山东省六校（泰安某中学、菏泽某中学、章丘四中、东营某中学、济宁某中学、聊城某中学、胜利某中学）高一6月“山东学情”联考数学试题（解析版）

2021-2021学年山东省六校〔泰安一中、荷泽一中、章丘四中、

东营一中、济宁一中、聊城一中、胜利一中〕高一6月“山

东学情"联考数学试题

一、单项选择题

1.设复数4，Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z,=2+/,那么44=

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

【答案】A

【详解】试题分析：由题意，得Z2=-2+i,那么"2=(2+i)(-2+i)=-5,应选A.

【解析】1、复数的运算；2、复数的几何意义.

2.目前正开展新冠疫苗接种，接种重点人群是年龄在18・59岁的健康人员.某单位300

名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种

情况，那么40岁以下年龄段应抽取()

A.6人B.9人C.15AD.20A

【答案】C

【分析】根据分层抽样思路，即可得40岁以下年龄段应抽取的人数.

【详解】根据题意可知，4。岁以下年龄段应抽取30x50%=15人.

应选：C.

3.向量。=(1,2)/=(-2,0),那么“在》上的投影向量坐标为()

A.(一2f,o)B.(2：,0)C.(-1,0)D.(1,0)

【答案】D

【分析】根据题意，先求a在。上的投影，在结合向最b的同向单位向量，即可得到a在

〃上的投影向量坐标.

【详解】根据题意，4在〃上的投影为：问cose=w=口=

a在方上的投影向量坐标为:-lxy=(l.0).

应选：D.

4.假设一个圆锥和一个圆柱的轴截面分别是边长为力的正三角形和边长为“正方形，

那么这两个旋转体的侧面积之比为()

A.1:3B.1:2C.百：4D.73:2

【答案】B

【分析】由圆锥和圆柱的轴截面形状，分别得到圆锥、圆柱的底面半径和母线长，根据

圆锥和圆柱的侧面积公式，即可求解.

【详解】圆锥轴截面是边长为〃，的正三角形，

所以圆锥的底面半径为母线长为加，

•>

侧面积£=乃£・〃?=今"乃，

圆柱的轴截面是边长为，"正方形，

所以圆柱的底面半径为母线长为〃?，

侧面积S=2TT--m=nrn:,

2"2

-51

所以3=3.

应选：B.

5.向量。4=(—3,1105=(1,—2boe=(x—6/+5),假设点A,B,C能构成三角形，那

么x的值不可以为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根据向量共线求得x=T,即可选出答案.

【详解】由题意:AB=(4,-3),BC=(x-7,x+7)»

假设点ABC三点共线，

那么4*+7)+3*-7)=0,解得工二一1,

所以x的值不可以为-1,

应选:B.

6.四棱锥尸-A8CO,底面ABC。为平行四边形，点。满足PC=3PQ,设四棱锥

?-44。。的体积为丫，那么三棱锥Q-尸以)的体积为()

VVVV

A.—B.—C.—D.—

4836

【答案】D

【分析】根据底面为平行四边形，可知对角线平分底面A8c。，三棱锥Q-AC。体积为

2

四棱锥体积的一半，再根据PC=3PQ得％_8a)=耳匕，，/>，进而得到答案.

Q

【详解】

四棱锥P-48CZ),底面A8CQ为平行四边形，那么匕_"m=2匕5m，

2

且PC=3PQ,那么=孑VP-BCD»

那么VQ_PBD=^P-BCD~VQ-BCD=§Vp-BCD=qVpTBCD,

即三棱锥Q-PB/)的体现为二.

0

应选：D

7.向量a力满足：淖＞=6U，W=1/=(VJ,T),那么［2〃一.二(J

A.0B.2C.2GD.石

【答案】B

【分析】根据条件，结合模长公式即可求解.

【详解】由八（百,-1），得忖=历?=2,

又因<〃,%>=60且同=1,

4-4xlx2xg+4=2.

所以卜。-0=yl4a-4ab+b=

应选：B.

8.如图，在长方体ABC。-AMG"中，AO=A4,=2,AB=4.E,M,N分别是棱

GR,/W,〃C的中点，假设点尸是平面6人。口内的动点，且满足尸石〃平面的WN,那

么线段小长度的最小值为（）

A.75B.>/6C.券D.2上

【答案】C

【分析】如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面的法向量,

利用向量法表示线面平行得出PE=（-x,2,2-2x）,结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】如图设立。一岁z空间坐标系，由题意可知:

D：复数Z[=-l+2i,z?=l-i,z3=3-2/,

它们对应的点分别是A,4,C,。为坐标原点，

假设OC=xOA+yOB{x-ye/?）,

有3=-x+y,-2=2x-.y,解得x=Ly=4,那么x+y=5,故O正确.

