3对一道困扰中国力学教学40多年习题的思考

第第1页共11页对一道困扰中国力学教学40多年习题的思考摘要：以弹簧振子为例从矢量力学、分析力学的角度分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略变换的不变性，解决了这个问题的争论．机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力，不是质点+弹簧，只需研究质点即可.文章分析了造成这个习题争论40多年七个方面的原因：功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对轻质弹簧做功；弹簧振子的机械能是质点的弹性势能+质点的动能，不是弹簧的弹性势能加质点的动能，轻质弹簧在忽略质量的同时也忽略了弹簧的动能和势能，Epkx2不是弹性势能的一般公式，仅仅适用于特殊情形，建议从教材中删除或者指明其适用范围；正确理解惯性系、功的定义和保守力.我们把地面系作为惯性系的同时,忽略地球能量、动量、角动量等物理量的变化.关键词：轻质弹簧；伽利略不变性；弹性势能；力学相对性原理；机械能守恒中图分类号：O313.1文献标识码：A一.问题的提出参考文献[1－29]都有这样一个题目：一质量为m的小球与一劲度系数为k的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动．试问在一沿此弹簧长度方向以速度u相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由（忽略空气阻力）.解：假设地球质量为充分大，忽略地球能量的变化，按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.方法1（矢量力学角度）：在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线ox为x轴，建立直线坐标系如图1所示.○○○小车uv墙Fo图1弹簧振子机械能守恒问题光滑水平地面xmx•当t0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为：xAcos(ωt)，其中ω2k/m，kmω2.设小球的速度为v，加速度为a，受到的力为f，动能为Ek(t)，势能为Ep(t)，机械能为E(t)．则有：vωAsin(ωt)，aω2Acos(ωt)，fmamω2Acos(ωt)kx.Ek(t)mv2m[ωAsin(ωt)]2mω2A2sin2(ωt)kA2sin2(ωt).（1）dEp(t)fdxkxdxd，Ep(t)kx2C.将初始条件t0时，xA，Ep(0)kA2，代入上式得：kA2Ep(0)kA2C，C0，Ep(t)kx2Ckx20kA2cos2(ωt).（2）E(t)Ep(t)Ek(t)kA2cos2(ωt)kA2sin2(ωt)kA2常数.（3）设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系（设为小车，见图1）刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当t0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为x1，v1，a1，f1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t)．则有：x1xutAcos(ωt)ut，v1ωAsin(ωt)u，a1ω2Acos(ωt)a，f1ma1mamω2Acos(ωt)kx．（说明：f1≠kx1，如果把胡克定律表示为弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变的方向相反，那么胡克定律适用于所有惯性系，但此时形变大小不是位移，如果看做位移的话力就不是伽利略变换的不变量了.）.E1k(t)mm[ωAsin(ωt)u]2m[ω2A2sin2(ωt)2ωuAsin(ωt)u2]kA2sin2(ωt)mωuAsin(ωt)mu2.（4）文献[30]证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，因此在小车系质点受到的弹力也是一个保守力.所以dE1p(t)f1dx1kxd(xut)kxdxkuAcos(ωt)dtd，E1p(t)kx2mωuAsin(ωt)C．将初始条件t0时x1xA，E1p(0)Ep(0)kA2，代入上式得：kA2E1p(0)kA2mωuAsin(ω0)C，C0，E1p(t)kx2mωuAsin(ωt)Ckx2mωuAsin(ωt)0kx2mωuAsin(ωt)mωuAsin(ωt)．（5）因此势能是时间t的一元函数，不能认为此时势能显含时间.