初中数学概念总结

第一章实数

第二章

1.1实数的有关概念及实数的分类

知识要点

一、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有

的点与全体实数是一一对应关系。

［正整数、

整数零

有理数［负整数有限小数或无限循环小数

二、实数正分数

负分数

无限不循环小数

三、在数轴上，原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的数是互

为相反数。

四、两个互为相反数的和等于零；互为倒数的两个数的积等于1;零

没有倒数。

五、偶数一般用（为整数）来表示，奇数一般用来表示。

六、有理数都可以表示为（，为整数且，互质）的形式；任何

一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。

七、绝对值

a(a>0)

—a(a<0)

八、非负数像，，形式的数都表示非负数。

非负数性质①最小的非负数是0；②若几个非负数的和是0,则每

个非负数都是0。

九、近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似

数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止,

所有的数字都叫这个数的有效数字。

十.科学记数法把一个数记成的形式叫做科学记数法，其中，为整

数。

命题热点

本节是中考必考内容，在考点上有实数、相反数、绝对值、倒数、数轴、

近似数与有效数字、科学记数法等。在题型上多以填空、选择题出现，近

年则比较注重实际应用与创新能力方面的考查。

1.2实数的运算与实数的大小比较

知识要点

一、实数运算在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运

算，但是，除数不能为0,开偶次方时被开方数为非负数。其中加、减是一

级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算，同级运算从左到右

依次进行;无括号的不同级运算先算高级运算;有括号时，先算小括号，再

算中括号的，后算大括号的。

二、实数的大小比较三种比较方法：数轴比较法，将两实数分别表示在

数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示同一点则相等。差值比较法,

设，是任意两实数，则；；。商值比较法，设，是任意两正实数,

则；；。

命题热点

对本节知识的考查，多以填空、选择题和计算题等题型为主，近年

还出现了大量的以阅读理解与探索猜想为形式的新题型。命题者往往在易

错点设置陷阱，对学生的创新能力、自学能力有较高的要求，希望能引起

同学们的重视。

第二章代数式

2.1整式

知识要点

一、代数式的分类

,单项式

整式

有理式多项式

代数式

分式

无理式

二、同类项所含的字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同

类项，合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母的指数不变。

三、整式的运算

（1）整式的加减先去括号或添括号，再合并同类项。

（2）整式的乘除幕的运算性质①（，为整数，）；②（，

为整数，）；③（为整数且）；④（，为整数，）o

乘法公式（1）平方差：。（2）完全平方公式：。（3）立方和（差）：

四、代数式的值用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代

数式的值。

命题热点

中考中考查本节的内容主要有与整式相关的概念、整式的混合运算法则及

灵活运用三个乘法公式进行计算，在试卷中多以填空、选择及求值等题型

出现。

2.2因式分解

知识要点

一、因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式

的因式分解。

二、因式分解的基本方法（1）提取公因式法。（2）公式法。（3）

分组分解法。

三、因式分解的其它方法（1）配方法。（2）求根公式法。（3）换

元法。

四、因式分解常用的公式如下

(1)a1-b2=(Q+b)(Q-b)；

(2)/±2而+户=(々±。)2；

(3)a3±b3=(a±b)(a2+ab+b2)。

命题热点

考查内容涉及本节的主要有因式分解的意义及分解方法，每份试卷上都

有与因式分解相关的考题，但更多的是将因式分解作为一种方法在分式、

二次根式及其它方面进行变形、求值中的运用，因此，我们应掌握因式分

解及分解，更应掌握它在其它知识中的运用。

2.3分式

知识要点

一、分式如果中含有字母，式子叫做分式，分式中字母取值必

须使分母的值不为零。

二、分式的基本性质4=4辿4=生丝(加为不等于。的整

BBxMBB+M

式)。

三、分式的运算

(1)加减法：，；

(2)乘除法：，；

(3)乘方：(为正整数)；

(4)符号法则：。

四、约分根据分式的基本性质，把分式的分子和分母的公因式约去，叫

做约分。

五、通分根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别

相等的同分母的分式，叫做通分。

命题热点

本节内容中，分式的概念与基本性质、分式的运算法则、分式的计算与化

简求值是命题热点，也是重点。

2.4二次根式

知识要点

一、二次根式式子及520)叫做二次根式。

二、最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的

因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

三、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开

方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

四、二次根式的主要性质

(1)(V^)2=a(a>0)

