山东省青岛市高三统一质量检测考试理科数学试卷

山东省青岛市高三统一质量检测考试理科数学试卷

1.若集合<={x0SX42,8={X|F>]},则()

A.曲]]$京隹册B.{x[x>0或x<T}

C.㈱%D.般—关

2.已知向量G=(-L2),办=(3.M),/WR,则“冽=Y”是“£©-B)”的

()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重

量的中位数为()

A.11B.11.5C.12D.125

4.双曲线工-二=1的渐近线方程为()

45

A+4R,7?

A.y=±-xB.y=z—xCr.j=±—x1n).)=二一

5.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（)

A.5B.7C.9D.11

6.函数令图象的一条对称轴方程可以为（）

■

“X3

A.x=-B.x=—C.x——kD.x-

434

7.过点尸（1,小）作圆。F+.iJi的两条切线，切点分别为4和a,则弦长

AB\=（）

A.邪B.2&0D.4

[x>0

8.已知实数工）满足约束条件则卬=竺1的最小值是（）

[”0"

A.-2B.2C.-1D.1

9.由曲线个=1,直线）=x.x=3所围成封闭的平面图形的面积

为（）

A.—B.4—In3C.4+la3D.2-In3

9

10.在实数集R中定义一种运算""'，对任意ab；R,为唯一确定的实

数，且具有性质：

(1)对任意AWR,4*»0=4；

(2)对任意ab^R,a・b=ab+(a*O)+(b*O).

关于函数/(x)=(d)*l的性质，有如下说法：①函数/(«)的最小值为3；

②函数.八」，为偶函数；③函数fr的单调递增区间为

其中所有正确说法的个数为()

A.0B.1C.2D.3

11.已知"H=(a3eR),其中i为虚数单位，则

i

q_b=.

12.己知随机变量;服从正态分布\(01)，若，超省〉》=词，。为常数，则

第-1<C1期=.

13.二项式展开式中的常数项为

x.-------------------------------------

14.如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积

为.

2・2.

r2

।-x♦x1

15.已知函数/CO-iog*，,或JW?：•一同#卜・q，若对任意的

XpX；€R,都有演瑞工前啮成立,则实数4的取值范围

为

(1)求数列mj、gj的通项公式；

⑵证明：(31】尸：之〃汇T(>TeN*).

20.已知椭圆G的中心为原点。，离心率g=g,其一个焦点在抛物线C：:

/二2后的准线上，若抛物线A与直线X-J+0=0相切.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)当点0(%))在椭圆C］上运动时,设动点尸(，-a〃7)的运动轨迹为

c：.若点r满足：方=立？-疝7上声，其中,楂.V是G上的点，直线

0T/与。\的斜率之积为一：,试说明：是否存在两个定点月.月，使得

Av

|叫|-|下I为定值？若存在，求4月的坐标；若不存在，说明理由.

21.已知函数圾城二；曾卧煞,函数g(x)的导函数g'(x)=/,且冢0)g'(D=e,

其中6为自然对数的底数.

(1)求/(X)的极值；

-I**-*L上)

(2)若三七出泮飞，使得不等式不：如‘j■二.成立,试求实数”:的取值

范围；

(3)当4=0时，对于蜘e瞧雅罐,求证：/(x)<^(x)-2.

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

参考答案

1.C

[※解析※]

试题分析：因为岁二:引右心;二:川或流我,

所以<03=R选C.

考点：集合的运算,简单不等式的解法.

2.A

[※解析※]

试题分析：由已知，您三审公先畸.若用=-6,贝I」遇十多：=：）.-今,

二/三；？$万戈立;

若闻盛力济，则三=々^小第=t窗，

所以“，-6”是"津微储:，”的充要条件，选

考点：平面向量的平行，充要条件.

3.C

[※解析※]

试题分析：中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴

的直线横坐标.

设中位数为。，则工=。将频率分布直方图分成两个面积相等部分，则有

030虱m一二败对艰二刚5,所以。二12.

考点：频率分布直方图，中位数.

4.B

[※解析※]

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

试题分析：由工-5=1得『=4»二=5,所以渐近线方程为）=二冬,故

■

选B.

考点：双曲线的几何性质.

5.C

[※解析※]

试题分析：ST,满足SCO,执行循环体；5=3,k=3,

满足S<20；5=9,k=4,

满足S<20,5=19,—

满足S<20,S=33,k=9,

不满足5<”，退出循环，输出£=9.

