2026高考数学复习高效培优专题4.3 几何法求线线角、线面角、二面角（原卷版）

专题几何法求线线角、线面角、二面角

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模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。

近三年：

在立体几何板块，高考命题强调“建系法、几何法、向量法三法并重”，突出化归转化思想。这些年立体几

何大题逐渐显示出非常规建系、配合几何法、向量法等方式。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列的

通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向量

法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。

预测2026年：

基于以上分析，几何法在2026年高考中预计将继续受到重视，“几何法”的核心价值在于它直接锻炼了立

体几何最本质的空间想象与逻辑推理能力，这在当前“去套路化”的命题趋势下尤为重要。你在备考中需要将

其放在与向量法同等重要的位置进行系统性训练。

题型01定义法求线线角

解｜题｜策｜略

一、概念

异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直线的夹角，

其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。

�

二、用定义求(异0,面2]直线所成角

利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随

后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。

3

1．（2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱ABCABC中，已知AAAB，D，E分别在棱AA，BB上，且

1111211

AD2DA1，B1E2EB，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（）

55252

A．B．C．D．

5653

2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，且A1AC60，D、E、F分

别为A1C1、A1B1、BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（）

33721

A．B．C．D．

3277

3．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷ABCDA1B1C1D1中，

282与

AB2A1B14，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AA1EF所成角的余弦值为（）

3

1232

A．B．C．D．

2322

4．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，

B1C1的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是（）

191999

A．B．C．D．

10101010

5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面l,Al,Bl,AB3,C,CAl,D,DBl,ACDB4，

π

异面直线AC与BD所成的角是，则线段CD的长为.

3

题型02定义法求线面角

解｜题｜策｜略

线面角的定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为

.找线面角的方法有两种定�义�法与体积法。���

°°

[定0义,9法0]：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。

1．（2025·湖北·三模）�在正�三棱台ABC�DEF中，P,Q分|�别�|为棱|A�B�,|BC的中点，AB2DE，四边形PQFD

为正方形，则BC与平面ACFD所成角的正弦值为（）

3636

A．B．C．D．

3366

2．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，CC1平面ABCD，四边形ABCD为正方

形，AB2,CC12，则直线BC1与平面ACC1A1所成角的正弦值为.

3．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥PABC中，若PAPB，APCBPC60，则直线PC与平

面PAB所成角的正弦值是（）

1236

A．B．C．D．

2233

4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体VABC中，ACBC，从顶点V作平面ABC的垂线，垂足O

恰好落在ABC的中线CD上.

(1)如果DVDA2，直线VD与平面ABC所成的角为，求直线VA与平面ABC所成角的大小；

4

(2)证明：平面VCD平面VAB.

5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD60，E,F分别为AD,AB的中

点，EFACO，BDACG，将△AEF沿EF翻折，使A到V处，VC26．

(1)证明：VC平面VEF；

(2)求VB与平面BCDEF所成角的正弦值．

题型03体积法求线面角

解｜题｜策｜略

体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，

通过体积求出点到平面的�高度ℎ�，则线面角的�正弦可求。

��

1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥PABC的体积为1，ABC是边长为2的正三角形，且PA2，

则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（）

123

A．B．C．D．1

222

2．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，BAC90且SAABAC2，

6

若在△SBC内（包括边界）有一动点P，使得AP与平面SBC所成角的正切值为，则点P的轨迹长为（）

2

4π2π

A．B．πC．D．6

33

3．（2025·山东·模拟预测）如图，AB是O的直径，PA与O所在的平面垂直，PAAB2，C是O上

的一动点（不同于A,B），M为线段PB的中点，点N在线段PC上，且ANPC．

(1)求证：ANMN

(2)当ACBC时，求直线PC与直线AM所成角的余弦值

(3)当三棱锥PAMN的体积最大时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

4．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥PABC,ABACCP1,BP2,BC2,CAP30.

