大学文科数学及试题答案

东莞理工学院（本科）清考试卷参考答案

2010-2011学年第二学期

《大学文科数学》清考试卷参考答案

开课单位：数学教研室考试形式：闭、开卷，允许带入场

题序—•二总分

得分

s.评卷人

一、选择填空题（共70分每空2分）

黑:

黜:1.设函数，则函数的定义域为（C);

A)(1⑵，B)[1,2],C)(1,2],IU2).

-e：D)

2.设，则；

7T1

A)cos—B)0,C)rD)1.

4

3.设,

而

2

加A)sin2xB)2sinx,C)2xcosx,D)COSX.

4.极限；

1i

A)5,B)P0,D）

aF_v-_LI

揉

5.极限lim3=(B).

XTB2x+X_1

小3?

A)1,C)0,

四B)pD)i

6.下列命题中正确的是（A）;

A：ilimxsin-=1B)limxsin-=l,

XT8Xx->0X

sinx.

C)iiimxsin—=0,D)lim----=0.

isxx-»0X

7、若函数，则；

A)1,B)e,C)9D)0

e

8、若函数，则

A)1,B)e,C)9D)0

9、设，且，，则；

A)tz=2,Z?=0,B)a=-2,b=\,

C)4=2,〃=—1,D)tz=0,Z?=2.

10、设,则；

A)-2,B)-1,C)0,D)2.

11.曲线单调上升区间为(A);

A)(-oo,0],B)(-ooj],C)fO,+x),D)[1,-Ko).

12.曲线在点(1,1)的切线方程为(C)；

B)y-l=-(x-l),

C)y-l=2(x-l)fD)

13.若，则(D)；

A)0,B)12,C)24,D)120.

14.当时，函数取得极大值，该极大值等于4；

A)1,B)-1,C)0,D)3.

15.当时，函娄1取得中及小值，该极小值等于(B).

A)0,B)-1,C)—2,D)-3

16.设函数则；

A)0,B)1,C)2,D)3.

0

sinx,x>(),

17、设函数/(x)=<则J/(x)公=(C)；

3x2,

x<0.-i

A)-1,B)0,C)1,D)-2.

sinx,x>0,则j/(为四=(

18、设函数/(/)=<D)；

2，x<0.-1

A)(),B)1,C)2,D)3.

61

19、积分f——g=(B）；

冗71

B)D)

A)5'C)7~6

20.积分J(2x—cos=(4）；

o

A)乃2,B)乃2C)-2,D)2%.

21.积分；

A）0,B)-hD)

22.积分

A)B)e

1,

C)D)

2

23.若，则数

1

A)1,B)^iC)—,D)

ee+1

24.曲线），=J,）,=x围成的平面图形的面积的（C）；

11c2I

A)B)-，C)D)

23612

25.设矩阵,,则；

4-10、Q-1-2、

A)01-1,B)01-1

\000/,\002/

<100、T00、

C)-110,D)110

<0—10,[21-2,

26.设矩阵,,则；

4-10、‘1-1-2、

A)01-1,B)01-1

<000,w。2,

00、'100

C)-110,D)110

-10,-21-2

27、设矩阵，当或；

A)-2,B)-1,C)1,D)2.

28.设矩阵，则

A)0,B)1,C)2,D)3.

29.设A为三阶方阵，且网=3,则卜2A|=(D);

A)-6,B)6,C)24,D)-24.

30.设矩阵,,.则当时，线性方程组有唯一解；

A)-2,B)-1,C)0,D)1.

31.设向量是线性方程组的两个解，则是线性方程组的解；

A)M+w，B)xi-x2,C)2x1+x2,D)2xt-x2.

32.设向量是线性方程组的两个解，则是线性方程组的解；

A)x}-x2>B)Xj+x2,C)2%+/，D)2为一%.

33.设矩阵，当时，矩阵可逆;

A)-2,B)-1,C)0,D)1.