应选：BCD

10.以下说法正确的选项是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，那么

个体/"被抽到的概率是0.1;

B.一组数据L2,•'«,6,7的平均数为4,那么这组数据的方差是5；

C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23；

D.假设样本数据』,电，…，%的标准差为8,那么数据据占-1，…,2/-1的标准差

为16.

【答案】ACD

【分析】对于A,利用概率对于判断即可.对于B,根据平均数求得。的值，然后利用

方差公式求解即可.对于C,8个数据70百分为8x70%=5.6=6,从而求得第70百分位

数为第6个数.对于D,利用方差公式求解即可.

【详解】对于A,一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为以简单隧机

抽样力式从该总体中抽取•个容量为5的样本，那么指定的某个个体被抽到的概率为

呆4'故A正确•

对于B,数据1,2,6,7的平均数是4,«=4x5-l-2-6-7=4,这组

数据的方差是s2T（1-4『+（2-4）2+（4-4『+（6-4）2+（7-4）[=弓，故B错误.

对于C,8个数据70百分为8x70%=5.6a6,第7Q百分位数为第6个数为23,故C

正确.

对于D,依题意，D（xl=82,那么。（2x—1）=22XO（X）=162,故数据

2芮一1,2々-1….2%-1的标准差为16,D正确;

应选：ACD.

11.在空间中，，〃，〃是两条不同的直线，d#是两个不重合的平面，那么以下说法一定

正确的选项是（）

A.假设〃〃氏a〃⑸那么小//〃

B.假设。内的两条相交直线分别垂直于夕内的两条相交直线，那么?

C.假设那么存在〃u4使得〃?//〃

D.假设血〃是异面直线，加ua,二u尸,那么夕

【答案】CD

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，以及长方体的结构特征，逐项判定,

即可求解.

【详解】对于A中，假设，〃//a,〃〃仪。//万，那么，〃与〃平行、相交或异面，所以A

不正确；

对于B中，例如在长方体ABC。—ASGA中，如下图，可得ABJBC,纥CJAB,

此时平面中有两条相交直线分别垂直于平面ABC。内的两相交直线，

但平面AB。。//平面A8CO,所以B不正确：

对于C中，由。根据面面垂直的性质，可得在夕存在直线〃JLa,

又由所以〃?〃〃，所以C正确；

对于D中,假设〃?，〃是异面直线，〃?ua,〃u氏〃?//人〃/3,根据平面与平面平行的

判定定理，可得证得尸，所以D正确.

应选：CD.

12.分别是三角形AAC三内角A,8,C的对边，且满足

（a+c-A）（a+力+°）="出=>/5.那么以下说法正确的选项是（）

A.Z.B=-B.ZB=—

33

C.△ABC的面积最大，直为且D.△ABC的面积最大值为迪

44

【答案】BC

【分析】根据条件和余弦定理先求解出D",然后根据余弦定理以及根本不等式求解出而

的最大值，从而根据三角形面积公式求解出△ABC面积的最大值.

【详解】因为（a+c—3（。+8+。）=公，所以/+2"+/-从=ac,所以〃2=片+。2+4，

12TT

因为Z?2=/+。2一2accos8,所以cos8=-弓，所以B二=；

因为。=6,所以/+°2+4=3,所以为。+仇小3,所以讹W1,取等号时a=c=l,

所以Si=~~acsinB=—ac<—,

由BC244

应选；BC.

三、填空题

13.i是虚数单位，复数z=〃产(1+i)—血(2+3。-4(2+i),当实数〃?=时，z是纯虚

数.

【答案】-2

【分析】先根据题意，把复数化成z=a+〃i的形式，结合纯虚数实部为零虚部不为零，

即可求解.

【详解】根据题意，

得：z二〃/一2〃?一8+(〃广-3〃2—4»=(/〃+2)(〃?一4)+(加+1)(/〃-4)，，

+-4)=0

因z是纯虚数，故,/；♦八，即加=一2.

故答案为：-2.

