葛军出的题目及答案

葛军出的题目及答案一、选择题（每题5分，共50分）1.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+tanx·cotx，则f(π/4)的值为（）A.2B.3C.4D.52.若a，b，c是三角形的三边，且满足a²+b²-c²=ab，则角C的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知数列{an}的前n项和Sn=n²+n，则a5的值为（）A.8B.9C.10D.114.设x，y满足约束条件：x+y≤1，x-y≥-1，y≥0，则z=2x+y的最大值为（）A.1B.2C.3D.45.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则a·b的值为（）A.-5B.5C.-1D.16.函数f(x)=log₂(x²-4x+5)的单调递减区间是（）A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)7.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为1/2，则a/b的值为（）A.√2/2B.√3/3C.2√3/3D.28.在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则a9的值为（）A.32B.64C.128D.2569.函数f(x)=x³-3x²+3x-1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.310.已知复数z满足z(1+i)=2i，则|z|的值为（）A.1B.√2C.2D.2√2二、填空题（每题5分，共30分）1.已知函数f(x)=ax²+bx+c，且f(0)=1，f(1)=2，f(2)=4，则a=______，b=______，c=______。2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，c=5，则sinA=______。3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n≥1)，则a5=______。4.已知向量a=(2,-1)，b=(3,4)，则向量a在b上的投影长度为______。5.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的最小正周期为______。6.已知圆C的方程为x²+y²-2x+4y+m=0，若圆C与直线x-y+1=0相切，则m=______。三、解答题（共70分）1.（本题满分12分）已知函数f(x)=log₂(x²-2x+3)。(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)求函数f(x)的值域。2.（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos²A/2=sinB+sinC。(1)求角A的大小；(2)若a=2，求△ABC面积的最大值。3.（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-1(n≥1)。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=an/2ⁿ，求数列{bn}的前n项和Tn；(3)求证：对于任意的正整数n，都有an<n+1。4.（本题满分16分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且椭圆C上的点到焦点F1的距离的最小值为2-√3。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求证：1/OA²+1/OB²为定值，并求出这个定值；(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值。5.（本题满分16分）已知函数f(x)=e^x-ax-1(a>0)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值；(3)若关于x的不等式f(x)≥0在区间[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围。四、附加题（本题满分20分）已知函数f(x)=|x²-4x+3|-x²+4x-3。(1)求函数f(x)的零点；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)=f(x)+kx，若g(x)在区间[0,5]上有3个零点，求实数k的取值范围；(4)若关于x的方程f(x)=f(2x)有4个不相等的实数根，求实数k的取值范围。答案及解析一、选择题1.解：f(x)=sin²x+cos²x+tanx·cotx=1+1=2，所以f(π/4)=2。答案：A解析：根据三角函数的基本恒等式，sin²x+cos²x=1，tanx·cotx=tanx·(1/tanx)=1，所以f(x)=1+1=2，因此f(π/4)=2。知识点：三角函数的基本恒等式。2.解：由余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2，所以角C=60°。答案：C解析：根据余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，题目中给出a²+b²-c²=ab，所以cosC=ab/(2ab)=1/2，因此角C=60°。知识点：余弦定理。3.解：a5=S5-S4=(5²+5)-(4²+4)=30-20=10。答案：C解析：数列{an}的前n项和为Sn，则an=Sn-Sn-1(n≥2)，a1=S1。所以a5=S5-S4=(5²+5)-(4²+4)=30-20=10。知识点：数列的前n项和与通项的关系。4.解：画出可行域，当x=1，y=0时，z=2x+y=2，取得最大值。答案：B解析：画出约束条件对应的可行域，是一个三角形，其顶点为(0,0)，(1,0)，(0,1)。代入目标函数z=2x+y，在(0,0)处z=0，在(1,0)处z=2，在(0,1)处z=1，所以最大值为2。知识点：线性规划。5.解：a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5。答案：A解析：向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)的点积a·b=x1x2+y1y2。所以a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5。知识点：向量的点积。6.解：令u=x²-4x+5=(x-2)²+1≥1，所以f(x)=log₂u，u≥1，且u在(-∞,2)上递减，在(2,+∞)上递增，所以f(x)在(-∞,2)上递减，在(2,+∞)上递增。