是显含时间的力，只能认为是隐含时间的力[10].文献[11—12]列举的实例也可以消去时间t，不是显含时间的力.王振发先生在“21世纪高等院校教材”《分析力学》中给出了力学原理的分类原则——力学原理可分为两大类：不变分原理和变分原理.每一类又可分为两种不同的形式：微分形式和积分形式.不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律.如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理.如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，如机械能守恒原理即不变分的积分原理.而变分原理则不同，它提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动.如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理，例如虚位移原理就是微分变分原理，……动力学普遍方程和……高斯最小拘束原理都是微分变分原理.如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理，……哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理即积分变分原理.[1]当场力FF(r，t)时，若把时间t看作参数，而场力F的旋度(r0除外)得到满足，则势能函数V存在，且F成立，即VV(r，t)，FF(r，t)，我们把这样的力场称为有势场，是无旋场.若场力F中显含t时，这种有势场是非稳定的；若场力F中不显含t时，这种有势场是稳定的.对于非稳定的有势场而言，等势面只具瞬时意义，而计算场力作功的公式WV1V2不再成立，因为积分时不能将参数t固定，场力的元功为dWdrdVdt．这种非稳定的有势场不是保守场，与它相关的势能函数V表示为位置和时间的二元函数VV(r，t)．一般说来，具有势能函数的无旋场不一定是保守场，它仅是有势场.重力、弹簧弹力和万有引力等都是稳定场（三维空间里的力场），不是显含时间的力场（四维空间里的力场）.等时积分是一个数学概念，当力场F（r，t）是时间和空间的多元函数时，在指定时刻t和指定路线L，对力F的空间积分叫做等时积分.只有显含时间的力场（四维空间里的力场）中的等时积分才不等于0，对于重力场、引力场、弹力场等稳定场（三维空间里的力场）的等时积分都等于0，因为在稳定场（三维空间里的力场）中质点在任意时刻的位移是唯一的，文献[9]作者得出等时积分不等于0，这是明显的低级错误.如果按照等时积分计算势能的改变量，自由落体运动中在地面系测量质点的重力势能始终不变，质点的动能不断变化，机械能不守恒，这是极其荒谬的.文献[9]利用等时积分计算势能的改变量，得出功和势能的改变量具有伽利略变换的不变性，如果按照这个观点在弹簧振子问题中墙壁的作用力的等时积分也始终为0，不改变弹簧的势能，文献[9]的观点显然是错误的.随体积分计算动能的改变量，不具有伽利略变换的不变性.动能和势能的改变量利用不同的积分计算，显然二者不一致.六、正确理解保守力的定义在一个物理系统里，感受到某作用力，一个粒子从初始位置移动到终结位置，而此作用力所做的机械功，跟移动路径无关，则称此力为保守力(conservativeforce)，又称为守恒力.等价地，假设一个粒子从某位置，移动经过一条闭合路径后，又回到原本位置，则作用与这粒子的保守力所做的机械功（保守力对于整个闭合路径的积分）等于零.在一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此物理系统为保守系统，又称为守恒系统.对于这种系统，在空间里的每一个位置，都可以给位势设定一个唯一的数值.当粒子从某位置移动至令一位置时，保守力会改变粒子的势能，前后差值与所经过的路径无关.现在的力学教材都是利用环路积分为0定义保守力的，文献[13—14]指出如果力的保守性可随参照系而变，那么在不同的惯性系中做关于某力的保守性的物理实验，将可根据该力在一惯性系中做功是否与路径有关，从而判断该惯性系相对施加该力的作为另一惯性系的物体是否在运动——这是相对性原理不能允许的.力是伽利略变换的不变量就不成立了，经典力学理论本身就出现了矛盾.