故选C.

考点：算法与程序框图

6.D

[※解析※]

试题分析：化简）=23『（“+令，可得）二1-8S（2X+T）=1-COS2X,函数

的对称轴为七•二枭7这4,即加三N,当左=2时，x=7,

故选D.

考点：三角函数的倍半公式，三角函数的图像和性质.

7.A

[※解析※]

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

试题分析：如图所示

VPA.用分别为圆。F+J=l的切线,

P0邪),<X0,0),==

XV0A=1,在R17PO中，麻际工业2,

・・・£公濯=鲍工，/..^|=2|AO|sin^AOP=^.

故选,L

考点：直线与圆的位置关系，勾股定理

8.D

[※解析※]

试题分析：画出可行域，如图所示.

”=二口表示可行域内的点(X/)与定点p(O,-l)连线的斜率,

x

观察图形可知PA的斜率最小为N—=l,故选Z).

0-1

考点：简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

9.B

[※解析※]

试题分析：如图所示,由曲线耳=1与直线的交点为(11).方法一：则

封闭的平面图形的面积为

g31欣［―(gx21；+lnx：)=■!-In3.

■X■■

方法二:

-怙3)-(；,P-In1)=4-In3.

10.c

[※解析※]

试题分析：由题意可知析(x)=.)・±="S*x」=〃4+l.

cede

所以由仁：畀口3故我磅2厘甚斐!，当且仅当工=0时“二”成

立，知①正确；

由/(-x)=57=/+二一】=〃力,故/(x)是偶函数，知②正确；

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

由尸（X）=（/+±4D'=/-3=^^，则/<x）>0,即户-1>0,故

S0・

x>0,③不正确.

综上知选C.

考点：函数的奇偶性，基本不等式，应用导数研究函数的单调性，新定义问

题.

11.1

[※解析※]

试题分析：因为竺々=所以=,由复数相等的充要条件得，

i

•9二二一1f

故"5=1.

考点：复数的四则运算，复数相等的充要条件.

[※解析※]

试题分析:由正态曲线的对称轴为，=0,因典豺魅二0,故

P；；<-1）=af

所以P（TW;W0）=2/=：-。，答案为!-C.

■■■

考点：正态分布

13.15

[※解析※]

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

试题分析：的展开式的通项工.】==(-l)C，5,

X-X*

令6-/二。.可得六二2,

则常数项为。=曰第靖=忍.

考点：二项式展开式的通项公式

14.4

[※解析※]

试题分析：观察三视图可知，该四棱锥底面为直角梯形，有一侧面垂直于底

面，儿何体高为2,几何体体积为:2-2=4,故答案为4.

32

考点：三视图，几何体的体积.

15.或左之；

[※解析※]

试题分析：对任意的七.±WR,都有胸哺'£或应*成立，即

f2

—X♦X.X&1।

/(x)=Wg(x)*.观察/(x)=」ogX.x>]的图象可知，当X=:时，函数

3

/(X)==；；

因为式')=x-i|+|x-l|^|x-^-(x-l)|^i-l|,

所以对%)普•-工

134

所以，k-lN：,解得左，:或kNj,

故答案为六或《2：.

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质.

16.⑴呜;⑵底他尸哈

[※解析※]

试题分析：⑴由Mos<cosCitanJianC-l=l可变形得到,

年傥邦£线*=-1,即cos5=g，根据0<3<工即得所求.

(2)分析已知条件，注意应用余弦定理得到士-,生袍」¥=敏，求得

解得本题，巧妙地利用“整体观”，简化了解题过程.

试题解析：(1)由28sdeosC(tanan。-1):1得：

2cosJcosC(Stn-BtnC-1)=1

cosJcosC

2分

/.2(sinAsinC-cosJco$C)=l

4分

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

CQ3B=-,又0<B«

■

二8=三

3

6分

(2)由余弦定理得：co“J—S

lac

(d+c):-lac-b*1

《

ac=j10分

:=-ocsinS

12分

考点：同角公式，两角和的三角函数，余弦定理的应用，三角形面积公式.

17.(1)—.

32

(2)X的分布列

二1*一

0

_13■23

P1

367218

12

9

X的期望£（*）■：.

