导数综合练习题

一、解答题(II)如系对于任意的中运［52］.都有马•/(.%)*(占)成立,试求实数a的取《［范阳.

1.(本小题总分值14分)Efift/(x)=1.^-24iln.v+(a-2)x,ae/?.

【存臬】(【)详见髀析；(H)［l.+oo).

(JJ当“一1时.求法效/(x)图象《：点(I,/。))处的切技方程；

［髀折］

试注分析：(1第一步，在定义域内求函数的导数.通分化简,第二步,根抠定义域，*>0.

(2)当时,讨论函数/("的单阳性:

毒数分“40和”>0柄大类情况进行讨论,根抠导数的正仇.分析成数的单调性：”1)根据条

【答案】(I)-lx+2y-3=0；

件的分析.假设要不等式恒成立.只需满足4(K)2g所以策・步•求南数月(6在给定区

(2)a=-2时.f(x)在(0.+8)上单调递增：-2<a<0时.f(x)在(0.-a).(2.4-~)

上单调迷墙，在(一,2)上单讽通战：a<-2时.f(x)在(0,2).(-a.+8)上单调速增，

间的生火值,利用导数；第二步，报据函数姓人值是1.所以我+xlnxZl,然后反解,得到

住(2.-a)上电调iiM.X

【解析】«>.r-A:b).v.第三步，利用0数求函数加x)=K-x”nK(x£［p2)的以大使.此处考查了

试S!分析।日于f'(x)-x-网+a-2=C+")(x>).(1)当。=1时.f'(x)

XX导数的综合应用，求年调区间.主要讨论参数的取位.但成立,转化为以俗问题.

=(x-2Kx»l)「U)=_2..然后再利用点斜式即可求出结果：(2)对a进行分类讨论.试题第折：(【)话数〃x)的定义域为(o.+8).r(N)=-*+!=史*.

X

分别忧”=-2；-2<a<0；a-2时论，然后再利用导数在求的效单调性中的应用,即可求出结果.

当时,由数〃x)在区间(0,m)上总调递增：

试虺解析：解：f'(x)=X-y+a-2=(r-2)^'*，ff)(x>0

当n〉0时.联田r>£7.那么/'(r)>C./(r)ffiiHW.

(1)当“=:时.f(x)=<V-~)IV+I1.f(1)=-2.

x

假设0<XV石.都么/'(x)<0.函数/XK)单调理战；

二所求的切桀方科为y-f(I)=-2(x-1).即4x+2y-3=0.

所以，函数/”)在区间(0.£；)上单调递威，在区间(怎.+0。)上单词递增.

(2)①当一a=2.即a=-2时.f'(x)=-20.f(<)在(0.+-)上单调递增.

x

(II)^,(x)=3xI-2.r=3x(x-j)..r€||,2j.

②当一a<2,W-2<a<0BLV0<x<-ax>2B|.f(x)>0i-a<x<2时，f'(x)<0.

f(x)在(0,-a),(2.+8)上单调递增.在(-a.2)上单件递减：可见.当工书.2mJ?'(A)SO.以外在区间।单色递增.

③当一8>2.即a<-2时,「(Exa或x〉一a时.f'(x)X)：

2<x<-a时,F(x)<0.f(x)在(0,2).(-a.+«)上小凫递增，在(2,-a)上单词出当xe快•时’8'(x}M8(x)在区可抬华调越%

综上a=-2时.f(x)在(0.+8)上单调递增.而吗)=-符〈以2)=1，所以，j?(x)在区间停21上的Ai大值是1,

一2。<0时，f(x)在(0.-3),(2.+8)上单词递增.在(一a,2)上单词道战

a〈一2时，f(x)在(0,2),(-a,+-)上单调递增，在(2,-a)上单调速破依魅意.只3?当xeR.2］时,恒成立.

有点：1.导致的几何意义：2.导数在肃数单调件中的应用.

2.(13分)货函数〃x)=^+lnx,g(x)=xi-x2-3.即幺+xlnx21恒成立.亦即“±x-x"n.r；

X

々Mr)=x-K“nK(xc［g,21),

(3讨论函数/(用的中调性;

那么M(x)=l-x-2xlnx.显然力'(1)=0.因此./(*)件(0.-2。)上遂双什(-2«.2)上遂增.

