湖南郴州市2026届高三下学期教学质量监测数学试题

湖南郴州市2026届高三下学期教学质量监测数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z满足z=1，且z+z=0A．1 B．−1 C．i D．−i2．已知集合A=x∈N∣x2A．−2,9 B．−2,3 C．0,1,2 D．1,23．若函数fx=tanωx+φω>0,φ>0图象的一个对称中心为A．fx=tan4x+C．fx=tan2x+4．设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若S7A．15 B．14 C．13 D．125．已知fx是定义在R上的奇函数，且满足fx+6=fx，当x∈0,3A．−10 B．−3 C．3 D．106．已知A,B为样本空间中的两个随机事件，其中P(A)=23,P(A．512 B．12 C．7127．已知点A−1,0，抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P是抛物线A．1 B．2 C．3 D．28．已知两个不相等的正实数x,y满足：ey−1A．x<y<1 B．y<x<1 C．1<x<y D．1<y<x二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下面说法正确的是（）A．设α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，若m⊥α,m⊥β,n⊥α，则n⊥βB．命题“∀x≥1,x2≥1C．已知a∈R，则“a>1”是“1aD．函数fx=x10．已知二次曲线C:5xA．C的对称中心为0,0B．C上的点到原点距离的取值范围是1C．当点Px0,yD．C的离心率为311．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示，已知正八面体P−ABCD−S棱长为2，下列结论正确的有（）A．平面PCD与平面SCD的夹角的余弦值为1B．正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为3C．正八面体的体积与表面积的比值为6D．点A到平面SCD距离为2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量a,b满足a=1,b13．在锐角三角形ABC中，内角A､B､C所对的边分别为a,b,c，若A=2B，则14．若存在实数m，使得关于x的方程em+a−x=2x−2m−1x−m−1有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量y（单位：万个），为方便研究，年份代码用x表示（如：x=1表示2021年），具体参考数据如下表：统计量i=1i=1i=1数值5572.621（1）请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程y=（2）现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X，求X的分布列及均值.（参考公式：b=16．苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的C处，此时他测得山顶A的仰角为30∘.他沿着东偏南30∘的方向前行200米后到达点D处，此时他测得山顶点A的仰角为45∘.假设山顶在水平面上的投影为点B，且点D（1）求山高AB；（2）已知景区内点E处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为15∘，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为30∘.求山脚下缆车上车点E到17．已知圆Cn:(x−2)（1）当n=2时，过点A作直线l，当直线l与圆C2相切时，求直线l（2）自点A发出的光线经过x轴反射后与Cn相切，记与Cn相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为an，数列1an的前n18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线的斜率为1，求翻折后异面直线MN与F1（3）当M,N不在y轴上时，如图2，求△OMN面积的最大值.19．已知函数fx=lnx（1）若fx在1,0处的切线与y=gx恰有一个公共点，求（2）若mx=g（3）若函数hx=fx

答案解析部分1．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数【解析】【解答】解：设复数z=a+bia,b∈R，则z=a−bi，

因为z+z又因为z=1，所以b=±1，则z=±i所以z2026=±i【分析】利用复数求模关塞、共轭复数的定义、复数的运算法则，从而得出复数z20262．【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：对于集合A，x2所以A=0,1,2,3,4,5,6,7,8对于集合B，3−x3+x所以B=x|−3<x<3则A∩B=0,1,2.

【分析】解一元二次不等式得出集合A，利用对数型函数求定义域的方法，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合A∩B.3．【答案】B【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性【解析】【解答】解：因为最小正周期为π4，所以π则fx令4x+φ=12kπ,k∈Z又因为函数fx=tanωx+φ所以18kπ−14φ=所以fx=tan4x+π6.

故答案为：B.

4．【答案】A【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】解：∵S由等差数列前n项和的性质，可知4×d2=2又因为a2∴a5=5，∴∴S5=5×1+52=15.