34.设矩阵,

7

B)

1

700、

35.设矩阵知=020，则犷=(初

<0。3,

'300、100、

A)020B)01/20

、()()1,J)01/3,

'-100'"-100、

0-20,D)0-1/20

、00-3k00一1/3,

二、填空题（共30分每空3分）

I.设函数，则函数的定义域为；

2.若函数，则；

3.若函数，则；

4.极限；

5.极限；

6.不定枳分Jl+=|』(l+lnx)2+C

x12J

7.定枳分；

(11\(1inf

8.设矩阵4=，则/°°=

I。U101

123

9.行列式231=(-12)；

321

/、

X

10.齐次线性方程组V的通解为占=

南京晓庄学院大学文科数学课程考试试卷

2010-2011学年度第一学期院（系）级共页

教研室主任审核签名：院（系）领导审核筌名:

命题教师：数信院公共教研室校对人:

班级姓名学号得分

序号—二三四总分

得分

阅卷人

复核人

一、选择题(每小题3分，共15分)

1.下列函数为初等函数的是(B)

(A).(B).

(C).(D).

2.当x-0时，与等价的无穷小是(A)

(A)x2+x(B)xsinx(0Vtanx(D)2x

3.设存在，贝ij=(D)

(A)(B)-2/XO)(02/70)(D)f\0)

4.物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的(D)

(A)函数值(B)极限(C)积分(D)导数

5.若的导函数是，则有一个原函数为(C)

(A)(B)(0(D)

二、填空题(每小题3分，共15分)

1.设函数在点连续，则.

2.设，贝I」.

3.

4.曲线在点(1,1)处的法线方程为

5.=,

三、计算题(每小题5分，共40分)

1.求函数的定义域.

解：且，所以函数的定义域：

2.设，求其反函数

解•：rti得所以函数的反函数是：，

3求极限lim*eI”

zosin-x

解：==

4.求极限linJan：x

解：==

5.已知，求

解：因为=所以=

6.求y=e2'cosx的微分V

解：==

7.求不定积分

解：==

8.求定积分

解：==

四、综合应用题(每小题10分，共30分)

1.证明方程至少有一个小于1的正实数根.

解：令，，，闭区间上连续，

由根的存在性定理，有，使得，即至少有一个小于1的正实数根

2.欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样

做法所用的材料最省？

解：设底面长方形的两边的边长为厘米，厘米，则高为厘米

表面积s=(x.2x).2++(2*斗).2=4X2+—

Xx~X

求导S=8x--^=O

所以在区间(0,+oo)上只有唯一的驻点x=3

又因为在实际问题中存在最值，所以驻点就是所求的最值点。即当底面边长为3厘米，6

厘米，高为4厘米时所用的材料最省。

3.求由曲线与直线所围成的平面图形的面积.

解：由曲线与直线得到交点

所以所围成的平面图形的面积.S=J：(4x-白公

即.S=J,(4x--)dx-(2x2-In=^-In4

《大学文科数学》模拟卷一解答

一、填空题A(共70分每空2分)

1.设函数则函数的定义域为()，

2.函数可看成由复合而成.

3、

一

掇

阳X2-2X+32

松lim

塞).

2

吩2X+12

.

.

.4.,当时为无穷大量，当时为无穷小量

.

.5、若函数，则，

.

.若函数g(x)=xsinj，则理展幻=(o).

.

.

.

.

.6.设，且，，

(.

.则«=(-1),b=(1)•

氧.

.

蒯7、设，则.

.

莱8、曲线单调增加区间为([))其在点处的切线方程为().

斑

.

葩.9、若，则(2),(0).

.

和.1()、若，则，

.

).11.当时，函数取得极大值，该极大值为.

.

.12.,

.

加.13.,

料.14、画出由，与轴所围成的平面图形

.

.

.

.

.

.

.

.)

.

点它的面积是(12).

然

隹

.

.15.设矩阵，，则

.

.

.

16.己知，则(),().

17、若矩阵，则(3)；若矩阵，则.

二、填空题B(共30分每空3分)

1.设，则(1).

2.=().

3.=().

4.函数在区间上的最小值为().

5、设函数，则=().

6.积分.

7、设函数/(力=同贝打〃»拄=(1)•

-1

8、已知，贝IJ().

9、设，则方程组(有无穷多解)(填无解、有惟一解、有无穷多解

三者之一)，有解时方程组的全部解为

1

xi=2+C|

，其中之“2为任意实数

—I-C-,

2-

深圳大学期末考试试卷

闭卷A/B卷A卷

号23190009课程名称大学文科数学学分3

命题人（签字）审题人（签字）年一月

日

六基本题

--二四五七八九十附加题

总分

中

沿

一.填空（每小题3分，共30分）

1.的导数为：。

S2.的导数为：

3.的导数为。4.