势能显含时间是指势能是时间和坐标的二元函数，势能对于时间的偏导数不等于0，这里是势能与时间有关——势能对于时间的导数不等于0.文献[28]是完全错误的.E1(t)E1p(t)E1k(t)kx2mωuAsin(ωt)kA2sin2(ωt)mωuAsin(ωt)mu2kA2cos2(ωt)kA2sin2(ωt)mu2kA2mu2常数.（6）所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系的机械能仍然守恒，守恒值为kA2mu2.当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等.从上述推导可以看出两点：当u≠0，只有ωtnπ，nÎN时才有：Ep(t)Ep1(t)；当u=0时，二者显然相等，这也符合普遍性和特殊性的关系，静止系是运动系的特例，满足玻尔对应原理的要求.方法2（分析力学角度）：设弹簧振子处于平衡位置时振子的位置为坐标原点o，沿横轴x方向以v运动的惯性参考系中的动能为，势能为，则xAcos(ωt)，kmω2，ωAsin(ωt)，aω2Acos(ωt)，xvtAcos(ωt)vt，ωAsin(ωt)v，ω2Acos(ωt)a，mmamω2Acos(ωt)kx．（7）(t)kxd(xvt)kxdxkvAcos(ωt)dt．(t)(0)xdxω2vAcos(ωt)dtkx2k02[mωvAsin(ωt)mωvAsin(ω0)].（8）(t)kA2cos2(ωt)mωvAsin(ωt)，(0)0．（9）(t)mm[ωAsin(ωt)v]2m[ω2A2sin2(ωt)2vωAsin(ωt)]kA2sin2(ωt)mvωAsin(ωt)m.（10）(t)(t)kA2sin2(ωt)mvωAsin(ωt)mkA2cos2(ωt)mωvAsin(ωt)kA2mconst.（11）所以变换后系统的机械能守恒，守恒值为kA2m.（12）所以0.（13）文献[6，14－18]的解法与答案与本文相同.牛顿力学的基本对象是质点，其数学模型是狄拉克的δ(x−X)，它是刚体、流体和弹性体等连续介质模型的基础.牛顿三定律是针对质点的，质点的场论基础是旋量场方程.由于忽略质量，轻质弹簧不具有动能和势能[18][30]，与质点的自由落体运动类似，这个问题只需研究质点就行了.如果考虑质量，把质量按照比例加在质点上就行.或者考虑为若干个受弹力作用的质点，不考虑弹簧质量时是单质点，考虑弹簧质量时是若干个受弹力作用的质点，但是根据动能定理和势能定理每一个质点在弹力作用下动能的变化量和势能的变化量互为相反数，机械能不变[31].墙壁的约束力也是保守力，不改变系统的机械能.假设轻质弹簧具有势能不具有动能，把一个轻质弹簧在弹性限度内产生弹性形变后，放入真空中，长度不断变化，势能不断改变，动能始终为0，不满足能量守恒定律.势能的一般定义——由于质点受到有势力而具有的能量叫做势能，势能定理为dEp=（-f）dr（与F=等价），当有势力不显含时间(即为保守力)时，势能也可以称为位能.弹性势能是因为质点受到弹力产生的，不是弹性形变产生的，弹性形变产生力，质点受到弹力具有弹性势能.二.四十多年争论的根源2.1弹性势能公式分析小车系测量的质点的弹性势能为Ep(t)mωuAsin(ωt)=kx2mωuAsin(ωt)=mω2x2mωuAsin(ωt)，（14）可以发现质点的弹性势能与质量成正比，势能虽然不属于质点，但是势能和动能可以互相转化，动能与质量成正比，势能也必须与质量成正比，势能不是伽利略变换的不变量.Ep(t)mωuAsin(ωt)=kx2mωuAsin(ωt)=mω2x2mωuAsin(ωt)没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例——观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0（相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上运动），不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性.单独的场具有不变的物理意义，而单独的势不具有不变的物理意义，势的客观性是通过其整体性来体现的（表现为只有相对值）.2.2经典弹性势能公式的局限性分析在经典力学中，动能、动量和角动量都与质量成正比，Ekx2与重力势能、引力势能公式不同，前者与质量无关，后者与质量成正比，这本身就具有一种不协调性.笔者建议把公式Epkx2教材中删除，或者指明其适用范围，它不是弹性势能的一般公式，dEpfdx是势能的一般公式，Epkx2是在特定条件下由dEpfdx推导出来的.Epkx2=mω2x2适用于弹簧振子中质点的弹性势能，但是不适用于所有的惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，而且势能零点、坐标原点必须选在平衡位置，其他情况不成立.