(1)证明：平面PAC平面ABC；

(2)若三棱锥PABC的各顶点都在球O的球面上，求球O的半径：

(3)求直线AP与平面BCP所成的角的正弦值.

5．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，点E、F分别在边AD、CD上，

22

且AE，CF．

33

(1)证明：AC//平面B1EF；

(2)若AA12，求直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值．

题型04定义法求二面角

解｜题｜策｜略

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两

个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平

面角，范围为��,�

°°

定义法：如果能[0直,1接80过]棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。

��

目标：找与棱垂直的两条线

�

1．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知D，E，F分别是正四面体PABC的棱AB，BC，CA的中点，

则下列结论正确的有（）．

A．BC//平面PDFB．PADF

C．平面PAC与平面ABC夹角为60D．平面PDF平面ABC

2．（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知四棱锥PABCD中，PC平面ABCD,ADCD,AC4，四棱

锥PABCD的外接球的球心为O．记四棱锥PABCD,OABCD的体积分别为V1,V2，三棱锥

PACD,PABC的体积分别为V3,V4，则下列说法中正确的有（）

A．ABBP

B．V12V2

C．V12V3

643

D．若二面角PABC的平面角大小为45，则V4的最大值为

27

3．（2025·甘肃白银·二模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBCCC12，E为B1C1

的中点，平面ABE与直线A1C1交于点G．

(1)求四棱锥CABEG的体积；

(2)求平面ABEG与平面CEG所成角的正弦值．

题型05三垂线法求二面角

解｜题｜策｜略

三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一

点点，过点作平面的垂线（�注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平�面上作

垂线�），然�后过或者�作棱的�垂�线交于点，连接成直角三角形，即可求二�面角的平面角。

1．（2025·湖南长�沙·一�模）已知三棱锥P�ABC满足AB3,BC𝑃4,�AC5，且其体积为42，若点P（正

投影在ABC内部）到AB,BC,AC的距离相等，则二面角PABC的正弦值为.

2．（2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥PABC中，PAPC且PAPC，底面ABC是等边三角形，平

面PAC平面ABC，若QA2PQ，则平面BCQ与平面ABC所成角的余弦值为（）

2323

A．B．C．D．

3322

3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A1均为正方形.

(1)证明:A1CBC1；

(2)若BC13BC，求二面角A1BCC1的余弦值.

4．（2025·浙江·三模）如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的体积为133，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，

BC2AD2CD6，A1D11，CC1平面ABCD，且BD与AC相交于点E.

(1)证明：BDC1D；

(2)求平面AC1E与平面DC1E的夹角的余弦值.

5．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P为BD1上的点，AA12AD.

(1)若APBD1，证明：CPBD1；

(2)若AP//平面A1C1D，求二面角PABC的正切值.

题型06垂面法求二面角

解｜题｜策｜略

垂面法:若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与，的交线即可。若题目中有与棱垂直的

直线，如图如果与棱垂直，则�可以构造出与棱垂直的平面，�即�可求出二面角的平面角。�

����

1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，ADC120,AB2CD4，点E为AB的

中点，现将该梯形中的BEC沿线段EC折起，形成四棱锥BAECD，且直线AE与平面ABD所成角的正

3

弦值为.

4

(1)在四棱锥BAECD中，求证：ADBD；

(2)求点C到平面ABD的距离；

(3)求二面角BCEA的大小.

2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABFE是平行四边形，DF//BC，

BCBF2DF22，BAC90，ABAC，E在底面ABC的射影为BC的中点O．

(1)证明：ED平面EBC；

(2)求二面角EBDF的平面角的余弦值．

3．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长均相等，D是AC的中点，D在上底面

A1B1C1的投影为△A1B1C1的重心O．

(1)证明：ACBO；

(2)求平面ABC与平面A1ACC1的夹角的正弦值．

4．（2025·河南·模拟预测）如图，在正三棱锥PABC中，PA2AB，D为BC的中点.

(1)求证：PABC；

(2)求二面角BAPD的余弦值.