当时，l-x>0.WnxvO,/f(.v)>0.(2)当a>0比在(0,〃)上/(x)<0,在(a,+»)上f(x)>0

即Hx)在区间［，」)上单调递增：Wit.f(x)在(O.a)上递减.在(a+oo)上递增.

(II)由(I)珈avO时.

当xe(l,2］讨，1-xvO,xlnx>0./r'(x)<0,(1,2］上单调递减:

由/(x)>0和ln(-2<i)<0=>0<-2«<I

所以，当x=l时,函数Mx)取得最大值A(D=1,

当a>0时，(.(*)=/(a)=；</+«'-2a'\na=^a:-2«'Ina

故“21.尚实数a的取假酒用是［1.+8)

33-

考点।I,导数的综合应用；2.华阳区间的求法；3.很成立何冠；明利用导致求函数的最值.由/(灯>0用：标-2/lna>0n1nav；=>O〈ave”

3.(本小投总分值12分)：函数/(“*:/+皿-2/111*(。#0)

(1)求/(ij的单调区间.

考点：(1)利用导致耕究函数的总调性(2)导致在最大值、最小依何虺中的应用

(2)假设/(x)>0恒成立.求。的取伤乱田.

/•V

4,：本小20总分俏12分)mx-ahixim.*(N)N—•其均为或数・

e

【答案】5当“<0时(0.-2«)上递应在(-%.+x)上递增.当。>0时./")在(0.。)上

(I)求gCD的强值:

才减，在(a+00I:避增.

III)设，〃=】.。=0・

(2)“£鸟,0)4/)

求i£：对V.tj.占€(3.4](Xj.t,).|/(A\)-/(x()|急.急|皿

【解析】<1

试卷分析：(1)此典考察的是论数的单调区间何卷.利用求讲究即可.先求出函数的定义域.

(III)Via=2.我设对V给定的/€(0,<>］.在区同(0,e］I:总存在，“亿wrJ使得

从而粗抠函数的解析式，求出函数的H函数,分析B函数符号在不同区间上的取依，根抠》函数

符号与原两效的的调性之间的关系叩可求出所求区间.

/(/,)=f(i,)=g(x0)成立.求■的取值范田.

(2)此魅号察的是求号数的取值•他国.此题中假设/(.r)>0色匝文,那么/(.xj的蛾小值大于0,

【答案】(IJ极大值>1)=1.无极小值:

根据U)中结论,求出函数的最小值.代入构造关的不等式.解不等式即可行到a的队值范

IR.(II)证明见整析：

试胜籽忻：(I)f(x)的定义域为(0,+8)

【解析】

(1)当avO时,在(0,-2«)上/(x)<0.tt(-2a,-k»)±/(x)>0.

试阻分析：第一问根据必数的极值的定义,结合导致求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值.

没有极小低，也得说明没有极小KL第：向注意对式子的变形.结台函数的单词性,将绝对做的

符号去捶,杓造一个新函数，从而刈曲出函数的小词性,可以有导致的符号来决定,从而求得结那么由应点知/(用的极如山必在区同(O,e)内，即0V2ve

果，第三何R抠题盘，确定出函数的图像的走向以及函数册的取五，确定出两个函数的例域的关m

系.从而求得结果.

得m>：，USftf(.x)在J：，c)T

试心的析r(1)Vg(X)-1.J.g<A)--«，).；.(一8』)加(1，+9)，二gM极大曲

g⑴=1,无极小假;

由题意得g(x)在(o㈤上的色域包含于〃x)在上的色域

(II)vm=l.a=o.