考虑弹簧质量时，Epkx2是满足胡克定律的理想弹簧在弹性限度内的机械能公式，弹簧静止时是弹簧的弹性势能，也不适用于任何惯性系，仅仅适用于观察者在弹力方向上的分速度为0时，而且势能零点、坐标原点必须选在平衡位置、弹簧必须在弹性限度内，Epkx2作为弹簧的机械能公式计算非常方便，但是注意适用范围.质点受到非弹簧的弹力时势能也不能利用Epkx2计算，对于其它弹力产生的弹性势能就更不成立了.部分人认为所谓轻质弹簧就是强调其储势能，而其质量相对很小，那么动能很小，可以忽略动能影响，而不可忽略储势能的能力，这是完全错误的，这样考虑在实践中可以，在理论上将导致悖论，例如现实中没有光滑的水平面，难道我们本题还要考虑其微弱的摩擦力吗？如果坚持Epkx2适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了小车系机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理但不具有单独协变性等错误的理论[25，27－29].爱因斯坦讲：“你无法在制造问题的同一个思维层面上解决这个问题.”在经典力学中机械能守恒定律可以认为是牛顿运动定律的推论，牛顿运动定律满足力学相对性原理，机械能守恒定律不满足力学相对性原理，就等于推翻了牛顿力学.朗道在《理论物理学教程（第一卷）力学（第五版）》第五页指出：力学运动方程在伽利略变换下具有不变性.第13页指出：能量守恒定律不仅对于封闭系统成立，对位于定常外场（即不显含时间）的系统也成立.能量守恒的系统也称为保守系统.2.3正确理解功的定义文献[32]分析了功的三种定义方式是一致的，本质上在于如何认识力的作用点的问题，功是质点的位移与所受力的数量积，墙壁不能对没有质量的弹簧做功（当考虑弹簧质量时，由于墙壁约束力是保守力，改变弹簧的势能和动能，但是不改变机械能.或者说墙壁对弹簧做的功与弹簧对墙壁做的功互为相反数）.根据牛顿第二定律，力必须作用在有质量的点上，因此在本题中力的作用点为质点，而不是弹簧.由于质点的势能是蕴藏在场中的能量，因此质点的势能无法直接对外界做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功.我们默认地面系为惯性系的同时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化.文献[31]给出了弹性势能的概念，只要质点受到保守力弹力就具有弹性势能，因此弹簧振子问题中是质点的弹性势能，而不是弹簧的弹性势能[15－16].在弹簧振子问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理.场概念的提出，不仅仅是电磁学，而是整个物理学甚至是包括数学在内的全部科学理论的一次质的飞跃.2.4保守力的认识现在大部分教材指出保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力[33]（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力[34]、匀速圆周运动的约束力[35]、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）[36]、弹性碰撞中的弹力以及浮力[31]等，文献[37]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换，Ep=也不是引力势能的一般公式当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献[38]提出了约束力是保守力，文献[39－40]验证了约束力是保守力.即使考虑弹簧的质量，由于约束力是保守力，也不改变系统的机械能，小车系测量质点的机械能依然守恒.其实可以证明：所有稳定场都是保守力，只有耗散力和显含时间的力才是非保守力.研究轻质弹簧的弹性势能类似于研究质点密度一样的荒谬.质点的势能是弹性势能，没有弹性形变，文献[31]指出质点只要受到弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变.观察者相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，但是此时需要增加一个惯性力，文献[41]证明了惯性力也是一个保守力，机械能也守恒.保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力，势能不可能显含时间，文献[28]和[42]是完全错误的.