题型07射影面积法求二面角

解｜题｜策｜略

射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角

'''

S

大小为，则co=�△����△�����

△�'�'�'

射影面积�法跟补s形�法�都△��适�用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，

可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。

1．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱ABCABC底面边长为2，高为6，点D,E,F分别在棱

'''

上，且BE2EB,CF2FC，若平面DEF恰好将正三棱柱ABCABC体积均分，则平面DEF和��平,面��A,B�C�

夹角的余弦值为（）

2356

A．B．C．D．

2344

2．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形ABCD中，AD//BC，ABADDC2，BC4，沿对角线AC将△DAC

翻折形成三棱锥PABC（点D翻折到点P的位置），点E、F分别为棱AC，BC的中点.

(1)证明：AC平面PEF；

(2)当直线AB与直线PE成60角时，求四棱锥PABFE的体积；

(3)在翻折过程中求平面PAB与平面PEF夹角余弦值的取值范围.

3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，

ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

(1)求证：GF//平面ADE；

(2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角AlB的余弦值．

4．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA13,AB2,D为BC的中点，点E在棱BB1

上，BE2EB1.

(1)证明：C1E平面ADE；

(2)求平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值.

5．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,DAB90，F为CD的中点，点E

在AB上，EF//AD，AB3AD,CD2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得面EFDA与

面EFCB所成的二面角为60．

(1)证明：AB//平面CDF；

(2)求面BCD与面EFDA所成的二面角的正弦值．

题型08补形法求二面角

解｜题｜策｜略

补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线

（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。

1．（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周

上的点，ABCD为圆台的轴截面且AQ2CP2，则（）

A．PQ为母线

B．PQPB

C．AQPQ

D．平面PBQ与平面ABCD的夹角等于30°

2．（2025·四川宜宾·三模）如图，三棱台ABCA1B1C1中，CC1平面ABC,ABBC1,ABBC2,B1C11,D，

E分别是棱AC,BC的中点.

(1)证明：平面ABB1A1平面BCC1B1；

10

(2)已知三棱台ABCA1B1C1的体积大于2，且直线BC1与平面DEC1所成的角的正弦值为，求平面DEC1

10

与平面A1B1E所成角的余弦值.

3．（2025·河北张家口·三模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16，且D，E满足B1DDC1，

A1E3EC1，过A，D，E三点的平面与棱BB1交于点F，若B1FB1B.

(1)求的值；

(2)求异面直线AF与CE所成角的余弦值；

(3)求平面与平面BCC1B1夹角的正切值.

4．（2025·广东佛山·二模）如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体ABCDA1C1D1，

E是BC1的中点.过点C，E，D1的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；

(2)求平面与平面A1BC1的夹角的余弦值.

题型9线面角与二面角综合

解｜题｜策｜略

线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过

这个给出其中一个，求另外一个。

1．（多选）（2025·全国·模拟预测）如图，平面四边形ABCD满足ABACBC2DC2DA2，BD与

AC交于点O，若将ACD沿AC翻折，得到三棱锥DABC，已知二面角DACB的平面角为，直线

AD与平面ABC所成的角为，DAC，则下列说法正确的是（）

A．在翻折过程中，AC与BD始终垂直

B．在翻折过程中，sinsinsin始终成立

C．在翻折过程中，的最大值为

4

D．当平面CAD平面BAD，则三棱锥DABC为正三棱锥

2．（多选）（2025·上海虹口·一模）如图，已知点A,B,C,D在表面积为12π的球O的球面上，且OBD，

π

OA平面BCD，点E为BC中点，当二面角ABCD的大小为时，则有（）

3

π

A．异面直线AE和CD所成角的大小为

6

π

B．直线EA与平面ABD所成角的大小为

6

2

C．sin2ABE

3

D．BED的面积为2

3．（多选）（2025·广东广州·模拟预测）如图，在三棱锥OABC中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，且

OAOBOC3，P为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面的距离分别为d1，d2，d3，

直线OP和三条侧棱所成的角分别为1，2，3，直线OP和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则（）

33

A．该三棱锥的外接球半径为B．sin21sin22sin231

2

222222

C．sinsinsin1D．当d1d2d35时，P点的轨迹长度为2π

4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，B1BC为等腰三角形，

且BC为底边，D为BC的中点，BD1，平面BB1C1C平面ABC.

