小波分析的理解

小波变换是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信

号的方法。小波由一族小波基函数

构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）

域的局部特性。采纳小波分析最大优点

是可对信号进行实施局部分析，可在随意的时间或空

间域中分析信号。小波分析具有发觉其

他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表

现结构特性的信息，而这些特性对机械

故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。如何选择小

波基函数目前还没有一个理论标准，常

用的小波函数有Haar、Daubechies（dbN）>Morlet^

MeryeSymlet、Coif1et>Biorthogonal小波等15

种。但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数

供应了依据。小波变换后的系数比较大，就表明白小

波和信号的波形相像程度较大；反之则比较小。另

外还要依据信号处理的目的来确定尺度的大小。假如

小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较

大的尺度；反映信号细微环节的变换则选用尺度不大

的小波。由于小波函数家族成员较多，进行

小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。

依据实际运用的阅历，Morlet小波应用领域较

广，可以用于信号表示和分类、图像识别

特征提取；墨西哥草帽小波用于系统识别；样条小波

用于材料探伤；Shannon正交基用于差

分方程求解。

现在对小波分解层数及尺度的关系作如下说明：

是不是小波以一个尺度分解一次就是小波进行一层的分

解？

比如:[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中,N为尺度，若

为1,就是进行单尺度分解，也就是分解一层。但是

W=CWT(X,[2:2:128]/wname','plot')的分解尺度又是从2-128以2

为步进的，这里的“分解尺度”跟上面那个“尺度”的意思一样吗？

[C,L]=wavedec(X,N,'wname')中的N为分解层数，不是

尺度,’以wname'是DB小波为例，如DB4,4为消逝矩,则一般滤波器

长度为8,阶数为7.

wavedec针对于离散,CWT是连续的。

多尺度又是怎么理解的呢？

多尺度的理解：如将0-pi定义为空间V0,经过一

级分解之后V0被分成0-pi/2的低频子空间VI和pi/2-pi的高频子

空间W1,然后始终分下去....得到VJ+WJ+....W2+W1.因

为VJ和WJ是正交的空间，且各K子空间也是相互正交的.所以分

解得到了是相互不包含的多个频域区间，这就是多分辩率分析，即多

尺度分析.

当然多辨别率分析是有严格数学定义的,但完全可以从数字滤

波器角度理解它.当然,你的泛函学的不错,也可以从函数空间角度理

解.

是不是说分解到W3、W2、町、V3就是三尺度分解？

简洁的说尺度就是频率，不过是反比的关系.确定尺

度关键还要考虑你要分析信号的采样频率大小，因为依据采样频率大

小才能确定你的分析频率是多少.（采样定理）.然后再确定你究竟分

多少层.

假如我这有一个10hz和50hz的正弦混合信号，采样

频率是500hz,是不是就可以推断出lOhz和50hz各自对应的尺度了

呢？我的意思是，是不是有一个频率和尺度的换算公式？

实际频率=小波中心频率义采样频率/尺度

在小波分解中，若将信号中的最高频率成分看作

是1,则各层小波小波分解便是带通或低通滤波器，且各层所占的详

细频带为（三层分解）al:0~0.5dl:0.5~1;a2:0~0.25d2:0.25飞.5;

