高中数学：3-3 幂函数（学案）

3.3基函数

【学习目标】

课程标准学科素养

1.了解察函数的概念，会求暴函数的解析式.1、数学模型

11

2、数学运算

2.结合累函数y=x,y=f,)，=■?,y=-fy=/的图象，掌握它们的

性质(重点).3、直观想象

3.能利用幕函数的单调性比较指数幕的大小(重点).

【自主学习】

幕函数的概念

1.一般地，函数叫做寻函数，其中x是自变量，a是常数.

2.幕函数解析式的结构特征

①指数为常数：②底数是自变量，自变量的系数为1：③基1的系数为1：④只有1项.

(1)所有累函数在(()，+oo)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1,即J(1)=L

(2)如果。＞0,则黑函数在［0,+◎上有意义，且是增函数.

(3)如果aVO,则察函数在x=0处无意义，在(0,+8)上是减函数.

【小试牛刀】

1.思辨解析•(正确的打W"，错误的打“X”)

(1)函数y=.¥°(#0)是累函数.()

(2)幕函数的图象必过点((),())和(1,1).()

(3)幕函数的图象都不过第二、四象限.()

(4)当c»0时，y=K是增函数.()

2.下列函数为幕函数的是()

3

A.)=2A3B.y=2^—1C.y=~D・尸？

【经典例题】

题型一嘉函数的概念

点拨：判断一个函数是否为需函数的依据是该函数是否为为常数)的形式，即函数的解

析式为一个赛的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

1……」

例1(1)在函数①y=:,②③y=2L®y=1,⑤y=2/，⑥>=]2中，是笨函数的是

()

A.①②④⑤B.③④⑥C.①@⑥D.①②④⑤⑥

⑵函数/(》)=(>一kl)/+T是累函数，且当xW(O,+oo)时，信)是增函数，求/(幻的解析

式.

【跟踪训练】1若事函数ZU)满足式9)=3,则式100)=.

题型二暴函数的图象及性质

点拨：解决幕函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幕指数大小，相关结论为：

①在x£(0,1)上，指数越大，寐函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在工£(1,+oo)上，

指数越大，簇函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幕指数a与0,1的大小关系，即根据某函数在第一象限内的图象的凹凸来判

断.

例2求下列函数的定义域，并指出其奇偶性和单调性.

23_3

①y=xs；②尸x4；③y=<2；@y=x4.

【跟踪训练】2(1)函数厂)的图象是()

⑵如图所示，图中的曲线是嘉函数)，=炉在第一象限的图象，已知〃取±2,±|四个值，则相应

于G,C2,C3,的〃依次为()G

A.-2,2B.2,-2

c.-1,-2,2,1D.2,I，-2,-y----------

2222Oix

题型三利用幕函数的性质比较大小I

点拨：比较幕值大小的方法

(1)若指数相同，底数不同，则考虑赛函数.

(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解.

(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，

指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小.

例3比较下列各组数的大小.

!!二23

(I)1.53.1.7^I：(2)3.8-"3.9"(一1.8尸：(3)3L451-5.

【跟踪训练】3设〃=0.6%b=0.6】5,c=1.50-6,则。、b、c的大小关系是()

A.a<b<cB,a<c<b

C.b<a<cD.h<c<a

II

例4若(3-2,炉>(/〃+1户,求实数用的范围.

注意：构造事函数，利用事函数的单调性比较大小.

【跟踪训练】4已知慕函数若贝。+1)勺(10—2〃)，则。的取值范围是________

【当堂达标】

1.(多选)下列函数是基函数的是()

A.），=5、B.y=x5C.y=yfxD.j=（x+l）3

2-2-3-

2.设a=（-）5/=（一）5尸（二尸，则血的大小关系是（）

K.a>b>cB.c>a>bC.a<b<cD.b>c>a

3.如图是至函数），=/与y=炉在第一象限内的图象，贝女）

A.—I<n<O<m<1B,n<—l,O</n<l

C.—1</?<（）,m>\D.n<—1,m>\

4.已知累函数）=/U）的图象经过点（4,则42）=o

5.比较下列各组数的大小：

/_5_1八（（YL（7、3

（1）3z和3.1z；Q）-88和--；（3）—2-和一-o

6.已知基函数)=^〃「9(机wN)的图象关于)，轴对称，且在区间(0,+s)上是减函数，求,/U)的

解析式.