爱因斯坦的广义相对性原理是完全正确的：物理规律对于所有的参照系都相同.2.5惯性系的认识在经典力学的实验中，我们一般把地面系视为惯性系，在本问题中小车系也是惯性系.惯性系就是牛顿力学中的绝对时空，此时忽略地球的能量、动量、角动量等物理量的变化，笔者认为经典力学中惯性系是不考虑其能量、动量、角动量等物理量变化的参照系.牛顿提出了惯性参考系与惯性运动的概念：相对惯性参考系静止或保持速度不变的运动为惯性运动；相对一个惯性参考系保持相对静止或相对匀速直线运动状态的参考系是惯性参考系.然而，牛顿并没有提出一个有效的方法判定参考系是否为惯性参考系及一个物体是否处于惯性运动状态.爱因斯坦同样使用了惯性参考系这个概念，但他同样无法判定惯性运动.惯性运动包含两个特征，一是没有旋转，一是平动运动状态下没有加速.很多学者从哲学，物理等不度角度试图找出惯性参考系的判定.马赫提出了马赫桶，用来解释惯性参考系的思维实验.马赫桶的思维实验对我们理解惯性参考系和相对论的一些基本概念起到了很大的启发作用.它引导我们思考惯性参考系的定义，以及在相对论框架下，观察者如何判断自己是否处于惯性参考系中.如果把地球视为惯性系，地球不再是问题的研究对象，地球质量视为无穷大，此时没有惯性力，地面无法对外做功，文献[1－5]是完全错误的.物理学中没有真正的无穷大，只有相对无穷大.对于大部分力学实验，由于实验设计物体质量相对于地球质量而言极小，因此地面系视为惯性系，地球质量视为无穷大.研究太阳系星体的运动，太阳质量充分大，不考虑其物理量变化，太阳视为惯性系.[43]有人提出在功能原理中去掉外势能，引入外势能没有必要[44－50].如果去掉外势能，利用内势能计算，地球的具体质量我们不知道，而且地球的质量是一个变量，地震、海啸、山川河流、暴风骤雨以及人类活动等对于地球运动的影响远远超过质点运动对于地球运动的影响，不具有可操作性.其实现在力学教材都是从单质点的势能——外势能定义的，在推导重力、万有引力、弹力是保守力时也是按照一个质点受到的力推导，没有考虑两个质点.“势能属于系统”仅仅适用于内势能[53]，此时势能是相对位置的函数，一对保守力的功等于势能的减少量，势能是伽利略变换的不变量；对于外势能，势能是坐标的函数，dEp=（-f）dr，势能不是伽利略变换的不变量.[6,15,32,34,37,40]惯性系里没有惯性力，文献[1－2]和[28]利用惯性力研究这个问题属于概念不清.对于本题而言考察质点的动能是开放系统，考察质点的机械能是封闭系统，因为势能蕴藏在场中，考虑势能已经考虑到施力物体.2.6势能零点的选择在机械能守恒定律中势能的零点可以自由选择，但是这个自由选择必须遵循一定的要求——相对于观察者或者说坐标原点不变，上面的解答中小车系的势能零点是地面系势能零点的伽利略像点，并非地面系的势能零点，所以测量的势能不再是Epkx2，文献[27－28]正是由于错误选取势能零点，才导致在小车系机械能不守恒的错误结论.2.7功能原理的认识现行的很多力学教科书的功能原理，W外力W非保守内力(EkEp)(Ek0Ep0)(15)由于式(15)没有引入外势能，将机械能守恒定律成立的条件W非保守力≡0（系统不受任何非保守力的作用），搞错为W外力W非保守内力≡0（外力和非保守内力都不做功）．正确的功能原理应为W非保守力(EkEp)(Ek0Ep0)（非保守力的功等于机械能的改变量）(16)式（15）和式（16）的区别只在于引入外势能，即把所有保守力的功都移到等号右边，等号左边只剩下非保守力的功.式（16）给出的机械能守恒定律成立的条件为W非保守力≡0.因此建议把式（15）从力学教科书中删除，用式（16）代替它的位置.机械能守恒定律：如果所研究的系统只有保守力，那么系统的机械能守恒（不变）.证明：（18）机械能与时间无关.机械能守恒定律是对于时间均匀性的体现.机械能守恒定律对于所有参照系都协变.因为所以动量守恒定律是空间均匀性的体现，经典动量守恒定律其实是一个特例，也是空间均匀性的反映.动量守恒定律满足相对性原理的要求，动量守恒定律对于所有参照系都协变.因为所以角动量守恒定律是空间旋转不变性的体现，经典角动量守恒定律其实只是一个特例，也是空间旋转不变性的反映.角动量守恒定律满足相对性原理的要求，角动量守恒定律对于所有参照系都协变.在数学与物理中，结构与对称性是理解复杂系统的核心工具.从群论的基本公理到代数方程的可解性，从代数拓扑的同调理论到量子场中的旋量表示，每一个理论框架都不仅仅是形式上的抽象，而是揭示系统规律的分析工具.在这些理论的交织下，我们可以看到数学如何通过严密的逻辑结构，将看似不同的现象联系起来，并为物理系统的行为提供精确描述.三.主要结论笔者查到关于这个习题讨论的最早文献为[52]，此后大中学校教师乃至中国科学院力学所纷纷发表大量文章讨论，始终未能定论，然后编入大学教材[3，12]，各高校按照错误答案讲解，至今已经延宕40多年了，甚至作为中学生物理竞赛试题考察[15]，原因之一在于错误认为Epkx2是弹性势能的一般公式.