___a(a>0)

(2)Ja，=\a=<O(a=0)

—a{a<0)

(3)y[ab=-4b>0,Z?>0)

(4)(bN0,a>0)

五、二次根式的运算

(1)因式的外移和内移，如果被开方数中有的因式能开得尽方，那么,

就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,

那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以

将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

(2)有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这

两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(3)二次根式的加减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并

同类二次根式。

（4）二次根式的乘除法二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所

得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。

（5）有理数的加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、乘法对加法

的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

命题热点

本节知识一直是中考的重点内容，涉及题型有填空、选择、计算、阅

读等，特别是二次根式及其性质，二次根式与整式、分式的混合运算。

第三章不等式（组）

知识要点

一、不等式的基本性质

（I）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等

号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不

变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改

变。

二、不等式（组）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不

等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出

它们的公共部分，就得到不等式组的解集。

三、设，那么：（1）不等式组的解集是；（2）不等式组的解集是；

（3）不等式组的解集是；（4）不等式组的解集是空集。

命题热点

中考试卷中，本节内容的考点主要有：不等式的基本性质，一元一次不等

式（组）的解法及在数轴上表示其解集，求不等式组的特殊解，与其它代

数的综合应用，简单的不等式应用题等。

第四章方程（组）

4.1整式方程

知识要点

一、等式和方程的有关概念，等式的基本性质。

二、一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同

类项和将未知数的系数化为1;

（2）方程的解有以下三种情况：①当时，方程有且仅有一个解；

②当时，方程无解；③当时，方程有无穷多个解。

三、一元二次方程的一般形式是，其解法主要有：直接开平方法、

配方法、因式分解法、公式法。

四、一元二次方程办之+云+°=0）的求根公式是

q2=一"4：一4竺（庐-4420）。

注意：求根公式成立的条件为（1）,（2）o

命题热点

中考对本节内容的考查重点在根的意义、一元一次方程及一元二次方程的

解法。主要题型有填空、选择，但主要都是考查学生的运算且难度不大。

4.2分式方程

知识要点

一、分式方程的概念。

二、解分式方程的基本思想方法是：

分式方程二"f整式方程

换兀

三、解分式方程产生增根的原因，验根的方法。

命题热点

各地中考中对本节知识的考查重点是分式方程的解法及增根问题，近年

还出现分式方程的根、一元二次方程根与系数的关系及实际应用题相结合

的新题型。

4.3方程组

知识要点

一、解二元（或三元）一次方程组的基本思路是消元，变二元（或三

元）为一元（或二元），常用的方法是加减消元法和代入消元法。

二、解二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”，基本要求有以

下两类：（1）方程组中有一个方程是一次方程的（第一型的二元二次方

程组），一般用代入法求解；（2）方程组中有一个方程可以分解成两个一

次方程的（第二型的二元二次方程组），可将原方程组化为两个简单的方

程组。

三、简单的二元分式方程组，一般用代入法或用换元法来解，并注意验根。

四、方程组的解的存在性问题，转化为方程的解的存在性问题来研究。

命题热点

本节考查重点是二元一次方程组、二元二次方程组的解的意义及解法，用

换元法解简单的分式、无理方程组也在中考试卷中时有出现，在题型上以

填空、选择为多见，少数出现在大题中，甚至是与其它知识的综合题中。

4.4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

知识要点

三、一、一元二次方程的根的判别式是o当时\方程有两个不

相等的实数根，；时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程没

有实数根，反之成立。

若一元二次方程的两根为，那么

三、以两数a,B为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2-（a+p）x4-ap=0o

四、注意：根与系数的关系成立的两个条件：（1）（2）o

五、根的定义：若是的两根，则，；反之，若，且，则是方程

的两个根。

命题热点

本节知识是初中数学的重点内容，作为中考的必考内容，是各地中考的热

门内容，主要题型有：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；（2）

求方程中字母系数的取值范围；（3）确定抛物线与轴的交点情况；（4）

验根、求根与确定根的符号；（5）求关于一元二次方程两根的代数式的值;