a3:0^0.125;d3:0.125^0.25

可以这样理解吗？假如我要得到频率为0.125〜0.25的信号信息，是

不是干脆对d3的分解系数干脆重构之后就是时域信息了？这样感觉

把多层分解纯粹当作滤波器来用了，又怎么是多辨别分析？？怎样把

时频信息同时表达出来？？

这个问题特别好，我刚起先的时候也是被这个问题困

惑住了，咱们的确是把它当成了滤波器来用了，也就是说我们只看重

了小波分析的频域局部化的特性。但是很多人都忽视其时域局部化特

性，因为小波是变时频分析的方法，依据测不准原理假如带宽大，则

时窗宽度就要小。那么也就意味着假如我们要利用其时域局部化特性

就得在时宽小的分解层数下探讨，也就是低尺度下。这样我们就可以

更简洁看出信号在该段时间内的微小改变，但是就产生一个问题，这

一段的频率带很宽，频率局部化就体现不出来了。

对d3进行单支重构就可以得到0.125—0.25的信号

了，当然频域信息可能保存的比较好，

但假如小波基不是对称的话，其相位信息会失真。

小波变换主要也是用在高频特征提取上。

层数不是尺度，小波包分解中，N应当是层数，个人理

解对应尺度应当是，N

小波分解的尺度为a,分解层次为jo假如是连续小

波分解尺度即为ao离散小波分解尺度严格意义上来说为a=2」,在

很多书上就干脆将j称为尺度，因为一个j就对应者一个尺度a。其

实两者是统一的。

小波基：一般从线性相位，消逝矩，相像性，紧支撑等来选择。

Daubechies小波基的构造

%此程序实现构造小波基

%periodicwavelet.m

functionss=periodicwavelet;

clear;clc;

%globalMOMENT;%消逝矩阶数

%globalLEFT_SCALET;%尺度函数左支撑区间

%globalRTGHT_SCALET;%尺度函数右支撑区间

%globalLEFT_BASIS;%小波基函数左支撑区间

%globalRIGI1T_BASIS;%小波基函数右支撑区间

%globalMINISTER;%最小离漫步长

%globalLEVEL;%计算须要的层数(离散精度)

%globalMAX_LEVEL;%周期小波最大计算层数

[s2,h]=scale_integer;

[test,h]=scalet_stretch(s2,h);

wave_base=wavelet(test,h);

ss=periodicwave1etbasis(wavebase);

function[s2,h]=scaleinteger;

%本函数实现求解小波尺度函数离散整数点的值

%sacle_integer.m

M0MENT=10;%消逝矩阶数

LEFT_SCALET=O;%尺度函数左支撑区间

RIGI1T_SCALET=2*MOMENT-1;%尺度函数右支撑区间

LEFTBAS1S=1-MOMENT;%小波基函数左支撑区间

RIGHTBASIS二MOMENT;%小波基函数右支撑区间

MIN_STEP=1/512;%最小离漫步长

LEVEL=-log2(MIN_STEP);%计算须要的层数（离散精度）

MAX_LEVEL=8;%周期小波最大计算层数

h=wfilters('dblO','r');%滤波器系数

h=h*sqrt(2);%FI(T)=SQRT(2)*SUM(H(N)*FI(2T-N))

N=0:2*M0MENT-l;

fori=LEFT_SCALET+l:RIG1IT_SCALET-1

forrLEFTSCALET+1:RIGHTSCALET-1

k=2*i-j+l;

if(：k>=1&k<=RIGHT_SCALET+1)

a(i,j)=h(k);%矩阵系数矩阵

else

a(i,j)=0;

end

end

end

[s,w]=eig(a);%求特征向量，解的基

sl=s(:,1);

s2=[0;sl/sum(sl);0];%依据条件SUM(FI(T))=l,求解;

%本函数实现尺度函数经伸缩后的离散值

%scalet_stretch.in

function[s2,h]=scalet_stretch(s2,h);

M0MENT=10;%消逝矩阶数

LEFT_SCALET=O;%尺度函数左支撑区间

RIGHT_SCALET=2*M0MENT-1;%尺度函数右支撑区间

LEFT_BASIS=1-MOMENT;%小波基函数左支撑区间

RIGHTBASIS二MOMENT;%小波基函数右支撑区间

MINSTEP=1/512;%最小离漫步长

LEVEL=-log2(MIN_STEP);%计算须要的层数(离散精度)

MAX_LEVEL=8;%周期小波最大计算层数

forj=l:LEVEL%须要计算到尺度函数的层数

t=0;

fori=l:2:2*length(s2)-3%须要计算的离散点取值(0,1,

2,3->1/2,3/2,5/2)

t=t+l;

fi(t)=0;

forn=LEFT_SCALET:RIGHT_SCALET;%低通滤波器冲

击响应紧支撑推断

if

((i/2^(j-l)-n)>=LEFT_SCALET&(i/2^(j-l)-n)<=RIGHT_SCALET)%

小波尺度函数紧支撑推断

fi(t)=fi(t)+h(n+l)*s2(i-n*2"(j-l)+l)