[※解析※]

试题分析：（1）利用独立重复试验的概率计算公式；

（2）注意到X可能取值为。，134.利用独立重复试验的概率计算公式分别

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

计算

P(X-0)«(l-3i)xa-l1)x(l-A1)x(l-22)-±1;

31123112

4JJ

3112311213

*O-j)x0-T)X-X(1-9*(1-^-)x(1--)x(1--)x=-«—;

4323432i12

3ii2311231i7

A3、11A2、3、1A1、23、A1、127

J■J4)*T

，、八3、1123AL12

P{X=3,S(1--7)X-X-Xy-x(l--)x-Xy

31,・1、2311〃2、23

*-x-x(l--)x-*—x-x-x(l--1--;

43'2，3432'3,72

HP631121.

PX-4--x-x-x---;

432312

即得》的分布列，进一步应用期望的计算公式，即得所求.

解答本题，关键是概率的计算过程，综合应用事件的互斥、独立关系，避免

各种情况的遗漏.

试题解析：(1)设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件T,

则

A⑷-ci(A):x(i->点手

44432

4分

(2)由条件可知斤可能取值为QL23".

^-0)-(!-1)XQ-1)X0-1)X(1-1)--L;

31123112

^-l)--x(l-j)x(l-y)xa-i)-(l--)x|xo-l)xa-y)

*TJ■J/J/，

3ii231I231i7

&f・2).洛x(l-?xQ.；x(l-*xQ-滔

A3、11.2、3、1〃1、2,・3、〃1、127

*0-7)xrx-x(l--)*(l--)x-x(l--)x-*(l--)xa---)x-x---;

JTJ&，*T

〜八3、1123八1、12

P(X=3•»(1--)XjX-Xy*-X(l-y)X-Xy

31231142、23

-x-x(l--)xr-x.x.x(l..)--；

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

即1的分布列

X■

03

P13723

367218

12

10分

X的期望

£（y）=0x-L-lx--2xl-3x-12分

3672IS72124

考点：独立事件概率的计算，随机变量的分布列及数学期望.

18.（1）见解析；⑵一：.

[※解析※]

试题分析：（1）连接.4（?交8Z）于。点，得知。为＜（?的中点，连接0G

根据点G为尸。中点，利用三角形中位线定理，得出OGAF,进一步得

到

面BDG.

（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系

的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特

别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐

标系的条件.

试题解析：（1）连接交8Z）于。点，则。为的中点，连接OG

因为点G为尸。中点，所以OG为JUFC的中位线，

所以。GJF2分

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

丁工厂工面BUG,OGcz面3DG,

所以面3DG4分

(2)取JZ)中点M,BC的中点。，连接“。，则MQABEF,

所以J/QEE共面

作，稗，来除于尸，,邮岂假曰于X,则EVF产且EV="

,:AE=DE=BF=CF,AD=BC

AW£和A5CF全等，忠糕二题？

A£?3/和SFPQ全等，W一瞬=II

•：BF=CF,。为BC中点，，BC_FQ

又鸵;r烟梦，蹂仆脸二怏，/c一面，峭潞

，PF_BC,：.PF一面

ABCD6分

以P为原点，"为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则43J0),

B(-LLO),C(T-LO),设剧辘随,则靠二消.7卷;，森工(口总

・・・4F-CF，.•.看#=0n-3-l+川=0=方=2

设面.4F的法向量沏_=,%阳*

*哉，舜；=以7,当

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

由万=。=13再-为+24=0

令'=.二=.』=刚』力=%

[%而=0I%一)i+2zi=0

.,商=(021)

8分

设面CBF的法向量吟二也y用

及丁帆-:用:，盛=“—感：

In.BF-Q您-必+工=0“小

由二一n1•二；，令A兄='』=隔=1札谒=丹

[ft2BC=0{f=0-

“网=，巾：打：?：

10分

马•丐1_1

.*.COS<M1T与>=

W1I-由X书5

设二面角H-3F-C的平面角为巴

则

cos0=cos(^-<nt.n2>)=-cos>=--

12分

考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.

19.(1)生=3〃，A=>3i；(2)见解析.

[※解析※]

试题分析：(1)首先设等差数列的公差为d,由已知建立d的方程，求得

d=3,写出等差数列的通项公式；进一步确定等比数列的公比，求得等比

数列的通项公式.