弹性势能的机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性[6]，内势能差是伽利略变换的不变量，外势能差不是伽利略变换不变量.机械能守恒定律是质点动力学规律，弹簧振子是质点受到线性回复力[53]，不是质点+弹簧，只需研究质点即可，文献[27]和[54]只研究弹簧的势能，没有研究弹簧的动能是完全错误的.文献[8，55－57]证明了机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，所有力学规律都满足力学相对性原理.[57－59]为了准确理解这个习题，需要重新理解弹性势能的定义、功能原理和弹性势能计算公式.[60]由于中学阶段研究弹性势能时考虑弹簧质量无法计算，因此笔者建议中学阶段不要说弹簧的弹性势能，只能说质点的弹性势能，中学教材和高考试题表述也应该注意这个问题.按照一般理解，相对性原理对物理方程所提出的要求（或所加的限制）就是协变性要求（限制）．力学相对性原理要求力学定律对于伽利略变换是协变的，即经伽利略变换形式不变．狭义相对性原理要求物理定律对于洛伦兹变换是协变的，即经洛伦兹变换形式不变．因此可以说相对性原理就是协变性要求．若某定律服从相对性原理就说它满足协变性要求．岂有服从相对性原理而不满足协变性要求之理！要区分的不是相对性原理和协变性，而是伽利略协变性和洛伦兹协变性，即不能把力学相对性原理和狭义相对性原理混为一谈．机械能守恒定律满足伽利略协变性不满足洛伦兹协变性或者说它满足力学相对性原理不满足狭义相对性原理．从历史上看，把相对性原理简称为协变性要求是从狭义相对论开始的．［61-62］后来人们干脆把相对性原理称为协变性原理，但也一直有人把相对性原理称为不变性原理．前者在广义相对论中最为普遍［63－65］.后者在经典力学中偶尔出现．［66］但不管称呼什么，三种称呼表述的是同一事实：物理方程必须具备一种性质－协变性－坐标变换的形式不变性．对于正确的物理定律来说，满足协变性是必要的但不是充分的．满足协变性要求只说明方程可能正确，还不一定正确．这是合乎逻辑的，任何一个正确的命题‚它的逆命题不一定成立，而逆否命题一定成立．相对性原理在物理学中的权威性就由它的逆否表述来体现，它有否决权，不满足一定不正确．机械能守恒定律是牛顿定律的推论，牛顿定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性.如果机械能守恒定律不满足相性原理或者说不具有单独的协变性，相当于推翻了牛顿力学.牛顿力学的成功为"简单性原则"奠定了历史基础.17世纪末，牛顿通过三个运动定律和万有引力定律，成功解释了从苹果落地到行星运动的所有机械现象.这种统一性的实现依赖于一个关键洞察：复杂的宇宙行为可以归结为几个简单的数学关系.法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯将这种简单性推向了哲学高度.他设想的"拉普拉斯妖"——一个能够知晓宇宙中每个粒子位置和动量的智能体——体现了牛顿物理学的决定论本质.拉普拉斯认为，如果存在这样的智能体，它就能预测宇宙的整个未来和过去.虽然这个思想实验在量子力学出现后失去了绝对意义，但它准确地捕捉了经典物理学的核心理念：复杂性源于简单规则的相互作用.现代计算科学为这一观点提供了有力支撑.通过数值模拟，科学家们发现即使是最简单的非线性方程也能产生极其复杂的行为模式.混沌理论的发展进一步证明，简单的初始条件和确定性规则可以导致不可预测的长期行为，这种现象在气象学、生态学和经济学中都有广泛体现.其实国外的学生和学者也有同样的纠结[67]，直到今天这个问题依然没有定论.致谢：文章在写作工作过程中，曾经受到两弹元勋、国家自然科学一等奖获得者、中国科学院三等奖获得者、中国科学院力学研究所吴中祥研究员，中国科学院资深院士、美国杜邦公司中心研究院沈致远院士的多次指导，在此谨致谢忱！！参考文献[1]高炳坤.力学中一个令人费解的问题[J].大学物理，1995（5）：20－24.[2]李光惠，高炳坤.对“力学中一个令人费解的问题”的补充.大学物理，1996（10）：44－45.[3]赵凯华，罗蔚茵．新概念物理教程力学[M]．北京：高等教育出版社，2000：124．[4]高炳坤．能量追踪[J]．大学物理，2001（3）：15－16．[5]高炳坤.一个保守力做的功等于势能的减少吗[J].大学物理，2001（5）：19－20.[6]刘明成，刘文芳，赵文桐．弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109－111．[7]黄琼.机械能守恒定律和动量守恒定律与参照系的关系.四川教育学院学报，第12卷第2期，1996（4）:109－112.[8]王立、张成华.