5．【答案】B【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示【解析】【解答】解：∵fx+6∴f−2025又因为fx是定义在R上的奇函数，∴f3=−f−3，则2f3=0，

所以f3∴f2026则f−2025+f2026=0+−3=−3.6．【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式；条件概率【解析】【解答】解：因为P(A)=所以P(由全概率公式，可得PB=PAPB|A7．【答案】B【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：因为抛物线C:y2=4x设点P到准线的距离为PQ，则PQ=PF，所以则当PA与抛物线C:y2=4x相切时，∠PAQ最小，

设过点A的直线y=kx+k与抛物线相切k≠0，联立y=kx+ky2=4x∴Δ=2k2则x2−2x+1=0，解得x=1，

把x=1代入y2∴P1,2或P1,−2，此时PAPF=1sin∠PAQ=1sinπ4=2.

故答案为：B.

【分析】设点P到准线的距离为PQ，则PQ=PF，再利用已知条件和正弦函数的定义，从而得出PAPF8．【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由ey−1−x=4log2x−2令fx=4log则函数fx与gx均为0,+∞上的增函数，且f当x>1时，由fx>1，则gy当x<1时，由fx<1，则gy要比较x与y的大小，只需比较gx与g则gx设hx=ex−1−x−2log2xx>0，

因为h'1=1−1−则存在x0∈1,2当x∈0,x0时，h'x又因为h1则当x<1时，hx>0；当x>1时，所以，当x<1,y<1时，hx>0，

则gx当x>1,y>1时，hx正负不定，

所以gx与则x>y>1,y<x<1,y>x>1均有可能，故选项B、选项C、选项D均有可能；选项A不可能．

故答案为：A.

【分析】将原式变形为ey−1+2log2y=4log2x+x，令fx=4log9．【答案】A,B,D【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；图形的对称性【解析】【解答】解：对于A，因为m⊥α,m⊥β，所以α//β，

又因为n⊥α，所以n⊥β，故A正确；对于B，因为命题“∀x≥1,x2≥1对于C，当a>1时，可得1a<1，

所以“a>1”是“当1a<1时，可得1−aa<0，

所以a1−a<0，则所以“a>1”是“1a则“a>1”是“1a对于D，因为f=x所以，函数fx=x3−3x2−ax+a的图象关于点10．【答案】A,C,D【知识点】平面内两点间距离公式的应用；椭圆的简单性质；曲线与方程；图形的对称性【解析】【解答】解：对于A，设点x,y是二次曲线C:5x将点−x,−y代入二次曲线C:5−x化简可得5x2+y2则二次曲线C的对称中心为0,0，故A正确；对于B，令r2=x因为x±y2=x2+y2±2xy=r2±2xy≥0所以，二次曲线C上的点到原点距离的取值范围是1,2，故B错误；对于C，将曲线方程5x2+y2因为x为实数，所以Δ=36解得−102≤y≤102，

当点P对于D，先推理旋转公式，记平面内点Px,y在角θ的终边上，则P因为绕原点顺时针旋转一个锐角α，可得旋转后的坐标为(rcos由正、余弦的和差公式，得旋转后的坐标如下为(rcos又因为x=rcos所以(xcos将原方程化为标准方程，而其旋转角为α，旋转后整理方程，

令交叉项系数为0，可得6cos因为α∈(0,π2)，解得α=π4代入曲线C，化简可得x'则二次曲线C可以看作由椭圆x2+y如图所示，作出符合题意的图形，在椭圆x2+y则二次曲线C的离心率为32，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据椭圆的对称性可判断选项A；令r2=x2+y2，则6xy=8−5r2，由11．【答案】A,B,D【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：设正方形ABCD的对角线交点为O，

则OA=OB=OC=OD=2，

所以PO=P对于选项A，取CD中点M，连接PM和SM，

因为△PCD和△SCD都是等边三角形，

所以PM⊥CD且SM⊥CD，因此∠PMS为二面角P−CD−S的平面角，

又因为PM=SM=2×32=由余弦定理，可得cos∠PMS=PM2+SM2−PS对于选项B，因为O到所有顶点的距离相等，

所以，点O也是外接球球心，外接球半径为R=PO=2显然内切球球心也为O，内切球半径r为点O到平面PCD的距离也是到PM的高，在Rt△POM中，OM=12AD=1，

利用等面积法，则PO×OM=PM×r，可得r=6对于选项C，设正八面体的体积和表面积分别为V和S，

由等体积法，可知V=13Sr，其中r为内切球半径，

对于选项D，设点A到平面SCD的距离为h，

利用等体积法，得VA−SCD则13×S故答案为：ABD.