（6）求作新方程；（7）解特殊方程和方程组；（8）确定字母系数之间的

关系。另外本节知识与其它代数知识、几何知识的结合点与是各地中考的

考查对象。在填空、选择、计算、证明、阅读理解等题型中，随处可见本

节知识的身影。

4.5列方程（组）解应用题（1）

知识要点

一、列方程（组）解应用题的步骤：审、找、设、歹U、解、验、答。

二、行程问题等量关系：（1）;（2）相向而行的相遇问题：，相遇前

运动的时间相等或差=提前时间；（3）同向追及问题：同时不同地则快车

与慢车行程之差=原相距距离；同地不同时则慢车与快车时间之差=慢车

多用时间；（4）水流问题：顺速=静速+水速；逆速=静速一水速。

二、增长率等量关系：（1）增长率=增量：基础量，（2）为原来的量，

为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则。为下降率时，。

命题热点

中考试卷中关于本节内容的考查有填空题、选择题、解答题，与生活实际

紧密联系，取材于学生身边的行程问题，是近几年中考热点题之一。

4.6列方程解应用题（2）

知识要点

一、工程问题等量关系：；甲乙合作的工作效率=甲的工作效率十

乙的工作效率。注：（1）工作总量常看作“1”；（2）跣问题有时可当作

工程问题解。

二、浓度问题等量关系：溶质质量=溶液质量义浓度，溶液质量=溶

质质量+溶剂质量。

三、数字问题等量关系：

n位.数=。］xlO〃।+a?xlO〃x10〃4-+cin。

命题热点

中考时对本节知识的考查往往与经济建设、环境保护等日常生活中的问题

紧密联系在一起，有时也与其它学科及本学科中的几何等一起出现在试

卷中，很受命题者的青睐。

4.7列方程（组）解应用题（3）

知识要点

一、利率等量关系：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期

数。

二、利润等量关系：毛利润=售出价一进货价，利润=售出价一进货价一

其它费用。

三、注意关键词的意义：盈、亏、涨、收益.、赚、年利、月利、折扣等的

确切意义要理解准确。

命题热点

有关本节知识的考查，几乎每一份中考试卷都有涉及，内容包括纳

税、利润、利息等，题型多样，内容贴近生活实际，直击社会热点，是中考

的大热门考点之一。

第五章函数及其图象

5.1平面直角坐标系与函数的概念

知识要点

一、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征

坐标轴上点的坐标的特征：轴上的点，其纵坐标为0；轴上的点,

其横坐标为0；原点的坐标为。

二、各象限点的坐标的符号特征

第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：。

三、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

平行于X轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于），轴的直线上

任意两点的横坐标相同。

四、象限角平分线上的点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平

分线上的点的横、纵坐标互为相反数。

五、对称点的坐标特征

坐标系中关于轴的对称点坐标为，即横坐标相同，纵坐标互为

相反数；关于轴的对称点坐标为，即横坐标互为相反数，纵坐标相同;