14.为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60姓

从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m,由此可推断我国13岁男孩的平均身高为

【答案】

【分析】根据平均数的计算公式，准确计算，即可求释

【详解】根据平均数的计算公式，我国13岁男孩的平均身高为:

300x1.60+2(X)x1.50

=1.JO木.

300+200

故答案为：1.56%

15.正方形棱长为1,点P是边4。上的动点，尸于凡那么PE/C的

取值范围是

【答案】

【分析】根据题意，设/BCE=O,分别用0表示出|正|、|PC|,换元后转化为二次函

数值域问题即可求解.

【详解】根据题意，设N8CE=O且。£pf,

那么|CH=|Bqcos®=8se，附1=/加一犷卷

,ralodloz'l(1q)1COS*COS(

故PE•PC=PE\\PC\=------cos0-------=——；---------

'''(sin。)sin。sin"。sin/

设”注，那么/句0』，

sin。

「3'

故PE.PC=J―/+1，因所以PEPCc-J.

3

故答案为：-A.

A_

四、双空题

16.如图，平面四边形ABCD,/8=/。=90,NA=120,AB=AO=2,将AACD沿AC折

起到APAC的位置,此时二面角AC-2的大小为60,连接AP,那么三棱锥P-ABC

外接球的外表积为;三棱锥P-ABC的体积为.

【答案】16九石

【分析】根据题意，可知尸C、ABC都是以AC为斜边的直角三角形，故三棱锥

尸-A8C外接球的球心为AC中点，直径为AC,即可求出三棱锥P-A8C外接球的外

表积；结合题意求出点P到平面A8C的距离，即可得到三棱锥P-A8c的体积.

【详解】由NB=NO=9()，可知三棱锥P-ABC外接球的直径为AC,

AB

三棱锥Q-A8C外接球的半径pAC藏而，

22

故三棱锥P-ABC外接球的外表积S=4"、16不；

由题意得点0到直线AC的距离d=APsin60=G,

因二面角8-AC-尸的大小为60,

3

所以点。到平面48C的距离/?=dsin6()=q

故三棱锥P—ABC的体现V=gSAHCh=|x答叵xg=G.

故答案为：16»；JJ.

五、解答题

17.(1)关于X的实系数方程A?+尔+〃=0,假设I+"是方程+m+〃=0的一个

复数根，求出〃1,〃的值；

(2)zeC,z+3"3均为实数，且复数(z+,4)2在复平面内对应的点在第一象限，

3—1

求实数”的取值范围.

m=-2,/、

【答案】(1),(2)3,12)

【分析】(1)把1+"代入方程Y+心+〃=0即可求解；

(2)设z=x+W(x,y£R),计算出z+3i,9均为实数，即虚部为0,求出xj的值,

(Z+=72+6〃-/+18(〃-3)i,根据所在象限列不等式组得解•.

【详解】(1)由题得++\/2/)+w=-1+m+n+2y/2i+m\[li=0,

-1+小+〃=()\m=-2

2五+m应=0解叱=3

(2)设z=x+yi(x,ywR),•・z+3i=x+(y+3)i为实数，

.•.)，=—3-E=F=二"―3i)(3+i)—白［(3x+3)+(x—9»］为实数，,-.x=9,

J—1J—11U1U

.•.z=9-3f.v(z+^)2=81-(a-3)2+18(«-3);=724-6a-a2+l8(a-3)/,

•一•由得＜:::L＞°,解得3＜。＜12,即。的取值范围是(3,12).

【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法那么准确计算求

解.

18.为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部

职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛,现把50

名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据答复以下问题：

(1)求。的值；

(2)这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；

(3)试估计此样本数据的第90百分位数.

【答案】⑴。=0.020；(2)众数75,中位数76.7,平均成绩76.2；〔3)93.75.

【分析】(1)根据频率分布直方图面积之和为1,即可求出。的值；

(2)根据频率分布直方图，每一组的中间值代表该组的数据，即得到可这50名党员成绩

的众数、中位数及平均成绩；

⑶根据频率分布直方图，求频率在0.9时的分数，即为此样本数据的第90百分位数的

估计值.

【详解】(1)根据频率分布直方图得：(0.004+0.006+。+。.030+0.024+0.016)x10=1,

解得a=0.020.