文献[15]证明了旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某\o"位势"位势的\o"梯度"梯度三者是等价的，环路积分为0是力是保守力的充要条件.如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关（注意这里的路径必须具有任意性，否则不一定是保守力[16].），即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保守力.势能定理为=-fdr，环路积分必等于0.当势能不显含时间时，也可以称为位能，势能是位置的函数，教材中可以将势能和位能区别开来，位能作为势能的一种情形.由于我们研究问题中势能一般不显含时间，也可以不加区分，本文没有区分，默认势能不显含时间.由于旋度具有伽利略变换的不变性，因此力的保守性也具有伽利略变换的不变性，文献[10]证明了力的保守力具有伽利略变换的不变性，保守力不可能经过伽利略变换变成显含时间的力.引力是在三维空间里的力场，是稳定场，不存在所谓的引力磁场的问题.电磁力是四维时空里的力场，非稳定场，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，是因为存在对于时间的变化率，所以有电场和磁场的区别.机械能守恒定律是时间均匀性的体现，显含时间的力场能量不守恒.对于弹簧振子而言弹性势能公式Epkx2是质点的弹性势能，而且不适用于所有的惯性系[17]，计算弹簧的势能时必须同时计算其动能.文献[19]认为机械能的哈密顿量是位置坐标的函数，在进行该位置坐标上的坐标变换时总会携带时间，导致其哈密顿量对时间的偏导数不为0，是完全错误的，通过上面的分析可以看出时间t完全可以消去，其哈密顿量对时间的偏导数始终为0.场的性质是它本身的属性，和坐标系的引进没有关系.引入坐标系是便于运用数学研究它的性质.经典力学中显含时间的力在各惯性系都是显含时间的力，机械能在各惯性系都不守恒，不是保守力经过伽利略变换得出.伽利略变换是一种观测效应，它的实质通俗解释就是一个质点在绝对空间里运动，两个惯性系里的观察者测量其速度和位移，然后利用矢量力学规律描述其运动，场的坐标不变，在伽利略、牛顿时代还没有场的概念，认为是超距、瞬时作用，直到法拉第、麦克斯韦时代才提出场的概念.保守力是有势力的一种，力是伽利略变换的不变量，包括力场的性质不变，在一个惯性系中某个力不显含时间，在另外的惯性系中也一定不显含时间，例如在自由落体问题中匀速上升的电梯系中我们不能计算势能时重力是显含时间的力，利用动能定理求动能时重力不是显含时间的力，前后不自洽.用对称性原理表述为，由势能对时间平移的不变性，就必有能量的守恒性（例如重力随时间的可变性，在重力较弱时把水提升到蓄水池中去，所做的功较少；在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量.这是典型的第一类永动机）.对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力.设力F沿x方向，且其大小是x的函数，即F=Fxi=f(x)i，则F.dr=Fxdx=d[u(x)]，可以写成一个函数的全微分，因此F是保守力，例如服从胡克定律的弹性力f=f(X)=-k(X-X0)是X的单值函数，故它是保守力.对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G=mg是保守力.若在空间中存在某个中心O，物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量OP的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力.我们可以概括为只要力与质点的运动状态无关，而且是位置的单值函数就是保守力.因此静摩擦力是保守力，滑动摩擦力是耗散力.大学力学里的保守力一般只提重力、弹簧弹力和万有引力，其实有些其他的力也是保守力，例如斜面的支持力[18]、摆线的拉力、匀速圆周运动的约束反力、静摩擦力、理想流体的压力[19].流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力，因此理想流体的压力能也可以称为压力势能.