关于原点的对称点坐标为，即横、纵坐标都分别互为相反数。

六、对函数概念的理解

理解函数概念时，应注意：（1）在某一变化过程中有两个变量与；

（2）变量的值随变量的值变化而变化；（3）对于的每一个值，都

有惟一的值与它对应。

七、函数自变量的取值范围

（1）整式函数，其自变量的取值范围是全体实数；（2）分式函数，其自变

量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）偶次根式表示的函数，其自变

量的取值范围是使被开方数为非负实数；（4）对实际问题，其自变量的取

值范围是必须使实际问题有意义。

命题热点

本节重点是直角坐标系的应用，函数的概念、自变量的取值范围及函数值,

在各地中考题中主要以填空、选择的形式出现，有时也在综合题中出现,

其中主要考查原点、坐标轴上的点、对称点、各象限内的点、两坐标轴夹

角平分线上点的坐标特征，自变量的取值范围、函数值及写出实际问题中

的函数关系式等，函数的列表、图象等表示方法也是热点之一，

5.2正比例函数与反比例函数的图象和性质

知识要点

一、正比例函数定义形如的函数叫做正比例函数，自变量的取值

范围是：全体实数。

二、正比例函数的图象是经过原点的一条直线。

三、正比例函数的性质：（1）时，随的增大而增大、图象是经

过第一、三象限的一条直线；（2）时，随的增人而减小，图象是经过

第二、四象限的一条直线。

四、反比例函数定义形如的函数叫做反比例函数，自变量的取值

范围是：。

五、反比例函数的图象是双曲线。

六、反比例函数的性质：（1）时，图象两分支分别在第一、三象限，在

每一个象限内，随的增大而减小；（2）时，图象两分支分别在第二、

四象限，在每一个象限内，随的增大而增大。

命题热点

正比例函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质内容在中考中常常出

现在填空、选择等低档题，而反比例函数有时也与一次函数一起出现在部

分中档题中，近年各地对反比例函数的考查力度有加大的趋势，

5.3一次函数的图象和性质

知识要点

一、一次函数的定义形如y=6+仅£6为常数，且4X0）

的函数叫做一次函数。

二、正比例函数是一次函数的特例。

三、一次函数y=kx^h的图象是一条经过点（一2,0）及点

k

（O,A）的一条直线。

四、一次函数图象性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增

大而减小。

命题热点

由于二次函数要求降低，一次函数就显得相当受宠，在中考中，一次函数

的概念，字母系数的条件，一次函数的解析式与图象，实际问题中一次函

数自变量的取值范围及图象，一次函数应用题，一次函数的性质等都是考

查的重点内容，也是热点，题型有填空、选择、解答题与综合应用，层出

不穷，花样年年翻新，特别是与儿何知识的综合应用，精题、巧题令人目

不暇接，一次函数应用题则更是高潮迭起，让人拍案叫绝。

5.4二次函数的图象性质

知识要点

一、二次函数的定义如果，那么叫做的二次函数。

二、二次函数的图象二次函数y=Q?+/+仁的图象是一条抛

物线。

三、二次函数的图象的性质

(1)抛物线的顶点是，对称轴是直线。

(2)当时，抛物线开口向上；时，，抛物线开口向下。

(3)当，时，有最小值；当，时，有最大值。

命题热点

本节内容是初中数学的一个十分重要的内容，从各地中考试题中对本节

考查的内容来看，涉及到二次函数的定义、图象及利用图象研究函数在某

一区域内的增减性等。从题型上看，既有选择题，又有填空题，也有解答

题，特别是二次函数的图象与其他知识的综合题，往往被作为压轴题。

5.5二次函数的解析式

知识要点

一、一般式，若已知抛物线上三点的坐标，把三点坐标值分别代

入一般式，得到关于的三元一次方程组，求也的值，得二次函数的解

析式。

二、顶点式，若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点坐标，将

这一点坐标代入上式，求出，即可写出二次函数的解析式。

三、交点式，若已知抛物线与轴两个交点的坐标和抛物线上另一

点坐标，将这一点坐标代入上式求出，即得二次函数的解析式。

命题热点

本节重点是求二次函数的解析式，在各地中考试题中，主要解答题的

形式出现，特别是与方程、几何等知识联系在一起的综合题更是热门题型,

并且其中很多题是以压轴题的身份出现在各地中考试卷中。

第六章统计初步

6.1中位数、众数与平均数

知识要点

一、总体与样本与样本容量

（1）总体指考查对象的全体。（2）样本指从总体中抽取的一部

分个体。（3）样本容量指样本中个体的数目。

二、平均数

（1）平均数如果有个数，那么叫做这个数的平均数。

（2）求平均数的常用方法

设所给出的几个数据，求它们的平均数。

①基本方法：。

②新数据法当数据较大时，选择一个与这些数比较接近的数，

令，先计算这