【分析】先得出∠PMS为二面角P−CD−S的平面角，利用余弦定理得出平面PCD与平面SCD的夹角的余弦值，则判断出选项A；利用点O到所有顶点的距离相等，因此点O也是外接球球心显然内切球球心也为O，内切球半径r为O到平面PCD的距离也是到PM的高，再利用等面积法，从而得出正八面体的内切球半径与外接球半径的比值，则判断出选项B；利用正八面体的体积公式和表面积公式，从而得出正八面体的体积与表面积的比值，则判断出选项C；利用已知条件和三棱锥体积公式和等体积法，从而得出点A到平面SCD距离，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.12．【答案】21【知识点】平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：因为a=1，b=2，所以a→−b→2由a−2b2=a2−4a⋅【分析】根据已知条件和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而得出a→13．【答案】0,【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用【解析】【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB=则c−b===2由三角形ABC为锐角三角形，

则0<A=2B<π20<B<则cosB∈22,3则0<2cosB−1cosB<33，

所以【分析】利用已知条件和正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式和三角恒等变换，可将b、c用角B表示，再利用三角形ABC为锐角三角形中角的取值范围，从而得出角B的取值范围，进而得出角B的余弦的取值范围，再利用不等式的基本性质得出c−ba14．【答案】(−【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：由题意，得em+a−x=2x−2m−1x−m−1，令x−m=t，则a=t+ln令f(t)=t+ln(2t−1t−1)当t∈(−∞,0)∪(32,+∞)所以，函数f(t)在区间(−∞,0),(3当t→−∞时，ln(2t−1当t→(12)−当t→1+时，ln(当t→+∞时，ln(2t−1因为f(0)=0+ln1=0，f(32)=由图可知，若存在实数m，使得关于x的方程em+a−x则实数a的取值范围是(−∞,0)∪(32+ln4,+∞).

故答案为：(−∞,0)∪(15．【答案】（1）解：因为x=又因为b^a=y−bx（2）解：由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，

则PX=0PX=1PX=2PX=3=CX0123P51051则均值EX【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布【解析】【分析】（1）根据平均数公式和最小二乘法，从而得出y关于x的回归直线方程.（2）根据已知条件得出随机变量X的取值，再利用超几何分布求概率公式得出随机变量X的分布列，结合期望公式，从而得出随机变量X的均值.（1）x=b^a=y−（2）由题意知随机变量X的可能取值为0,1,2,3，则：PX=0PX=1PX=2PX=3X0123P51051故均值EX16．【答案】（1）解：如图，在△BCD中，设AB=h，

由题意知，BC=3h,BD=h,CD=200，且∠BCD=30∘，

由余弦定理BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CD⋅cos30∘，

代入得：h2=(3h)2+2002−2⋅3h⋅200⋅32，

化简得：h2=3h2+40000−600h，

则h2−300h+20000=0，

解得h=100或h=200，

由“点D（2）解：由第（1）问知，山高AB=200米，因为缆车在点M处转换坡度，

所以，两段缆车各上升100米，设第一段（倾斜角15∘）的水平距离为x1，则第二段（倾斜角30∘）的水平距离为x2，则所以tan15∘=100x1，tan30因此，山脚下缆车上车点到B点的距离为：x1利用常用三角函数值，得：tan15则x所以，山脚下缆车上车点到B点的距离为2001+【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形的实际应用【解析】【分析】（1）设AB=h，根据题意，在△BCD中结合余弦定理得出h的值，再结合点D位于点B的南偏西方向，从而得出h>100，进而得出山高AB的长.（2）结合（1），设PE=x1，x2=MQ，再利用正切函数的定义得出x1=100（1）解：如图，在△BCD中，设AB=h，由题意知BC=3h,BD=h,CD=200，且由余弦定理，B代入得：h化简得：h2=3解得h=100或h=200由“点D位于点B的南偏西方向”可知，B必在D的东北方向，从而B的横坐标应大于D的横坐标.由BC=3h,D点向东位移为1003米，可得3故只能取h=200，所以山高AB=200米.（2）解：由第（1）问知，山高AB=200米.因为缆车在点M处转换坡度，故两段缆车各上升100米.设第一段（倾斜角15∘）的水平距离为x1，即第二段（倾斜角30∘）的水平距离为x2则有：tan15∘=100x1，因此，山脚下缆车上车点到B点的距离为：x利用常用三角函数值：tan15得x故山脚下缆车上车点到B点的距离为2001+17．【答案】（1）解：因为圆C2:(x−2)2+(y−2)2由题意可知，直线l的斜率k存在，