・・•(/)内，

“(x)=xT在［女4］上是增函数

.•.含在［3,4］上是用函数

下面证，€(0,2］时./(/)>I.JRr=-J先证即证2e"-，”>0

ImJm

设34司<.»,<4,那么原不等式转化为/(工)-/(4)〈三--三-

以4)g(M)

令H(A)=2ef-x.，w(x)=-I>0•在内恒成立

即/⑻-3〈〃卬-3

f{e">N1.•.■/(£•")="ic"+m>mH-^—>\...m'£.—^—

再证"1-I

令h(x)=f(x)--^--x-e'-

1,考点।函St的相值，函数的电间性.恒成立时82.

g(x)

5.(木小双总分侬12分)函数/(x)=gx2-alnx+*(”€R)

即证％<x,,h(x2)<h(xl).即加x)在［3.4］J

(I)求函数/(x)取调区何；

=vO在［3,4］忸成立

III)假设a=-l.求证：当x>l时./(x)<|x\

即Ht)在［34］1,即所证不等式成立

【答粢】(I)服设。40时,『(X)的地调维区间为(0,+8)：机设。>0时./'(外的总司增区间

⑶由⑴得g(x)在(0.1)f.(l.e)Lg(K)g=g(l)・l

为(、石,+8),减区向为(0,6)：(II)详见解析.

所以,以次㈣

【醉折】

.2

又“r)=m-q当切40时，/⑶<“/⑶在(。，上,不符合题总试也分析.(I)■■先叨隔函数的定义城，螺七求出函数的号函数/'<.<)■*"-X-"<.v>0).

当，”>0时，姿市।,八使福/(/,)=/(G).破后恢。40'ja>0分别讨论/'(x)取值符号可得函数的单I用又间।

构造函数然后利用函数的杼数偷定函数在(上是

(II)F(x)=1.v-(^.r+Inx+*).l.-x)【答案】m2(H)，”>：,g(x)没有零货机,一个字怠，“<：有两个零点(III)|\+»'|

增函数.再注总到尸a)-L>o.从而所证不等式成立.

12【解析】

试延解析:U)/(X)的定义域为x>0试幽分析：(II首先求的函数的导致,通过.f(r)>0得到增区间.通过/'(MvO得到M区间.

、ax-a2,八、〜、a.v2-a局用单调性阳到函数的极小他一【I)将的数零点转化为g(；)=0的根.进而转化为求

/(x)■x—..-------(x>0)-/(x)=x--=-------

xxxx

Mx)=-[/+x的值域；(III)将不等式恒成立转化为函数/(X)=/(K)-K的不谢性，借助于

假设。40时,f'COAO但成立•即f(x)的单双区间为(O.XQ)

导致得到所求参数m不等式.通过咕数也依求得m的取位范阳

假设a>0ir-.令/'(x)>0,mx>&

试照斛析：(II/'⑴4子学…'显然

即八外的单调区间为(6.+8),1rt区间为(0.石)

证明3:

(2)।ttF(x)=|.r-(^x+Inx+-^)隹(O.e)内,f(x)v0.函数/(X)平调递乱花亿+»)内,，(；)>(),的数〃x)单调递增.

那么尸,(X)=2-7'=(XF2/+N)所以/(X)的极小值为/(e)-2.

XX

(

a*)在a+8)上为增函数.iiF(i)=-L>oII)/(*)=：-营-(,令g(x)=0,得〃，=_：/+'.

即F(x)>0在(l.+8).h恒成立设力(x)=-g.d+.r.那么〃'(x)=-/+l=-(x+l)(x-l),x>0.

।I2

二当x>l.-.r2+Inx+-<-xy

2123

品然在(0,1)内."(x)>0.A(x)单调递增：在(l,y)内,〃(x)vQA(x)单调递M.在做必)

考点：l.这数导数与单调性的关系：2.利用导数证明小号式.

内力(”的壮大值为力⑴=；,

6.(木小通总分值12分)设函数/("=1|1*+^，'”€幺.

(I)当m=e(e为自然对数的底数)时,求/(、)的板小ffi：2

：1)假设，”>：,方程※无好，即g(x)没仃号电；

(II)讨论西数g(x)=7'(x)-；零点的个数：

•)

(2)以设，”-,或mMO.方程※行唯一解,即£(X)行一个号.点，

(III)假设时任意>>。>0.，')-/(")<]恒成立.求加取值范田.

b-a(3)WKtO<m<1.方程※*两解，即身(x)有两个零口.