其实管壁的侧压力也是一个保守力.）、弹性碰撞中的弹力、惯性力以及浮力等，文献[20]列举了关于浮力势能的文章很多，本文不再论述.斜面的支持力是一个保守力，例如把斜面固定在地面上，在地面系看来小滑块在斜面上无论如何运动，当小滑块回到原点时支持力的功都等于0，所以支持力是保守力，又由于力是伽利略变换的不变量，因此在小车系看来支持力也是一个保守力.只要是保守力就可以引入势能，但是注意是小滑块的支持力势能，不是斜面的支持力势能，因为斜面不考虑形变.又因为重力也是一个保守力，因此它们的合力也是一个保守力.由于力是一个伽利略变换的不变量，因此在小车系看来小滑块受到的合力也是一个保守力.文献[21]指出了约束力是保守力的问题，文献[22]证明了约束力是保守力，文献[15]和[18]验证了约束力是一个保守力，文献[23]指出只要是保守力就可以引进势能.力学中的力可以分为三种：保守力、耗散力和显含时间的力.一个力可为保守力的前提条件为该力(大小、方向)不随时间变化.文献[20]给出了势能的一般定义——由于质点受到有势力而具有的能量叫做势能，势能的定义式为dEp=（-f）dr（与F=等价），当有势力不显含时间(即为保守力)时，势能也可以称为位能.势能显含时间的充要条件是力场显含时间.如当两质点间的相互作用力除与距离有关外还与两者的速度有关(如带电质点间的磁力)时，这两质点也可能存在位能，两质点间的作用力不是保守力.由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重力势能，而把弹性势能定义为由于弹性形变具有的势能不具有和谐性.有人说没有形变哪来的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，力学中不必考虑力的性质的来源，重力来源于万有引力，摩擦力还来自于电磁力呢？我们计算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点的重力时也不考虑万有引力.赵凯华认为：“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的.因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性.例2一个质点静止在水平地面上，在地面上的观察者看来，质点的动能和势能都不变，机械能守恒；在相对于地面匀速运动的电梯里的观察者看来，质点的动能不变，支持力和重力同时做功，两个力做功之和为0，重力势能的减少量等于支持力势能的增加量，因此势能也不会发生变化，机械能也守恒，满足力学相对性原理.如果把支持力当做外力，在电梯系支持力做功，机械能增加，能量来自哪里？这样就不满足力学相对性原理了.例3地面上有两堵相互平行的刚性墙沿南北方向，其间有一刚性小球沿东西方向因与墙的碰撞来回运动.地面上小球的机械能守恒，但在沿东西方向匀速运动的小车上看，小球机械能不守恒.错误分析：在小车上看，小球的速度等于地面的速度（-V）加小球相对于地面的速度（一会儿是W与墙碰后是-w）.所以在小车上看，小球的速度是—V+W，或-V-W.显然小球动能在跳跃式来回变化，机械能不守恒.正确解答：在这里由于是弹性碰撞，弹力做功没有产生热能，也应该视为保守力.在地面系看来是弹性碰撞，应该理解为小球在压缩过程和还原过程中位移大小相等，平均力的大小不变，因此动能不变.在压缩过程中动能转化为势能，在还原过程中势能转化为动能.如果在地面系选择起始时刻势能为0的话，在地面系看来除非碰撞过程外，势能始终为0.在小车系看来，小球在压缩过程和还原过程中位移大小不再相等，平均力的大小不变，因此增加的势能转化为动能，或者减少的动能转化为势能.从上面的分析可以看出弹性碰撞不能视为完全不能形变的质点，否则会造成矛盾.此时可以认为是若干个受弹力作用的质点，每一个质点都受到保守力的作用，所以其机械能守恒，进一步得出整体的机械能守恒.东西墙各安装一弹簧令小球在两弹簧间运动.假定系统没有非保守力作用，机械能守恒定律在各惯性系都成立.从上面的分析可以看出真正的弹性碰撞并不存在，实验中是近似弹性碰撞，此时组成物体的各个微粒能量不变，通过赝功完全转化为物体的能量，是理想化模型.