【课堂小结】

1.客函数)，=犬的底数是自变量，指数是常数.

2.暮函数在第一象限内指数变化规律

在第一象限内直线x=l的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线工=1的左

侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.

3.简单基函数的性质

(1)所有某函数在(0,+8)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1,即/U)=L

⑵如果心0,幕函数在［0,+8)上有意义，旦是增函数.

(3)如果a<(),基函数在x=0处无意义，在(()，+oo)上是减函数.

【参考答案】

【自主学习】

y=^

1

事函数1,3]

尸Xy=x>=xy=^2y=x~

(-00,())U((),+

定义RRR[0,+co)

◎

值域R[0,+8)R[0,+oo){y|y£R,旦)¥0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

xE[(),4-00),增x£((),+co),减

单调性增增增

工三(一8,0],减x£(—8,0),减

公共点都经过点(1,1)

【小试牛刀】

l.(l)Y(2)x(3)x(4)x

2.C

【经典例题】

例1(1)C鬲函数是形如y=K(a为常数)的函数，①是。=一1的情形，②是a=2的情形，⑥

是。=一；的情形，所以①②⑥都是基函数；③是指数函数，不是基函数；⑤中％2的系数是2,

所以不是事函数；④是常函数，不是事函数.所以只有①②⑥是事函数.故选C.

⑵由〃P—〃2—1=1得，谒一加一2=0,解得〃1=2或〃2=—1.

当〃?=2时，/+加一3=3,jW/r3符合要求，

当〃z=—1,加2+加—3=—3<(),凡¥)=不、在(0,+8)为减函数,不符合要求.

综上，式幻=2.

【跟踪训练】110解析：设/(“)-K,由<9)=3,得9“=3,.•・a=J,

II

・•・©=/，100)=1002=10.

例2解:①函数)，=/,即》=部，其定义域为R；是偶函数；它在［0,+8)上为增函数，在

(―8,()］上为减函数.

②函数)，=/，即》=幻，其定义域为10,+00)；既不是奇函数，也不是偶函数；它在［0,+

8)上为增函数.

③函数)=工2，即)，=%，其定义域为(一8，0)U(0,+co)；是偶函数；它在(0,+8)上为减函

数，在(一8,0)上为增函数.

④函数)，=£：,即〉=一匚，其定义域为(0,+oo);既不是奇函数，也不是偶函数；它在(0,

依

+co)上为减函数.

【跟踪训练】2(1)B解析：直接由幕函数的图象特征判定.

(2)B解析：根据基函数)，=V的性质，在第一象限内的图象当〃>()时，〃越大，y=L递增速度

越快，故G的〃=2,C2的〃当〃<0时，|川越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的〃=-

曲线。4的〃=一2,故选B.

£

例3解：(1)因为函数》=必在(0,+8)上单调递增，且

所以

_223

⑵因为0V3.83V1,3.95>1,(-1.8)5<0,

2_23

所以395>3.83>(-1.8)?.

(3)根据鬲函数和指数函数的单调性，得32〈3L5<5「5,所以4V5W

【跟踪训练】3c〈OS仁(0,1),・・・y=06是减函数，・・・0.6°6>0.6L5,又)，=出6在(°,|⑹是增

函数，・・・1.5°6>0.6°6,・・・c>a»，故选C.

［3-2w>0,

例4解：因为)，=%在定义城［0,十⑹上是增函数，所以《用+整0，2

解得一

13—2加>加+1,

故实数，〃的取值范围为［—1,

_1

~2

【跟踪训练】4(3,5)解析‘.・/*)=x),易知犬X)在(0,+8)上为减函数,

仅+1>0»a>—1,

又加+1）勺（10-2①，・•、10-2介0，

解得<a<5t，3<a<5.

1>10-2a、a>3.

【当堂达标】

1.BC解析：函数y=5,是指数函数，不是累函数；函数)，=。+1)3的底数不是自变量x,不是

事函数；函数)=2是嘉函数.

2.C解析:因为〃=("=(且口=(2)1=(3却=(岁=(2［又函数兀3/单调递增，且且<±

512552552512525

<2,所以a<b<c.

25

3.B解析：在(0,1)内取xo,作直线x=xo,与各图象有交点,则“点低指数大所以

n<—\.

4.乎解析：设基函数为)，=都，•・•幕函数的图象经过点(4，21)