(O

骚5.=

加6.设，求=

7.=

K-

-E

邹8.=

蔚二.9.=c

裕10.=O

)设曲线，求以及该曲线在处的切线方程。（1Q分）

以

的

三.讨论函数丁=/-丸的单调区间、极值。（10分）

计算下列积分：（一共30分，每小题5分）

1.2.

3.4.

四.5.6.

阳

料五.试计算阿亓的近似值。（10分）

六.试求曲线），=/与）,=8--所围成的平面图形的面积。（10分）

《微积分（1）》练习题

一.单项选择题

1.设存在，则下列等式成立的有

A.B.

C.D.

2.下列极限不存在的有（）

A.B.

C.D.

3.设的一个原函数是，则（

A.B.C.D.

4.函数在上的间断点为（）间断点。

A.跳跃间断点；B,无穷间断点；

C.可去间断点；D.振荡间断点

A.5.设函数在上有定义，在内可导，则下列结论成立的有（）

B.当时，至少存在一点，使：

C.对任何，有；

当时，至少存在一点，使；

D.至少存在一点，使；

6.已知的导数在处连续，若，则下列结论成立的有()

A.是的极小值点；B.是的极大值点；

C.是曲线的拐点；

二.D.不是的极值点，也不是曲线的拐点；

填空：

1.设，可微，则

2.若，则

3.过原点作曲线的切线，则切线方程为

4.曲线的水平渐近线方程为

铅垂渐近线方程为

三.5.设，则

计算题：

(1)limJT(2)

ix~+2x-3x-^\x)

lim的±虫

(3)(4)y=[ln(l-2x)]2求dy

x-»°xsin3x

⑸^'+/-5x=0求务皿

试确定，，使函数在处连续且可导。

试证明不等式：当时,

设，其中在上连续,在内存在且大于零，求证在内单调递增。

《微积分》练习题参考答案

四.单项选择题

五.1.(B)2.(C)3.(A)4.(C)5.(B)6.(B)

填空：(每小题3分，共15分)

1.

2.

3.

4.,

5.,

三，计算题：（1）(2)

Ix2+2x-3

..2x

=lim-------

KTl2%+2

-2

(3)lim----------(4)y=[in(1-2x)]2求dy

J。xsin3x

ln(l+x2)

lim----------办=2%(1-2刈匚三(2/

―。xsin3x

../i4[ln(l-2x)]^

=hm-----=—

I。x-3x31—2x

(5)erv+/-5x=0求％=。

e"(y+盯')+3y2V-5=0

,5-yex>'

=>V=------------

3)/+M

又x=0ny=-1

_5W

yv|1r=0-3r4-x^^r=2

(

试确定，，使函数在处连续且可导。(8分)

解：

,函数在处连续，(1)

/J(o)=limM+即止竺2]二历+a+2]=b

.，缶\[.e，x—1—-T-Z?+2]..eax—1

/_(0)=hm--------------------=hm------=a

XTOXx_*°X

函数在处可导，故(2)

由(1)(2)知a=〃=—I

试证明不等式：当时，（8分）

证：（法一）设则由拉格朗日中值定理有

e(x1)<exe=ei(xl)<e*(x1)

整理得：

法二：设

故在时,为增函数,

,即

设/（*，-典'+«）

故在时，为减函数,

,即

综上，

设，其中在上连续，在内存在且大于零，求证在内单调递增。（5分）

证：

_/'（域…）一/（女一

<4<x)

(…)

广⑴-/G)

x-a

-7

x-a

故尸⑴在（4,+W）内单调递增。

一、选择题（每题2分）

1.设定义域为（1,2），则的定义域为（）

A.（0,lg2）B.（0,lg2C.（10,100）D.（1,2）

2.x=-l是函数=的（）

A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.不是间断点

3.试求等于（）

A.B.OC.1D.

4、若，求等于（）

A.B.C.D.

5.曲线的渐近线条数为（）

A.OB.lC.2D.3

6、下列函数中，那个天是映射（）

A.B、

C.D、

二、填空题（每题2分）

1.

2.、_________

3.__________

4.__________

5._________

三、判断题（每题2分）

1.

2.()

3.()

4.()

5.()

四、计算题（每题6分）

2.

3.

4.

5.

6.