七、区分矢量力学的势能和分析力学中的势能概念分析力学与矢量力学前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数学工具，后者采用更多数学分析的方法.矢量力学分析力学几种常用的坐标系广义坐标（任意曲线坐标系）力系的平衡（静力学）虚功原理牛顿定律达朗贝尔方程（动力学虚功原理）（动力学定理）（拉格朗日方程，哈密顿理论等）分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形.分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍理.分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用.对于保守系统，拉格朗日密度L是其固有特征，完整概括了系统的动力学性质，并具有以下关键特征：1.系统性：L必须定义于明确的物理系统，其中每一项均对应客观物理量.2.实数性：L为实值标量，可以比较数值大小.3.协变性：L在不同坐标系下保持不变，反映系统的客观属性.4.量纲一致性：L的各项均具有能量或能量密度的量纲.5.叠加性：系统的总L是各部分拉格朗日量的线性组合.经典力学理论从牛顿形式发展为拉格朗日形式，在思想观念上的创新主要有二：一是在运动学意义上用“独立”坐标取代了牛顿理论中为表示一个力学体系中的每个质点的位置所需要的坐标，后者的数量可能比前者少得多，这样可使动力学方程的数目减少很多，使数学方程变得容易求解.在经典力学的牛顿理论和拉格朗日理论中，一个力学体系仅知道其在时刻t时的位形（坐标q)，它以后的运动规律并不能确定下来，只有同时知道其速度qα，这个力学体系以后的运动情况才能完全确定下来.但在牛顿理论和拉格朗日理论中，坐标和速度的关系是确定了的.而在哈密顿理论中，如上所述，坐标和动量是独立的.这相当于在拉格朗日理论中，一个“自由度”为s的力学体系，到了哈密顿理论中，它的自由度翻倍变成了2s.任何事物，自由度越大，越可有所作为.经典力学哈密顿理论的优越性，它能越出力学范畴应用于其他领域，包括量子力学在内，其原因都可归结为此.拉格朗日函数具有不确定性，是客观存在的.但拉格朗日理论和哈密顿理论，对这一性质采取了完全不同的态度.前者认为，一个力学体系既然可以有无数多个等效的拉格朗日函数，在力学意义上所得到的结论完全一样，那就任意选取一个就行了.哈密顿理论则充分利用了拉格朗日函数具有不确定性这个特性，将体系的理论上的“自由度”假设一个质点受到的合力为保守力，根据牛顿第二定律可知f=，(1.9)两边点乘dr，=d(m)(1.10)引入动能和势能的表达式Ek=m，=-fdr，则式（1.10）变为dEk+dEp=0（1.11）从上面机械能守恒定律的推导可以看出，机械能守恒定律中的保守力是指保守力的合力，因为牛顿第二定律中的力也是指合外力.由于牛顿第二定律只研究质点，因此机械能守恒定律也是只考虑质点，是质点动力学规律.考虑了势能就不能再计算保守力的功了，严格讲斜面和单摆问题中的机械能不是重力机械能问题，因为此时质点受到的合力不等于重力，不过在相对于斜面和单摆悬挂点静止的坐标系里计算的结果和重力机械能计算结果相同，因为另外一个保守力不做功[24—25]（因此很多人误认为是重力机械能问题），但是在相对于该坐标系匀速运动的坐标系里这个保守力做功，同时改变了质点的动能和势能，不改变质点的机械能，因此分析力学从能量角度研究完整、理想、双侧束问题，计算机械能时不考虑约束反力，虚功原理在所有的惯性系里都成立.其实在非惯性系里约束力也不能改变系统的机械能，只能同时改变动能和势能，因此虚功原理在非惯性系也成立.设约束不可解（即双面约束），某力系在个几何约束下处于平衡状态.对体系中任一质点，设有主动力合力及约束反力合力作用其上，则因处于平衡状态，故此时必有现让每一质点自它的平衡位置发生一虚位移，则由上式得对上式中的各式求和，得若为理想约束，约束反力不改变机械能，即，这正是上式左边第二项，故若力系处于平衡状态，则其平衡条件为虚功原理虚功原理或反之也可证明，当上式对任意都成立时，系统在约束所允许的位置必保持平衡.可见此式表明，受有理想约束的力系平衡的充要条件是此力系诸主动力在任意虚位移上所做的元功之和为0.此即虚功原理，也称虚位移原理，还称为静力学的普遍方程.（虚功原理是力学体系呈平衡状态的一般判据，它是一个关于平衡的原理，是机械能守恒定律的一种表现形式）.