；%反复应用双尺度方程求解

end

end

end

clears

nl=length(s2);

n2=length(fi);

fori=l:length(s2)+length(fi)%变换后的矩阵长度

if(mod(i,2)==1)

s(i)=s2((i+l)/2);%矩阵奇数下标为小波上一层

(0,1,2,3)离散值

else

s(i)=fi(i/2);%矩阵偶数下标为小波下一层

(1/2,3/2,5/2)(经过伸缩变换后)的离散值

end

end

s2=s;

end

%采纳双尺度方程求解小波基函数PSI(T)

%wavelet,m

functionwave_base=wavelet(test,h);

M0MENT=10;%消逝矩阶数

LEFT_SCALET=O;%尺度函数左支撑区间

RIGHT_SCALET=2*M0MENT-l;%尺度函数右支撑区间

LEFT_BASIS=1-MOMENT;%小波基函数左支撑区间

RIGI1T_BASIS二MOMENT;%小波基函数右支撑区间

M1N_STEP=1/512;%最小离漫步长

LEVEL=-log2(MIN_STEP);%计算须要的层数(离散精度)

MAX_LEVEL=8;%周期小波最大计算层数

1=0;

fort=LEFT_BASIS:MIN_STEP:RIGHT_BASIS;%小波基支撑长度

s=0;

forn=l-RIGHT_SCALET:1-LEFT_SCALET%g(n)取值范围

if((2*t-n)>=LEFT_SCALET&(2*t-n)<=RIG11T_SCALE

T)%尺度函数推断

s=s+h(l-n+l)*(T1(n)*test((2*t-n)/MIN_S

TEP+1);%计算随意精度的小波基函数值

end

end

i=i+l;

wavebase(i)=s;

end

一维数字滤波器filter。：

Y二filter(B,A,X)由传递函数模型向量B、A

描述的滤波器对向量X中的元素进行滤波，并将结果数据存放在向量

Y中。

[Y,Zf]=filter(B,A,X,Zi)给出了滤波器延时

的初始和终止条件Zf和Zi。

例子：

人体心电信号在测量过程中往往受到工业高频干

扰，所以必需经过低通滤波处理后，才能推断心脏功能的有用信息。

下面给出一实际心电图信号采样序列样本x(n),其中存在高频干扰。

在试验中以x(n)作为输入序列，滤除其中的干扰成分。

{x(n)}=

{-4,一2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,一6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-

38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,

-2,-4,8,12,12,10,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-2,

,-2,-2,-2,-2,0)

Matlab程序设计如下:

X=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-

4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,

12,12,10,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0];

figure;

plot(X);

xlabel('时间');

ylabel('幅值');

wp=40;ws=50;rpO.5;rs=40;Fs=200;

[N,Wn]=buttord(wp/(Fs/2),ws/(Fs/2),rp,rs);

[b,a]=butter(N,Wn);

figure;

[H,W]=freqz(b,a);

plot(W*Fs/(2*pi),abs(H));grid;

xlabel(J频率/Hz');

ylabel('幅值');

Y=filter(b,a,X);

figure

plot(Y)

xlabel(,时间');

ylabel(,幅值');

figure

psd(X,[],200);

figure

psd(Y,[],200);

end;

分析这段程序可知包括以下几部分：

(1)首先绘制原始数据的图形；

(2)设计-一个Butterworth低通滤波器并绘制出它的

幅频响应曲线；

(3)用设计的滤波器对原数据进行滤波；

(4)绘制滤波以后的数据图形；

(5)绘制原数据功率谱图形；

(6)绘制滤波以后数据功率谱图形。

滤波器的主要目的是依据设计者的目的，突出或抑制

一些频段。在本程序中，设计了一个低通滤波器，主要是抑制高频段

突出低频段；在心可图信号分析中，要滤除工业高频干扰，突出低频

部分.

