2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷(含详解)

2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12题，每题3分）.1．函数的最小正周期为．2．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为．3．复数满足，则．4．向量平行于，则实数的值为．5．函数的定义域是．6．向量在方向上的数量投影为．7．已知，，若、满足，且的最小值为，则．8．已知是实数，方程的一个实根是是虚数单位），则的值为．9．已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状为．10．图中所示一个正六边形．已知该正六边的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围是．11．已知函数，，（其中，为常数，且有且仅有5个零点，则的取值范围是．12．已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为．二、选择题（本大题共4题，每题3分）13．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件14．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．15．在△中，，，为中点，点在上，则的最小值为（）A． B． C．2 D．116．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．，三、解答题（8+8+10+12+14）17．已知向量与的夹角为，且．（1）求的值；（2）若，求实数的值．18．关于的方程．（1）若是方程的一个虚根，求、的值；（2）若，是方程的两个虚根，且，求的值．19．如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造三角形的花园，已知为，花园的另外两个顶点分别在，两点（沿着公路且异于点，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道，已知观景通道长，记．（1）试用表示出，，以及此花园的面积．（2）为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？20．已知函数，，的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的对称轴方程；（3）在（2）的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由．21．若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间；（3）在（2）条件下：①写出函数的解析式；②当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值．

参考答案一、填空题（本大题共12题，每题3分）1．函数的最小正周期为．[思路点拨]根据函数的周期为，求出函数的最小正周期．解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为平行或相交．[思路点拨]直接由公理2的两个推论得答案．解：空间中两条直线、有三种位置关系，分别为平行、相交和异面，由公理2的推论可知，只有当两直线平行或相交时，两直线才能确定一个平面．故答案为：平行或相交．3．复数满足，则．[思路点拨]根据复数的基本运算求解即可．解：由复数满足，可得，所以．故答案为：．4．向量平行于，则实数的值为4．[思路点拨]根据题意，由向量平行的坐标表示方法，分析可得答案．解：根据题意，若向量平行于，则有，解得．故答案为：4．5．函数的定义域是．．[思路点拨]由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．解：由，的，解得：．函数的定义域是．故答案为：．6．向量在方向上的数量投影为．[思路点拨]根据向量在向量上的数量投影的定义求解．解：，，则，，所以在方向上的数量投影为．故答案为：．7．已知，，若、满足，且的最小值为，则4．[思路点拨]根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可．解：，，若、满足，则函数在、处取到最值，的最小值为，所以，解得．故答案为：4．8．已知是实数，方程的一个实根是是虚数单位），则的值为．[思路点拨]把方程的实数根代入方程，化简后由复数相等的条件求出，的值，然后利用复数模的公式求解．解：是方程的一个实根，则，即，，，解得：，．．故答案为：．9．已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状为等腰三角形．[思路点拨]由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果．解：因为△的内角，，所对的边分别为，，，由，可得，则，即，所以，即，又因为，，，则，即，所以△是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．10．图中所示一个正六边形．已知该正六边的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围是，．[思路点拨]过点作于，将向量用基向量表示出来，再结合图形特征求数量积即可．解：如图所示，过点作于，所以，且，，，其中，，所以，当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时，，取得最大值为3；当点与点重合时，此时，即，故，取得最小值为0，所以的取值范围是，．故答案为：，．11．已知函数，，（其中，为常数，且有且仅有5个零点，则的取值范围是，．[思路点拨]由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，从而求得，再将问题转化为与的图象交点个数，然后结合余弦函数的性质，列不等式求解即可．解：因为，，，定义域关于原点对称，所以，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，因为有且仅有5个零点，所以必有一个零点为，即，解得，故，，的零点等价于与的图象在，上的交点个数，令，则，，要使与的图象在，上有5个交点，则需满足，解得，即实数的取值范围为，．故答案为：，．12．已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为．[思路点拨]设的夹角为，把两边平方，可得关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0求得的范围，进一步得到的最大值，则答案可求．解：设的夹角为，由，，得，，由题意可得：，解得或．当时，，此时面积的最大值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题3分）13．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件[思路点拨]准确把握异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，就可做出正确选择．解：若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”“这两条直线没有公共点”；反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故选：．14．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．[思路点拨]说明函数，的图象与函数，的图象的关系，判断其周期以及单调性，判断，；根据，脱掉函数的绝对值符号，判断其单调性，根据即可判断；由于时，，判断出在上是单调减函数，即可判断．解：因为可以由函数的图象保持轴上方部分不动，将轴下方部分翻折到轴上方而得到，故其周期为，项．由于时，是单调减函数，故项不正确；项．又时，是单调增函数，故项正确；由于时，，令，解得，项．则在上是单调减函数，故项错误；项由于时，是单调减函数，故项错误．故选：．15．在△中，，，为中点，点在上，则的最小值为（）A． B． C．2 D．1[思路点拨]以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可．解：以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，，为中点，所以，因为点在上，设，所以，所以，当时，．故选：．16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．，[思路点拨]将不等式恒成立，转化为恒成立．构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案．解：因为对一切正实数，，不等式恒成立，即恒成立，令，则，因为，当且仅当，即时，取“”，所以；所以，即恒成立．因为，，，所以，，所以恒成立，令，则，，所以，所以恒成立．令，，，则．因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，则，所以．所以，所以实数的取值范围为，．故选：．三、解答题（8+8+10+12+14）17．已知向量与的夹角为，且．（1）求的值；（2）若，求实数的值．[思路点拨]（1）运用平面向量数量积的运算性质，得到，由已知向量与的夹角和模即可求得结果；（2）将转化为，求解即可．解：（1）因为向量与的夹角为，且，得：；（2）因为，所以；得：，解得：．18．关于的方程．（1）若是方程的一个虚根，求、的值；（2）若，是方程的两个虚根，且，求的值．[思路点拨]（1）由题意知与都是程的根，利用根与系数的关系求出、的值；（2）设，，根据求出，利用根与系数的关系求出，再求的值．解：（1）因为为方程的虚根，所以也是方程的根，由根与系数的关系知，，；（2）设，，，，可得，所以，，所以，解得，即，由根与系数的关系得，，所以．19．如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造三角形的花园，已知为，花园的另外两个顶点分别在，两点（沿着公路且异于点，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道，已知观景通道长，记．（1）试用表示出，，以及此花园的面积．（2）为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？[思路点拨]（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边；（2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解．解：（1）在△中，，由正弦定理可知，，则，，面积．（2）因为，由已知及余弦定理，可得，当且仅当时取等号，则，即，此时，，△为等腰三角形，，．20．已知函数，，的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的对称轴方程；（3）在（2）的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由．[思路点拨]（1）直接利用函数的图象求出函数的解析式；（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的解析式，进一步求出函数的对称轴方程；（3）利用函数的性质，建立不等式组，进一步求出的值．解：（1）根据函数的图象，且，解得，所以；且，由于，故，故．（2）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，令，整理得对称轴方程为：，．（3）由得，由，得，所以，所以，因为，所以，所以．由题可知，得，解得，所以存在，使得成立．21．若函数满足且，则称函数为“函数”．（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；（2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间；（3）在（2）条件下：①写出函数的解析式；②当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值．[思路点拨]（1）根据题干条件代入检验即可求解；（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称