光滑约束中的约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的惯性系了[22].设质点系由n个质点组成，应用达朗贝尔原理，第i个质点的惯性力，则作用该质点的主动力、约束力、惯性力构成平衡力系.其平衡方程为质点系受到理想、双侧约束时，依据虚位移原理有若质点系受的理想约束，即，则或者称为动力学普遍方程，也称为达朗贝尔—拉格朗日方程.它表明：具有完整、理想、双侧束的质点系在运动的任一瞬时，作用在质点系上的主动力和惯性力在任一组虚位移中所作的元功之和为零.它建立了质点系动力学问题的普遍规律，特别是对于非自由质点系来说，在求解时不必考虑未知的约束力，只需研究主动力，从而大大地简化了计算过程.在弹簧振子(单摆)问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧（摆线）质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能.一维弹簧振子的哈密顿量，正则方程为:，，其中即动量的定义，而是一维简谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义.牛顿第二定律是从合力角度进行分析，而机械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程则是从能量角度出发.哈密顿变分原理则为更为普遍的力学原理，通过对其变分可以推导出拉格朗日方程、哈密顿正则方程以及运动微分方程.矢量力学的机械能守恒定律中的势能对应于所有的有势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同.分析力学中的哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下，HV并非机械能，成为广义的能量，只有在稳定的约束情况下，HTV才是机械能.故矢量力学的机械能守恒定律要求有势能，而哈密顿函数的守恒原理要求H不显含t且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的.对于主动力是保守力的力学体系，分析力学注重的物理量是能量，从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法.在处理束缚体系时，由于拉格朗日方程中不含约束反力，避免了约束反力引起的麻烦.所以分析力学方法在处理力学体系运动问题时显示出了很大的优越性.牛顿力学方法面对的物理量是矢量，借助几何图形，解题思路明确、清晰，既可求出运动规律，也能求出约束反力，但对于多约束的力学体系，此方法会陷入困境.分析力学方法面对的物理量是标量，采用数学分析的方法，此方法具有更高的概括性和统一性，较牛顿力学方法有一定的优越性.从理论上看，牛顿力学是从物体受力的角度导出其动力学方程的，分析力学则是从能量的角度来导出其动力学方程的.力仅是力学范围内的一个物理量，而能量则是整个物理学的一个基本物理量，这就使拉格朗日方程成为了力学和物理学其他分支相互联系的桥梁，所以分析力学方法具有更高的概括性和统一性，它使得经典力学的理论体系更加严谨，它代表了经典力学的重大发展.八、内势能与外势能的关系1.利用内势能计算的局限性由于有人怀疑引入外势能概念的必要性，认为势能属于系统，从两体问题的角度分析，导致了机械能守恒定律不满足力学相对性原理的结论.如果全部按照内势能计算具有很大的局限性，下面以重力势能为例分析一下这个问题.由于研究重力机械能守恒定律时不考虑地球的公转、自转和体积大小因素的影响，为了研究问题的方便，设地球(视为质点，下同)质量为M，物体的质量为m，忽略其它力（在这里仅从理论上推导机械能守恒定律，生产实践和科学实验中还要考虑其它因素）.下面我们先从两体角度(内势能)出发分析自由落体问题，由于把自由落体问题看作两体问题，需要考虑地球受到物体（视为质点）微弱的作用力，因此地球和物体都不是严格的惯性系，但是系统的质心确实严格的惯性系，因此我们设地球与物体组成系统的质心为A点.M______A________m设地球与物体之间的作用力恒为mg，距离为h，地球移动的距离为h1，由于系统受到的合外力为0，因此根据牛顿第一定律，初始状态地球与物体相对于A点静止，系统的势能为mgh，设到达A点物体的速度为v2，则由运动学得v12=2g(h-h1)，v22=2mgh1/M，地球移动距离为h1，此时系统的动能之和为Mv22+mv12=m.2g(h-h1)+M.2mgh1/M=mg(h-h1)+mgh1=mgh.