间与f{x}的正负变化及相应区间上的数的增裁怙况衣,从而海邛求得函改/(x)的极值：

(Ill)对任|恒成立,即/他

b-a

(II)按一2<«<0，。=-2和“v-2分类讨论/'(x)的正负取债情况从而求得函数/(x)的单

亦即3(.寸_〃刈一内在(0,+力)卜单调速双恒成立.

调性:

当(时，函数/(外在区间单词迷耳，从而可求得当时，

>(x)=lnx+%—x,二^r(.r)=-----r—I40在(O.+x>)上恒成立,(III)ill(II)S1“€-3.-2)[1.3]XG[1.3]

沿数f{x}的城大值以最小鱼.进而可将对任意的a€(-X-2),x„x,e[1.3]M书

即m>-x2tx在(0.+8)上恒成立.

(m+ln3)a-2in3>|/(^)-/(%,)|«tr..等价转化为：对任意的ae(-3,-2),但有

(/n+In3)。-2；n3>1+2a-(2-a)In3---6a

3

成立，别尚整劲e可求得n的取值苑用.

所以所取值也也是

试过解析：U)函数f(X)的定义域为(0.+8).

考点：1.9数与函数单而性及依；2.方程，函数,不等式的忖化；3.两数零点f(x)=~+i.令/'(x)=-±+4=0.

7.(木小电总分值13分)ffi»t/(.v)=(2-«)!nx+-+2ar.

xJSx.=l：.r,=-1(含去).……2分

22

(I)当a=2时.求用数/(X)的极位：

当x变化时，，(x)./(x)的取值情况如下।

(II)当。<0时，讨论的单阳性，

呜)£

X4皿)

(III)假设对任球的ae(f-2)，x，.qw[1.3]恒布(zn+ln3M-21n3>|fa)・/(xJ成立,求2

—0+

文数，”的取111范围.r(M

【答案】(I)沿数f(幻的极小tf(为/(m=4.无极大值：(II)当。=-2时,函数f(x)的在

/(x)极小值地

定义域(0.+。)中调迤增；当-2v“v0时，在区何(0.，),(-L+8)上/Xx)中调遂战，在区间所以.函数的极小值为八；)=4,无极大值.

2a

d，-3上F(X)单调递增：当。<-2时,在区间(0.-L).(L+8)上/'(用单调通送.在区间ci】12-a1与(2.t-lXav4-l)

(II)/(x)«-----------------------------；-------,

2aa2xkk

(--.1).上〃x)单调速培.令r(x)=o,行为=:，=---•

2a

(III)(-oc.-1j.

当a=-2时・/(工)20・函数〃制的在定义城(0・+8)总调递增：

【蟀析】当一2vav0时,在区间(0」).(-l.+x>),h/,(.t)<0./(x)单调递M.

试时分析：(IJ当。=2时.求出r(x).令/'(x)=0求得对侬的X的值.想后列Hix的取侦区2a

在区间±/'(A)>0,"X)小谡递增；增,在(-。,2)上单调递减：③当“<-2时.因为0vxv2或x>-“时./(x)>0：当2vxv-a

2a

当。式一2时,在区间(0,・g).(1.+x),l.f(x)<0,/(x)单调速时,

/(.0<0,/□)在(0.2).(-“,**)_£单调递增.在(2.-“)_L华明送球.(3)“的取值范用为

在区间(-•!■=).±/'(x)>0.〃x)埴调递1配

a2

(f

(III)由(I)知当。e(-3,-2)时.函数f(x)在区叫1.3］单调速战：

【解析】

试飕分析：(1)直接由导数的几何意义即可求出所求的切线方程：(2)分三类情况进行讨论：①

所以，当*［1.3］时，/U)„,=/(1)=l+2tf.

当a=-2时：

向胜等价于：

②当-2va<。时：③当av-2时.分别判断其导函效与0的人小关系.进而判断的数f(x)在

对任愆的ae(-3,-2).恒有〃”+In3)a-21n3>1+2。-(2-a)In3-：-6”

(0,+a))±

成立，

的制调性即可：(3)假设存在这样的实效〃•滴足条件,构造函数

即am>\-\a.m<-——=-■-4.

g(x)=/(.r)-XV=-A*-2aIn.r-Zr并

运用导致川新JMM性，然后根据假设条件可知函数g(x)在(O,+a)l.不谢才增,即将所求的问

9

所以,家致用的取值他国是(-8.-1).