(2)求得工=生也=3'-1,将不等式加以转化成

1-3

(3〃+朋-1)之«37-1),

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

即证：3；2上7.注意到这是与自然数有关的不等式证明问题，故考虑应用

数学归纳法.

很明显〃=1时，因此用数学归纳法证明：当”“时，

3，:>2^-1.

试题解析：(1)设等差数列的公差为d,因为j=(-l)”S1

所以a=-5：-S：-5：♦Sq-S/=330

则q+q+&+…+&：-=330

则10(3+d)-—10x92d=330

解得d=3,所以

期,=季4跖■:施=鬻4分

所以=a；=2",g=3

所以

i=2r1

6分

(2)由(1)知，*2(1-3-=3』

”1-3

要证(3>1)叽2加时，

只需证(3什1X3”-1)2小3^-1)

即证：

3,2什1

8分

当”=1时，

下面用数学归纳法证明：当叱二时，

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

（1）当”时，左边=9,右边=5,左）右，不等式成立

（2）假设忙二蹦，检穹，3m

则〃=六十1时，3一：=3乂于＞又比+1）=6*+3＞231尸1

一〃=上一1时不等式成立

根据（1）（2）可知：当*2时,3用＞2\+1

综上可知：3*22案对于〃成立

所以

（3/1+DH1之〃FTQ.]5WN*）

12分

考点：等差数列、等比数列的通项公式及具求和公式，数学归纳法.

20.（1）—=i

（2）存在两个定点E.K,且为椭圆三+二=1的两个焦点，使得

6030

I交1+1匹I为定值，其坐标为RQ亚,0）,月（质,0）.

[※解析※]

试题分析：（1）根据抛物线G：J=2px与直线/：x・j+g=0相切，联

立方程组并化简,°利用2°'求得P

的值，进一步可得C=JL

应用离心率求卜=工人=。、-=2,得解.

（2）设M（X2]）・.V（HJ：）,汽匕力,r（xj）,利用“代入法”求得G的

轨迹方程为：|.v:*2\:=12.

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

由方=市-恭37-声及见w%=妾=-<,确定的

演X：■

坐标关系,

导出小，，二二60,作出判断.

试题解析:

［二)="缶=0,

(1)由

x-1-rV-=0

;抛物线G：y:=2Px与直线卜：一）十丁=0相切,

、=4p：-SWp=0np=2。

2分

抛物线G的方程为：『=』？》，其准线方程为：工=-8，c=S

•••离心率”走

故椭圆的标准方程为

+=1.5分

⑵设“（甬J1）八・（七.心），P（匕丁）,TU负

“=§(23i)

X=2v-u

则……「

v=|(x♦『)

•・・当点。（〃4）在椭圆G上运动时，动点PC2v-u»〃-的运动轨迹C]

.苧”吗例.W♦比32

.G的轨迹方程为:

7分

由卞=示-2可•本得

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

(X，)=(马FF)+2(M'A(±.H)=(甬+2马以♦油.

设六公.船、分别为直线。口，。\的斜率，由题设条件知

=因此

七七.

*：+2'公=°，9分

闪为点入•「在林网一♦二上,

所以4+24=12拓+2«=12,

故/•>：=(4+4/7七七)♦).1：7匕7上.上,

=(M♦2>{)♦4(6♦2*)♦4(%七+2)6)=60+4(再［♦2)必).

所以x、L=60,从而可知：T点是椭圆上一二=1上的点,

^6030

存在两个定点几月，且为椭圆，/1的两个焦点，使得阳-阳为

定值，其坐标为

月(诉0),月诉0).

13分

考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的线性运

算.

21.(1)当4N0时，/(x)没有极值;

当4<0时•，/(x)存在极大值，且当X=-J时,

a

/(x)^=/(--)=ln(-l)-l.

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

（2）w＜3.

（3）见解析.

[※解析※]

试题分析：（1）首先确定函数的定义域为（0「工），求导数

＞6）.为确定函数的极值，应讨论的不同情况.

X

⑵首先求出gz二r,将问题转化成WFM*硼，使得如f7总4

成立，

引入法x）=x-cW+3,将问题可转化为：叫

利用导数求TX）二、?的最大值，得解.

⑶当4=0时，％十二加气，构造函数r（x）=g（x）-/（x）-2,即

R二4帆.*三，

应用导数研究函数的单调性、极值，得到

a力.诂=状。=/-＞y/2.25+彳-2=0.

■