五、应用题

1.设某企业在生产一种商品件时的总收益为，总成本函数为，问政府对每

件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8

分）

2.描绘函数的图形（12分）

六、证明题（每题6分）

1.用极限的定义证明：设

2.证明方程

一、选择题

l.C2.C3.A4.B5.D6.B

二、填空题

1.2.3.184.35.

三、判断题

1.V2.X374.X5.X

四、计算题

1.

sin-

x

y=(%y

siJinx

二(exy

sin—Inx][11

=excos-(——7)lnx+—sin—

XXXX

singJ][I

=x'(---7cos—Inxd——sin—)

XXXX

2.

dy-f\x)dx

/112x、，

二(arctanx+x---------r-----------------三)dx

1+x221+1

=arctanxdx

3.

解：

2x-2y-2xyf+3y2yf=0

2x-3y2

,〃—(2—3y')(2x—3y2)—(2x—2y)(2—6yy,)

••y-

(2x-3y2)

4.

解：

,/当x—>0时，x-tanx-sinx,1-cosx------

2

Y—1X2

由一1.tanx(l-cosx)?1

?.原式二hm---------；------=limvz=-

z。xsm~xzo第2

5.

解：

令1=@,x=t6

dx=6r5

原式二JkF

=6j二

J1+产

J\+t2

J1+广

=6r—6arctanr4-C

=6y/x—6arctany/x+C

6.

解：

.-5-Incosx

原式=limex~

x->O+

lim-vIncosx

其中：

一lim—1—1Incosx

K-0+X-

,.IllCOSJC

=lim-------------

1O+X

，•、

----1----(—sinJV)

=limCOSX---------------

x->o+2x

..—tanx1

=lim-----------=------

x->。"2x2

JM=e2

五、应用题

1.解：设每件商品征收的货物税为，利润为

L(x)=R(x)-C(x)-ax

=lOOx-x2-(200+50x+x2)-ax

=-2X2+(50-«)X-200

L\x)=-4x+50-a

令Z/(x)=0,得犬=竺二此时£(用取得最大值

4

税收收二="50-。)

4

r=1(50-267)

令7=0得〃=257〃=-■!■<0

2

当〃=25时，T取得最大值

2.

解：

D=(-oo,0)u(0,+oo||nJ断点为x=()

y=2x—^

x2

令)』0则］=~^=

y"=2+W

x

令)，〃=0则x=1

1（M）

Xy,-i)-1(-1,0)0陷W

—————

y0+

—

尸+0\++4-

拐无定

y极值点

点义

渐进线:

limy=coJy无水平渐近线

X-»00

limy=0/.x=0是y的铅直渐近线

lim』=寸=oo.・.y无斜渐近线

I00xx

l/x\1

GN

3y

/

\2v

\1

-4■3-2\01234：

-1

\-2

-3

-4

图象

六、证明题

1.

证明：

vlimf(x)=A

x—>8

/.V^>0,3M>0

当时，有|/(x)-A|<£

>0,则当0<x<-!-时，W->M

MMx

•二f(~)-A<£

x

!Plim/(-)=A

I30X

2.

证明：

令于(x)=xex-1

・・・/(x)在(0,1)上连续

/(0)=-l<0,/(l)=e-l>0

由零点定理：至少存在一个J£(()/)，使得f(J)=(),即

又二/'(X)=(X+1)婷>0,XG(0,1)

则f(x)在［0,1］上单调递增

方程加。1在(0,1)内有且仅有一个实根

高等数学微积分公式大全

一、基本导数公式

(1)(/=0(3)(sinx)=cosx

⑷(cosx)=-sinx(5)(tanx)=sec2x⑹(cotx)=-csc2x

(7)(secx)=secxtanx⑻(cscx)=-cscxcotx

(9)(er)=ex⑩(优)=axhiadl)(lnx)=—

]

1i

(15)(arctanx)⑯(arcco")=Q?)(X)=

1+x225/x

二、导数的四则运算法则

(u'v-uv

(M±V)=U±Vr(£ZV)="，+〃/

三、高阶导数的运算法则

(w)H(w)

(1)[W(x)±v(x)]=W(x)±v(x)⑵[c〃(x)r)=c“〃)(x)

(3)[〃(ox+b)r)=a"J")(or+b)(4)[〃(x).y(x)『")=£c：〃叫(x)a(x)

k=0

四、基本初等函数的n阶导数公式

⑴*『)=〃！⑵(*“『)=小*"(3乂优)⑺=vlnMa

[sin(ar+b)产

⑷=asinIax+b+n—2J(5)

”[乃

=acosax+b+n—

I2

(6)—=(T〃"(7)

ax^b)I，(or+A)用

[ln(av+<=(-ir，•(〃])!