有时某些信号简洁受到噪声污染，导致无法干脆辨别信号的发展趋

势。由于信号的发展趋势往往代表信号的低频部分，因此通过信

号的多尺度分解，在分解的低频系数中可以视察到信号的发展趋势。

由于噪声的污染，从原始信号x中无法视察信号的发展趋势。通过

进行五尺度的小波分解，在小波分解的低频系数重构中可以明显地看

到原始信号的发展趋势。这是因为信号的发展趋势往往是信号的低频

成分，在小波变换中对应着最大尺度小波变换的低频系数。此外还可

以在低频中理解它，在进行低频成分的尺度分解时，随着分解层数的

增加，它所含的高频成分会随之削减，因此随着尺度的增加，更多高

频的信号被滤掉，可以看到信号的发展趋势。

1.监测信号的自相像性

直观上讲，小波分解系数表示了信号及小波之间的“相

像指数”，假如相像程度越高，则相像指数越大。因此假如一个信号

的不同的尺度之间相像，则小波系数在不同的尺度上也应当相像。因

此可以通过小波分解检测信号的自相像性，即检测信号的分形特征。

实践表明，通过小波分解可以很好地探讨信号或图像的分形特征。

下面通过一个简洁的例子来说明小波分析在检测信号

自相像性中的应用，待检测的信号是经过反复迭代生成的信号，因此

具有自相像性。

程序代码如下：

loadvonkoch;

x=vonkoch;

subplot(211);

plot(x);

title('原始信号');

subplot(212);

%进行一维连续小波变换

f=cwt(x,[2:2:128],'coif3','plot,);

从图中可以看出分解后的小波系数在很多尺度上看上去都

特别相像。

2.信号的奇异性检测

信号的突变点和奇异点等不规则部分通常包含重要信

息。

一般信号的奇异性分为两种状况：（1）信号在某一时

刻其幅值发生突变，引起信号的非连续，这种类型的突变称为第一类

型的间断点；（2）信号在外观上很光滑，幅值没有发生突变，

但是信号的一阶微分有突变发生且一阶微分不连续，这种类型的突变

称为其次类型的间断点。

应用小波分析可以检测出信号中的突变点的位置、类

型以及改变的幅度。下面介绍小波分析在信号奇异性检测中的应用。

（1）第一类型间断点的检测

下面举例说明小波分析用于检测第一类型的间断点。

在本例中，信号的不连续是由于低频特征的正弦信号

在后半部分突然有高频特征的正弦信号加入，首先利用傅里叶变换分

析对信号在频域进行分析，发觉无检测突变点，接着利用小波分析进

行分析，结果证明它能够精确地检测出了信号幅值突变的位置，即高

频信号加入的时间点。

程序代码如下:

loadfreqbrk;

x=freqbrk;

%对信号进行傅里叶变换

f=fft(x,1024);

f=abs(f);

figure;

subplot(211);

plot(x);

subplot(212);

plot(f);

%运用db6小波进行6层分解

[c,l]=wavedec(x,6,'db6');

figure(2);

subplot(811);

plot(x);

ylabel('x');

%对分解的第六层低频系数进行重构

a=wrcoef('a',c,1,'db6',6);

subplot(812);

plot(a);

ylabel(*a6');

fori=l:6

9掰ffl睇6唇㈱1层倘靡份另地行重

构

d二wrcoef('d',c,1,'db6',7-i);

subplot(8,1,i+2);

plot(d);

ylabel(['d',num2str(7-i)]);

end

1002003004005006007008009001000

1002003004005006007008009001000

1002003004005006007008009001000

1002003004005006007008009001000

名

_o

51002003004005006007008009001000

Eo.ME

PUL

-O.5

O

51002003004005006007008009001000

NO.Ur

p-O.5t

O

51002003004005006007008009001000

WoQ.0

5

1002003004005006007008009001000

由图中可以看出，由于傅里叶变换不具有时间辨别

力，因此无法检测信号的间断点。而在小波分析的图中，在信号的小

波分解的第一层高频系数dl和其次层高频系数d2中，可以特别清晰

地视察到信号的不连续点，用dbl小波比用db6小波要好。

这个例子也表明小波分析在检测信号的奇异点时具有

傅里叶变换无法比拟的优越性，利用小波分析可以精确地检测出信号

的突变点。

在信号处理中，信号中通常都包含噪声，而噪声的存在

增加了辨别信号不连续点的难度。一般来说，假如信号小波分解的第

一层能够估计出噪声的大体位置，则信号的间断点就能够在小波分解

的更深层次上表现出来。

下面通过例子说明如何应用小波分析识别某一频率区间上的信号：

在本例中，运用小波分析一个由三个不同频率的正

弦信号叠加的信号，看是否能将这三个正弦信号区分开来，结果证明

小波分析可以很好地识别某一频率区间的信号。

程序代码如下：

loadsumsin;