机械能守恒定律具有伽利略变换不变性.吉林师范大学学报（自然科学版），2004（3）：95－96.[9]郑金．对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨[J]．物理通报，2015(7)：109－112．[10]裴永伟，籍延坤，吴振声.物理规律的协变性与可变性.沈阳大学学报，2005，（17）4，100－104.[11]李兴毅，陈建，赵佩章，赵文桐.伽利略变换的物理意义.河南师范大学学报（自然科学版），2002（2）39－42.[12]郑永令，力学（2004年1月第2次印刷）：194页.[13]袁芳，朱炯明.功、动能和机械能.物理教学，2012（12）:5－10.[14]冯伟.机械能守恒定律与参照系——对力学中一个问题的讨论.承德民族师专学报，1986(4):73－74.[15]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014（9）：119－120.[16]刘一贯.关于机械能守恒定律的协变性.华南师范大学学报（自然科学版），1985（1）：155－157.[17]刘敏，孙皆宜.再论机械能守恒.牡丹江教育学院学报，2005（5）：26，34.[18]赵志栋，陈光红.轻弹簧之“困境”.物理通报，2016（5）：98－101.[19]唐龙.例说能量的系统性和相对性.物理教师，2016（6）：18－19.[20]赵坚．机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题[J]．物理通报，2006（6）：19－21．[21]冉婷，余杰，兰小刚.惯性参照系的选择与机械能守恒.物理教学探讨，第35卷总第507期，2017年第9期：:40－41.[22]易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：18－22.[23]赵坚.关于与机械能守恒相关的一些问题的探讨.物理教师，2019，40（5）：62－65.[24]杨习志，赵坚.关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨.物理教师，第41卷第5期，2020（5）：65－67,72.[25]叶邦角.机械能守恒定律协变性疑难讲义[J].中国科学技术大学物理学院《力学》教学组教学研讨会，2020.[26]孟昭辉.运用机械能守恒定律解题的参照系问题——对“一道中学生物理竞赛试题答案的商榷”一文的不同意见.物理教师，2015年（2）:94.[27]朱如曾.弹簧振子相对于运动惯性系的机械能不守恒——关于‘对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷’的商榷[J]．物理通报，2015(4)：100－103．[28]朱如曾.力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016（10）：11－16.[29]赵凯华.澄清对相对性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月：12－13.[30]师教民.答《弹簧振子相对于运动惯性系的机械能不守恒——关于<对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷>的商榷》.物理通报，2015（7）：115－118.[31]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237－238.[32]李学生.正确理解功的定义.中国高新科技，2020年11月（下），2020年第22期，总第82期：145－147.[33]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113－114.[34]张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115－117.[35]李学生.匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9.[36]黄修林.浅谈伯努利方程中的压强能.大学物理，1995，14（3）：10－11.[37]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123－124．[38]马忠义.物体在约束运动中的功和能.沈阳化工学院学报，1989（3）2：117－122.[39]李有为.受光滑约束系统的机械能守恒问题.郑州工学院学报，1989（9）：91－94.[40]李学生.对一道困扰力学界五十多年习题的思考.百科论坛，2020年7月（上）:74－77.