上面的推导得出的结论与以地球为参照系得出的结论一致，事实上当时是把地球质量认为无穷大，以地球为参照系得出的，严格上讲是近似规律，因为根据动量守恒定律可以得出Mh1=m(h-h1)，h1=mh/(M+m)，此时以地球为观察者物体的运动速度大小为v1+v2=，这一结论也可以利用折合质量计算得出，以地球为参照系，物体的折合质量为，以地球为参照系物体下落到地面的速度为，折合质量的计算更简洁一些.与以地球为参照系得出的速度大小不相等，实际上当M视为无穷大时上式等号成立，这也符合唯物辩证法的量变质变规律，也符合玻尔提出的对应原理.从这里可以看出自由落体运动的计算得出的也是近似值.设f(m)=，显然是关于m的增函数，在牛顿力学里以地球为参照系物体下落的速度确实与物体的质量有关，质量越大下落越快，但并不是亚里士多德所说的下落速度与质量成正比.这个结果可以给出一个直觉解释，随着物体质量的增加，地球的加速度也在不断增加，时间也会逐渐缩短.由于一般物体的质量较小，系统相对误差较小，在实验中无法发现，通过上式可以把实验结果与计算数据进行矫正，只要v实验值=v理论值，即可以说实验是完全成功的.由于地球的质量巨大，上述的分析只具有理论意义，系统误差不仅远远小于空气阻力的影响，也远远小于重力加速度的变化产生的影响，甚至小于质点由于运动引起的狭义相对论效应，生产实践和科学实验中可以不予考虑，而且由于不知道地球的具体质量，按照内势能计算复杂、误差会更大.类比于上面的分析平抛运动、斜抛运动等物体在重力场中的运动规律也是近似规律，但是系统相对误差极小，生产实践中可以不予考虑.下面推导其系统相对误差的大小：由上面的推导可知，mv1=Mv2，v2=mv1/M.在物理学中把与观察者（或参照系）实际同一的速度为牵连速度，此时需要考虑到牵连速度.以地球为参照系物体到达A点时系统的机械能为物体的动能m(v1+v2)2=m（v1+mv1/M）2=mv12(1+m/M)2，开始时的机械能为mgh=mv12+Mv22=mv12+M（mv1/M）2=mv12(1+m/M)，系统误差为mv12(1+m/M)2-mv12(1+m/M)=mv12(1+m/M)m/M=mgh.m/M=m/M.mgh.系统相对误差为m/M，由于一般物体的质量与地球质量相去甚远，所以系统相对误差较小.当把地球质量视为充分大时，此时机械能守恒定律称为落体机械能守恒定律，此时物体的势能称为外势能，系统相对误差为0.文献[35]已经分析了关于外势能的重力机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性（解决这个问题的关键在于重力势能的零点相对于观察者不变）.这个问题也可以利用折合质量解决.有人是在地球质量为充分大的前提下以地球或者以相对于地球匀速运动的物体为参照系机械能守恒定律严格成立，此时机械能守恒定律满足力学相对性原理的，系统的质心与地球的质心认为重合，这样才具有可操作性.2.内势能与外势能的转化问题根据经典力学星体的运行问题应该按照两体问题解决，质量应该用它们的折合质量（约化质量）代替.太阳系的质心与太阳自身的质心并不重合，因而太阳的公转中心不是太阳自身的质心，而是绕太阳系的质心的偏心摆动式的自转，就像地球绕月地系统的质心的偏心摆动式的自转一样.如果星体B绕星体A运行的轨道是严格的椭圆，以星体A为参照系机械能是守恒的，下面推导一下：在极坐标中………（1），………（2），其中、分别表示径向速度和横向速度.由于两个星体都做加速运动，因此星体B应当用它的折合质量（约化质量）.由椭圆方程得：，两边对时间求导，有：，整理可得：…………（3）星体B运动的速度为：即：…………（4），这个结果中只有是变量，其它都是常数，特别是为常数.这表明：时，v是增函数，v随的减小而增大；时，v是减函数，v随的增大而减小.实际上，由于，所以上面的结果也可以用r来说明：时，v是增函数，v随r的减小而增大；时，v是减函数，v随r的增大而减小.由动能的表达式及（4）式可知：……………（5）椭圆面积：……………（6），其中a、b分别表示椭圆的