答案：A解析：复合函数f(x)=log₂(g(x))的单调性与g(x)的单调性一致（因为log₂x是增函数）。而g(x)=x²-4x+5=(x-2)²+1在(-∞,2)上递减，在(2,+∞)上递增，所以f(x)在(-∞,2)上递减，在(2,+∞)上递增。知识点：复合函数的单调性。7.解：离心率e=c/a=√(1-b²/a²)=1/2，所以1-b²/a²=1/4，b²/a²=3/4，a/b=2/√3=2√3/3。答案：C解析：椭圆的离心率e=c/a=√(1-b²/a²)=1/2，所以1-b²/a²=1/4，b²/a²=3/4，a/b=2/√3=2√3/3。知识点：椭圆的离心率。8.解：设等比数列{an}的公比为q，则a6=a3·q³=16，所以q³=8，q=2，所以a9=a6·q³=16×8=128。答案：C解析：等比数列{an}中，an=a1·q^(n-1)，所以a6=a3·q³=16，a3=2，所以q³=8，q=2，a9=a6·q³=16×8=128。知识点：等比数列的性质。9.解：f'(x)=3x²-6x+3=3(x²-2x+1)=3(x-1)²≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，没有极值点。答案：A解析：函数的极值点出现在导数为零的点。f'(x)=3x²-6x+3=3(x²-2x+1)=3(x-1)²≥0，当且仅当x=1时f'(x)=0，但此时导数由正变正，不是极值点，所以函数f(x)没有极值点。知识点：函数的极值。10.解：z(1+i)=2i，所以z=2i/(1+i)=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2i(1-i)/2=i(1-i)=i-i²=1+i，所以|z|=√(1²+1²)=√2。答案：B解析：复数z满足z(1+i)=2i，所以z=2i/(1+i)，将分母有理化，z=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2i(1-i)/2=i(1-i)=i-i²=1+i，所以|z|=√(1²+1²)=√2。知识点：复数的运算和模。二、填空题1.解：由f(0)=c=1，f(1)=a+b+c=2，f(2)=4a+2b+c=4，代入c=1，得a+b=1，4a+2b=3，解得a=1/2，b=1/2，c=1。答案：1/2，1/2，1解析：根据已知条件，f(0)=c=1，f(1)=a+b+c=2，f(2)=4a+2b+c=4，代入c=1，得a+b=1，4a+2b=3，解得a=1/2，b=1/2，c=1。知识点：二次函数的系数确定。2.解：因为a=3，b=4，c=5，所以△ABC是直角三角形，且角C=90°，所以sinA=a/c=3/5。答案：3/5解析：因为a²+b²=3²+4²=9+16=25=5²=c²，所以△ABC是直角三角形，且角C=90°，所以sinA=a/c=3/5。知识点：三角函数的定义和勾股定理。3.解：a1=1，a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15，a5=2a4+1=31。答案：31解析：根据递推关系，逐项计算：a1=1，a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15，a5=2a4+1=31。知识点：数列的递推关系。4.解：向量a在b上的投影长度为|a·b|/|b|=|2×3+(-1)×4|/√(3²+4²)=|6-4|/5=2/5。答案：2/5解析：向量a在b上的投影长度为|a·b|/|b|，其中a·b=2×3+(-1)×4=6-4=2，|b|=√(3²+4²)=5，所以投影长度为2/5。知识点：向量的投影。5.解：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期为2π/2=π。答案：π解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为2π/ω，这里ω=2，所以周期为2π/2=π。知识点：三角函数的周期。6.解：圆C的方程为x²+y²-2x+4y+m=0，可化为(x-1)²+(y+2)²=5-m，圆心为(1,-2)，半径为√(5-m)。直线x-y+1=0到圆心(1,-2)的距离为|1-(-2)+1|/√(1²+(-1)²)=4/√2=2√2。因为圆与直线相切，所以距离等于半径，即2√2=√(5-m)，所以8=5-m，m=-3。答案：-3解析：圆C的方程化为标准形式，得到圆心和半径，然后计算圆心到直线的距离，因为相切，距离等于半径，从而求出m的值。知识点：圆的方程和直线与圆的位置关系。三、解答题1.解：(1)函数f(x)=log₂(x²-2x+3)的定义域要求x²-2x+3>0。因为判别式Δ=(-2)²-4×1×3=4-12=-8<0，且二次项系数为正，所以x²-2x+3>0对所有实数x都成立，因此f(x)的定义域为R。(2)令u=x²-2x+3，则u=(x-1)²+2≥2，且u在(-∞,1)上递减，在(1,+∞)上递增。因为f(x)=log₂u，且log₂u是增函数，所以f(x)在(-∞,1)上递减，在(1,+∞)上递增。(3)因为u=(x-1)²+2≥2，所以f(x)=log₂u≥log₂2=1，当且仅当x=1时取等号。当x趋近于±∞时，u趋近于+∞，f(x)趋近于+∞，所以f(x)的值域为[1,+∞)。2.解：(1)由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。重新考虑，由cos(A/2)=cos((B-C)/2)，得A/2=(B-C)/2或A/2=-(B-C)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(A/2)=cos((B-C)/2)，即A/2=±(B-C)/2+2kπ(k∈Z)。因为0<A,B,C<π，所以A/2=(B-C)/2或A/2=(C-B)/2，即A=B-C或A=C-B。又A+B+C=π，若A=B-C，则(B-C)+B+C=π，2B=π，B=π/2；若A=C-B，则(C-B)+B+C=π，2C=π，C=π/2。所以角A=π/2-B或π/2-C，因为B或C有一个是π/2，所以角A=0，矛盾。看来这个方法确实有问题，换一种思路：由2cos²A/2=sinB+sinC，得1+cosA=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)。因为A+B+C=π，所以(B+C)/2=π/2-A/2，sin((B+C)/2)=cos(A/2)。所以1+cosA=2cos(A/2)cos((B-C)/2)。又1+cosA=2cos²(A/2)，所以2cos²(A/2)=2cos(A/2)cos((B-C)/2)，即cos(A/2)[cos(A/2)-cos((B-C)/2)]=0。因为0<A<π，所以0<A/2<π/2，cos(A/2)≠0，所以cos(