X1H化为

考点：L悭数导致求极值：2.利用导致讨论函数的单调性；3利用单调性解决怛成立阿也.

gCONO恒成文问S!.进而可求出所求的实数。的取债公园.

8.(12分)ttittf(x)=^.x2-2</ln.r+(a-2)x.«eR.

•+a,、2a-(.v-2X.v+o),

忒题1M解析1r：J(v)=x-----+«-2=-----------------(x>0).

(1)当a=l时.求沿数/(x)图象在点处的切线方程；

(1)当。=1时./Co.dXx+l),/⑴=-2.所以所求的切规方程为

(2)当a<0时,讨论函数/(x)的单调性;

y-/(l)=-2(x-l).W4.r+2v-3=0.

(3)是否行在实*4.对任意的曷,弓€(0,田)11用工占行公匕&恒成立？假设存

X,一外⑵①当-a=2.即a=-2时.f(x)=(x~^'SO.f(x)在口+x)上单调速眯

在,求出。

的取的范围；底设不存在，说明理由.

②当-a<2,即-2va<0时，因为或x>2时,/(x)>0；当-«vxv2时.

【答案】⑴4x+2y-3=0：⑵①当a=-2时.f(x)在(0.M)上单调递增：②当-2<“<0

/(x)<0,人外在(0,-a),(2,+«。)上刺调逐增，在(-4.2)上不调注柒；

时,因

为Ovx<-a或x>2时,/(x)>Os当-“<x<2时./(.r)<0.f(x)在(O.-a).(2.+«)③当-a>2.IJJav-2时.因为0<x<2或x>-a时,f(x)>Oi当2<KV-“时.f\x)<0.

上单调递

”x)在(0.2).(-4内)上单调递增.在(2.-0上单调递H.

(3)假设存在这样的实效a,满足条件，不妨设()_/())>"如以x)/极大侦、

.•.当x=l时,式X)取得报大ttig(D=l,无极小位；

八.)一av/八»)一<3,令gCO-/(A)-av--A*-Z4ilnA-2A.那么函数&(N)在。十q)

(II)当/w=l时.a<0时./(x)=x-n!nx-l.x€(0,4<©)-

上单调递地.所以g(x)=x-22-220,即2“4/-2.t=a-|尸-1花(O.y)上恒成立.所

•••/1(外=平>0在⑶4］恒成立，.•./(X)在［3,4］上为地函数,

以故存在这样的实。，满足注意.其取伤能因为(T0,-；|.

考白；1、导致的几何必义I2、导致在函数的极值和用值中的胞用I设尔x)=’一=—.v/»'(x)=-V—>0在［3,4］上恒成立，

g(x)xx-

9.(本小JHg分依12分)函数f(x)="“-alnx-，*.8")=二，其中，以”均为实数.

.♦.水外在［3,4］上为增函数，

(I)求函数g(x)的极值;

不妨设公>X、.那么|"七)-八刈|<」--'|等价干,

|或引「刈

(II)设〃】=1.。<0,假设对任意的王、与£[3.4)(、■七).I“X?)-/a)|<-y-工

|g(占)e(x)|

/(.V,)-/(x)</i(x,)-//(x).即/弧)-h(工2)</«)-〃(上)，

恒成立,求实敢。的最小他：l1

【神案】(I)g(x)取得极大值g(D=l.无极小值I(2)3-jr.

设=■.v-nln.r-1--—•那么〃(x)在［3,4)上为H所数.

(Or)x

试题分析।比题主要考自导致的运算,利用导数狎断函数的单词性、利用导数求函数的极值和球

tfi.便成立何IS等根底知识，考商学生的分析问的解决问虺的能〃、籽化能力、计算能力.第一・・・〃,(x)=1-----------二一-工0在|3,4］上怛成立，

XX*

何.利用g：x)的正负.判断曲数的单调性,从而判断函数的极tft点।第二问.构造函数