五、微分公式与微分运算法则

⑴c/(c)=0⑵d(x〃)=〃x"-皿(3)J(sinx)=cosxt£r

(4)t/(cosx)=-sinxdx(5)d(tanx)=seci2xdx(6)J(cotx)=-esc2xdx

⑺d(secx)=secx•tanxdx⑻t/(escx)=-escx-cotxdx

⑼“/卜-小00)=\nadx(IDJ(lnx)=­dx

⑫d(logj)=^(13)d(arcsinx)=〔1，dx04)d(arccosx)=——,dx

A/1-x2\Jl-x2

1

(15)6/(arctanx)=dx⑯d(arccotx)=-]-2dx

\+x2

六、微分运算法则

(Dt/(w±v)=(2)d(CH)=cdu

vdu-udv

⑶d(wv)=vdu+udv⑷d

£1=p-

七、基本积分公式

(\)^kclx=kx+c(2)fxfJdx=------+c⑶J虫=ln|x|+c

J〃+l

ax

⑷JQ'公=----+c(5)Jexdx=ex+c(6)jcosxdx=sinx+c

Ina

xdx=-cosx+c(8)j2xdx=tanx+c

（9）fe=jcsc2xdx=-cotx+c(10)-5-7^=arctanx+c

1+x2

(11)f------dx=arcsinx+c

J>/T7

八、补充积分公式

tanxclx=-ln|cos乂+ccotxdx=ln|sin.v|+c

jsecxdx=ln|secx4-tanx|+cjescxdx=In|escx-cotx|+c

x-a

f=-arctan-+cJdv=—In+c

Ja~+x~aax2-a22ax+a

c1,.x

idx=arcsin—+c=Inx+\Jx2±cr+c

J°"人2±&2

九、下列常用凑微分公式

积分型换元公式

jf(ax+bylx=—j/(av++b)u=ax+b

斤①『出二力/①卜/①)u=x"

J/(lnx)-iZ¥=j/(lnx)f/(lnx)

入u=\nx

]7(，”公=]7.»(叫u=ex

u=ax

jf(sinx)­cosxdx=J/(sinx)d(sin

u=sinx

j/(cosx)•sinxdx=-j/(cosx)d(cosx)u=cosx

j/(tanx)­sec2xdx=^/(tanx)e/(tanx)w=tanx

jf(cotJT)CSC2xdx=j/(cotx)cl(cotx)u=cotx

J/(arctanx)——公=j/(arcsnx)f/(arctanx)

1-l-Xw=arctanx

Jf(arcsinx)•-/1，杰=j/(arcsinx.(arcsinx)w=arcsinx

\J\—X

十、分部积分法公式

⑴形如，令，

形如令，

形如令，

⑵形如，令，

形如，令，

⑶形如，令均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式

(1)V«2--V2x=as\nt(2)Ja2+£x=atant(3)\lx2-a2x=asect

【特殊角的三角函数值】

.冗17t

(1)sinO=O(2)sm—=—⑶s呜呼(4)sm—=1)(5)sin7r=0

622

71G,加171

(1)cos()=l(2)COS—=——(3)cos—=—(4)cos—=0(5)cos^-=-l

62322

⑵ta吟邛

(1)tan()=0(3)tan—=V3(4)tan2•不存在(5)tan;r=0

32

(1)cot0不存在(2)cot—=\/3(3)cot—=—(4)cot—=0(5)cot4不存

6332

在

十二、重要公式

「sinx.1

(1)lim-----=1(2)lim(l+x)x=e(3)\imyfa(a>o)=1

XTOxW—>OJ

71

(4)lim=1(5)limarctanx=—(6)limarctanx=-

~2

〃一>6x—>002x—>-co

(7)limarccotx=0(8)limarccolx=〃(9)limex=0

(10)limex-oo(11)lim=1

X->-KO.v->0*

£o

n-m

b。

十%

(12)lim<0n<m（系数不为0的情况）

+粼