⑵有众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为爸^=75,

0.004x10+0.006x10+0.020x10=0.3,

.•前三个小矩形的面积的和为0.3,而第四个小矩形的面积为：

0.030x10=0.3,0.3+0.3=0.6＞0.5,

•••中位数应位于［70,80)内,中位数=70+缺手xI()=写。76.7,

U・JJ

平均成绩为：45x(O.(X)4x10)+55x(O.(X)6x10)+65x(0.020x10)+75x(0.030x10)

+85x(0.024x10)+95x(0.016x10)=76.2.

(3)前5个小组的频率之和是(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024)xl0=0.84,

所以第90百分位数在笫五小组［90,100］内，为90+，^^'10=?=93.75.

19.a,b,c是一ABC中三内角4,B,。所对的边，设一ABC面积为S,一上一二巫,

b2+c2-44

a=2.

(1)求角A的值；

(2)假设aABC的面积为G，求&A8C的周长.

【答案】(1)A=j；(2)6.

【分析】(1)由三角形面积公式和余弦定理进行边角互化可得tan人=G,从而求出角A；

(2)由三角形的面积可解出从，=4,结合余弦定理可求出〃+c=4,从而求出周长.

【详解】(1)由—=立得45=/(〃+。2-4),乂。=2,

b+c-44

得2〃csinA=6(〃+c2-a2)=2\/5bccosA,

tanA=G，AG(0,<I/.=y.

(2)因为三角形ABC的面积为G，所以反x立=有，那么尻:4,

22

又4=2,A=p由余弦定理可得/=从+。2一2"854

BP4=Z?2+c2-=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,所以〃+c'=4,

因此二ABC的周长为a+/?+c=6.

20.如图，正三棱柱ABC-AAG，AB=2,AA=I,M为棱AC的中点.

(1)证明：AB//平面AMG;

(2)证明：平面•平面)。。画；

(3)求直线人4与平面AMC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；［2)证明见解析；(3)正.

2

【分析】⑴作AC的中点N,故要证A8//平面AMQ,只需证A8//MN即可；

(2)根据题意，要证平面AMG_L平面8CC£,只需证4WJ.平面BCC4即可；

(3)作PC1MC.交MG与点P,根据(2)易得直线AA与平面AMG所成角即为NCCJ,

再结合题意求出相应边长，即可求解直线AM与平面AMC所成角的正弦值.

【详解】(1)证明：如图，连接4。交AG于点N,那么的中点，

•/用是8C的中点，，MN〃AB,

MNu平面A"G，ABa平面AMG，/.AB//平面AMG.

(2)证明：lABC为正三角形，M为8C的中点，

；.AMLBC,CGJL平面八BC,..CC,±AM,

•・•CGu平面BCC,用，8Cu平面BCC,用且CC(HBC=C,

.•.AM_L平面8CC4，

AMu平面AMG，・•・平面平面BCCM.

(3八・平面AMG_L平面8。。圈，且交线为MG，

二在平面8CCM内，作CP_LMG，那么。?，平面八加0,

A'〃CC\,/.NCC/即为直线叫与平面AMQ所成角，

在心，MCC中，C,C=1,MC=ifiC=l,

sinNCC\M=sinZCC.P=#，

「•直线M与平面人MC1所成角的正弦值为它.

2

21.如图，四棱锥P-A8C。，平面AW_L平面ABC/),底面A8CD为直角梯形，

ZfiAD=90,CZ)//AB.CD=3AB=3AD=3,MAD为正三角形，区£G在线段

BC,CD,AP上,DF=2FC,BE=2EC,PG=2GA.

(1)证明：平面G8O〃平面PM；

(2)求锐二面角G-5D-4的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叁

5

【分析】(1)连接4/交B。于点〃，根据边长的比例相等和相似三角形的性质得出

EFHBD、GH//PF,进而有80〃平面PEF、GH"平面PEF,结合面面平行的证明

方法即可.

⑵过点G作GM1AD得GM±平面ABCD,在平面ABCD内作MN_LBD得BD1平面

MNG,进而得出NMNG即为所求角，再求出MN、GM即可.

【详解】(1)证明：尸=2"；3E=2EC,故,MCD中EF//BD

£Fu平面PERBDa平面PEF,.•.应?//平面PE"

431

连接4尸交8。于点”，由题意得且不K=二

ID2

.-.AH=-HF,又AG=、GP:.GHHPF

22

•・•尸产u平面PEF,GH<z平面PEF,:.GH11平面PEF

(36”匚平面68。，BOu平面G8O且G"B