[41]李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318－319.[42]刘瑞金.有关机械能及其守恒律的研究评述.淄博师专学报，1995年12月：22－26.[43]李学生.双星运行轨道的研究.物理通报，2014年第12期：15－18.[44]罗志娟，段永法，谢艳丁，何艳.关于功能原理的讨论.物理通报，2014（11）：106－107.[45]袁书卿，万明理.关于质点系功能原理和机械能守恒定律相关问题的讨论.洛阳师范学院学报.2014（8）：50－53.[46]苏云.功能原理的价值.韩山师范学院学报，32（6），2011（12）：46－48.[47]谭昌炳.机械能定理和力学相对性原理.三峡大学学报（自然科学版），2005(2):93－96.[48]白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律[J].大学物理，1997，(16)3：11－12．[49]管靖.力学相对性原理与机械能.大学物理，1991（11）：21－24.[50]史玉昌.势能和机械能守恒定律[J]．大学物理，1988(7)：16－17．[51]张景春，韩淑梅.浅析物体系的势能[J]．辽宁大学学报（自然科学版），1989(4)：33－36．[52]蔡伯濂.关于讲授功和能的几个问题.《工科物理教学》，1981年1月：7－13．[53]李阳，王宏，韩艳玲.与r的一次方成正比有心力作用下质点的运动研究.物理通报，2015（12）：4－7.[54]陈奎孚，蔡春.仅据平衡位置为系统弹性势能零点就能使振子势能为kx2？物理与工程，第25卷，2015年第2期：32－34,59.[55]周筑文.国外与国内大学物理对于伽利略变换不同描述的思考.物理与工程，2019（S1）：112.[56]周筑文.物理学对称美和物理核心素养的培养.贵州师范学院学报，第35卷第12期，2019（12）：51－56.[57]张小溪.也谈力学相对性原理与机械能[J]．怀化师专学报，第13卷第1期，1994（4）：112－114．[58]李学生.声波方程满足伽利略变换下的形势不变性.百科论坛，2020年第6期05卷:268.[59]李学生.动量守恒定律与角动量守恒定律的协变性疑难.国际教育学，2025年第7卷第7期：30－38./zn/Detail/index/GARJ2021_6/SQLLF6F6E0C13241EC8F3C712805EBC7348D［60］刘文芳，刘明成.关于功能原理之来源之探索.吉林师范大学学报（自然科学版），2007（2）：119－120.［61］鲁增贤，杨大卫，刘明成.相对性原理和协变性要求.吉林师范大学学报（自然科学版），2004年2月：80－81．［62］李学生.理想流体伯努利方程的协变性初探.科学发展研究，2025年第5卷第6期:83-92.［63］李复．广义相对论和宇宙学的物理基础［M］．北京：气象出版社，2000．［64］金万修．广义相对论基础［M］．长春：东北师范大学出版社，1987．［65］冯麟保,刘雪成,刘明成.广义相对论[M].长春:吉林科学技术出版社,1995.［66］赵景员，王淑贤．力学［M］．北京：人民教育出版社，1979．［67］SantosFC,SoaresVandTortAC.AnoteontheconservationofmechanicalenergyandtheGalileanprincipleofrelativity[J].EuropeanJournalofPhysics.2010,31(4):827-834.［68］李学生.一个物理教师提出的理论物理问题.现代物理学报，2025年第8卷12期：1-36.[69]李学生.内势能与外势能关系探微.现代物理学报，2026年第9卷第3期：1-16.ThoughtsonAnExercisePuzzlingMechanicsTeachinginChinaforover40YearsAbstract:Theauthortakesthespringoscillatorasanexampletoanalyzefromperspectivesofvectorialmechanicsandanalyticalmechanicsthatthelawofconservationofmechanicalenergyofelasticpotentialenergyofexternalpotentialenergysatisfiestheprincipleofrelativityinmechanics,thatitisofindividualcovariation,andthatelasticpotentialenergyisnotofinvarianceofGalileantransformation.Theauthoralsoresolvesdisputesoverth