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2023年蚌埠二中自主招生数学素质测试（满分120分，时间120分钟）一、选择题（每题5分，共30分）已知sin⁡80∘<cos⁡A<sin⁡80∘，则锐角A的取值范围是（）

A.实数x满足x2−4x+3≤0，且存在实数k，使k≤x2+4x恒成立，则k的取值范围是（）

A.k≤3B.k<3设x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若x12+x22+x1x2=代数式x2+4+(x−3)掷一枚质地均匀的正方体骰子，连续掷两次，点数之和是3的倍数的概率为（）

A.13B.14C.12D.计算2023×20222022−2022×20232023的值为（）

A.223300B.333300C.0D.433300

答案：C二、填空题（每题5分，共30分）多项式x3−4x分解因式的结果为\\\\\\\\。

点P(x,y)在第二象限，且y≤2x+6，x,y为整数，则点P的个数是\\\\\\\\。

答案：6已知⊙O半径为2，弦AB=23，AC=2，则∠BAC的度数是\\\\\\\\。

答案：15∘方程x2−3x−1=0的较大根为a，方程x2−4x+2=0的较小根为b，则a−b=\\\\\\\\已知a+1a=3，则a2+1a2的算术平方根是\\\\如图，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=1。将△ABC绕点B逆时针旋转，使点C落在AB延长线上的C′处，则AC边转过的阴影面积是\\\\答案：5π三、解答题（每题12分，共60分）表面涂红的正方体每条棱10等分，分割成小正方体。

（1）两面涂红的小正方体个数；

（2）任取一个，各面无色的概率；

（3）棱n等分，只有一面涂红的个数。解答：

（1）两面涂红：12×(10−2)=96个；

（2）无色：(10−2)3=512个，总个数1000，概率5121000=已知x,y满足{x2+解答：

由x+y=7得(x+y)2=49，即x2+2xy+y2=49如图，△ABC中，D是BC中点，E是AC上一点，AD交BE于F，且AF:FD=2:1，求AE:EC。解答：

过D作DG∥BE交AC于G，D为BC中点，则G为EC中点，EG=GC。

AF:FD=2:1，则AE:EG=2:1，故AE:EC=2:2=1:1。关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0。

（1）求证：方程总有实数根；

（2）若方程有两个整数根，求解答：

（1）判别式Δ=(m+2)2−8m=(m−2)2≥0，故方程总有实根；

（2）因式分解得(x−2)(x−m)=0，根为x1某商店购进一批单价为20元的日用品，售价x元（x≥20），销量y件，y与x满足y=−10x+500。

（1）求利润w与x的函数关系式；

（2）售价定为多少时，利润最大？最大利润是

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