x=sumsin;

figure;

subplot(611);

plot(x);

ylabel('x');

titleC原始信号以及各层近似信号')；

%运用db3小波进行5层分解

[c,l]=wavedec(x,5,'db3');

fori=l:5

砌螂睇5座㈱1g嬲投!(分另岫亍重

构

a=wrcoef(,a',c,1,'db3',6~i);

subplot(6,1,i+1);

plot(a);

ylabel(['a',num2str(6-i)]);

end

figure;

subplot(611)

plot(x);

ylabel(Jx')

fori=l:5

%对分解的第5层到第1层的高频系数进行重构

d=wrcoef('d',c,1,'db3',6-i);

subplot(6,1,i+1);

plot(d);

ylabel(_'d',num2str(6-i)]);

end

分析:

在本例中，该信号是由周期分别为200、20、2的信号

组成的，它们的采样周期均为1,为便利起见，在此分别称为低频、

中频和高频的正弦信号。从图中可以看出，低频、中频和高频信号分

别对应于分解的近似信号a4、细微环节信号d4以及细微环节信号dl。

MATLAB小波函数总结

2019-05-2309:04:16分类：matlab编程|字号订阅

函数含义*:

小波通用函数

Allnodes计算树结点

appcoef提取一维小波变换低频系数

appcoef2提取二维小波分解低频系数

bestlevt计算完整最佳小波包树

besttree计算最佳（优）树

*biorfilt双正交样条小波滤波器组

biorwavf双正交样条小波滤波器

*centfrq求小波中心频率

cgauwavfComplexGaussian小波

cmorwavfcoiflets小波滤波器

cwt一维连续小波变换

dbauxDaubechies小波滤波器计算

dbwavfDaubechies小波滤波

器dbwavf(W)W='dbN'N=l,2,3,...,50

ddencmp获得默认值阈值(软或硬)端标准

depo2ind将深度-位置结点形式转化成索引结点形式

detcoef提取一维小波变换高频系数

detcoef2提取二维小波分解高频系数

disp显示文本或矩阵

drawtree画小波包分解树(GUI)

dtree构造DTREE类

dwt单尺度一维离散小波变换

dwt2单尺度二维离散小波变换

dwtmode离散小波变换拓展模式

*dyaddown二元取样

*dyadup二元插值

entrupd更新小波包的牖值

fbspwavfB样条小波

gauswavfGaussian小波

get获得对象属性值

idwt单尺度一维离散小波逆变换

idwt2单尺度二维离散小波逆变换

ind2depo将索引结点形式转化成深度一位置结点形式

*intwave积分小波数

isnode推断结点是否存在

istnode推断结点是否是终结点并返回排列值

iswt一维逆SWT（StationaryWaveletTransform）变换

iswt2二维逆SWT变换

leavesDetermineterminalnodes

mexihat墨西哥帽小波

meyerMeyer小波

meyerauxMeyer小波协助函数

morletMorlet小波

nodease计算上溯结点

nodedesc计算下溯结点（子结点）

nodejoin重组结点

nodepar找寻父结点

nodespit分割（分解）结点

noleavesDeterminenonterminalnodes

ntnodeNumberofterminalnodes

ntreeConstructorfortheclassNTREE

*orthfilt正交小波滤波器组

plot绘制向量或矩阵的图形

*qmf镜像二次滤波器

rbiowavfReversebiorthogonalsplinewavelet

filters

read读取二进制数据

readtree读取小波包分解树

*sca]2frqScaletofrequency

set

shanwavfShannonwavelets

swt一维SNT(StationaryWaveletTransform)变换