(1)证明：A1B∥平面ADC1；

30

(2)若直线A1B与平面ABC所成角的正弦值为，求平面ABB1A1与平面ABC的夹角的余弦值.

10

5．（2025·广西柳州·三模）如图，已知四棱锥PABCD中，顶点P在底面ABCD上的射影H落在线段AC

上（不含端点），AD∥BC，ABAD，AB2，BC2AD22.

(1)求证：BD平面PAC；

tan

(2)若二面角ABCP的大小为，直线PC与平面ABCD所成角为，求的值.

tan

题型10线面角、二面角与圆锥曲线

解｜题｜策｜略

线面角、二面角与圆锥曲线结合时，属于综合性较强的创新题或压轴题。利用圆锥曲线的定义来判断动

点轨迹，根据轨迹来求线面角、二面角。

1．（多选）（2025·山东济南·模拟预测）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，点P0在

底面ABCD内（包含边界），且直线PP0底面ABCD，记直线PA与底面ABCD所成角为，PB与底面ABCD

所成角为，二面角P-CD-A的平面角为，则（）

A．若，则P0在AB的垂直平分线上

π

B．若tan2tan，则P0的轨迹长度为

2

C．若，则P0的轨迹为抛物线的一部分

23

D．若，则当P0CD与P0AD面积之比为时，|P0A|2

3

2．（2025·上海·三模）已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2,BC22,AA13,P为矩形A1B1C1D1内一

动点，设二面角PADC为，直线PB与平面ABCD所成的角为，若，则三棱锥PA1BC1体积的

最小值是.

3．（2025·广东·模拟预测）在三棱锥PABC中，PB2AC,PAPC4，直线PB与平面PAC所成的角

π

为，则三棱锥PABC体积的最大值为.

3

、、、

4．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线l1l2，点ABl1,CDl2，且AB4,CD1，

若DADB，且ACBC2，则二面角DABC平面角的余弦值最小为.

5．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）在三棱锥PABC中，AB26，PC1，PAPB6，CACB4，

且PCAB，则（）

A．点P的轨迹为椭圆

6

B．当平面ABC固定时，点C的轨迹对应曲线的离心率为

2

C．当二面角PABC为60时，PAB的面积与ABC的面积之和有最大值26

6

D．二面角PABC的余弦值的最小值为

5

（建议用时：30分钟）

1．（2025·广东·模拟预测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为棱AD,A1B1的中点，则异面直线EF与

BD1的夹角为（）

ππππ

A．B．C．D．

2346

2．（2025·江西宜春·一模）如图，直线l1，l2，l3相互平行，且两两之间的距离为1，平面ABC∥平面A1B1C1，

π

且平面ABC与平面A1B1C1之间的距离为3，直线l1与平面ABC所成的角为，则三棱柱ABCA1B1C1的体积

3

为（）

33

A．B．C．3D．23

22

3．（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1D上的动点，则直线PC1与B1C

所成角的取值范围是（）

ππππππππ

A．,B．,C．,D．,

63426232

4．（多选）（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱ABCA1B1C1中，点E为棱BB1的中点，点F为棱AA1的

中点，则下列说法正确的是（）

A．A1E//平面C1BF

B．若ABAA1，则A1EAC1

8

C．若AA12AB，则直线A1E与C1F所成角的余弦值为

17

π

D．若ABAA1，则平面C1EF与平面ABC的夹角为

6

5．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是其表面上一点，且

AP与BB1所成的角为，下列说法正确的是（）

A．若P是CC1的中点，则tan22

B．若P在线段C1D1上，则tan[1,2]