设直线l的方程为y−3=kx+3，即kx−y+3k+3=0又因为直线l与圆C2相切，所以d=5k+1k2+1=1，所以，直线l的方程为y=3或5x+12y−21=0.（2）证明：记点A关于x轴的对称点为A'，则A因为反射光线所在直线经过点A'设反射光线所在直线l':y+3=kx+3又因为圆Cn的圆心为Cn2,n，半径r=1，直线l'与圆Cn整理得24k则两条切线的斜率之积为k1所以1a则S=127【知识点】数列的求和；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；反证法与放缩法【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再设直线l的方程为y−3=kx+3，再由直线与圆相切位置关系可得d=5k+1k（2）设反射光线所在直线l':y+3=kx+3，由直线与圆相切位置关系得出d=5k−n−3k（1）圆C2:(x−2)2+由题意可知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y−3=kx+3，即kx−y+3k+3=0由于直线l与圆C2相切，所以d=5k+1k2+1所以直线l的方程为y=3或5x+12y−21=0；（2）记点A关于x轴的对称点为A'，则A由于反射光线所在直线经过点A'设反射光线所在直线l':y+3=kx+3又圆Cn的圆心为Cn2,n，半径r=1，直线l'与圆整理得24k则两条切线的斜率之积k1所以1aS=12718．【答案】（1）解：由题意，知c=32abc=3c2+b2（2）解：翻折前，MN所在直线方程为y=x，联立y=xx24+y2=1不妨设M−25则M0,−所以，

F设异面直线MN与F1F2则cosθ=F所以，异面直线MN与F1F2（3）解：设翻折前MN所在直线方程为y=kx，联立y=kxx24+y设Mx1,由韦达定理，得x1翻折后，M0,则OM=所以OM⋅则cos∠MON=OM所以，sin∠MON=1−则S△OMN令m=2k2+1，则m≥1，

令fm=4m+1m，

由对勾函数的性质，得函数则当m=1时，fm取得最小值，为f1=5则S△OMN的最大值为2×15−4=2，此时m=2k则当直线的斜率k=0时，△OMN面积取得最大值，最大值为2.【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【分析】（1）当点P在短轴端点时，△P（2）折叠前，将直线MN方程与椭圆方程联立，从而求出两点M,N的坐标，折叠后建立空间直角坐标系，从而得出点M,F1,F2（3）将直线MN方程与椭圆方程联立得到两点M,N坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，从而得出两点M,N的坐标，利用三角形面积公式S=12×（1）由题意知c=32∴椭圆C的标准方程为x2（2）翻折前，MN所在直线方程为y=x，联立y=xx24+y2=1不妨设M−则M于是F1设异面直线MN与F1F2cosθ=F故异面直线MN与F1F2（3）设翻折前MN所在直线方程为y=kx，联立y=kxx24+y设Mx1,由韦达定理有x1翻折后，M0,故OM=则OM⋅所以cos∠MON=OM于是sin∠MON=1−所以S△OMN令m=2k2+1，有m≥1令fmfm在1,+所以当m=1时fm取得最小值，为f1=5S△OMN的最大值为2×15−4=2.此时所以当直线的斜率k=0时，△OMN面积取得最大值，最大值为2.19．【答案】（1）解：由fx=lnx当x=1时,f1所以，曲线y=fx在点1,0处的切线方程为：y=x−1由题意，则这条切线与曲线y=x联立得x−1=x2−2ex+a，

因为两曲线恰有一个公共点，

所以，该一元二次方程有两个相等实根，则判别式Δ=(2e+1)所以a+1=(2e+1)24，

所以a=4（2）解：因为m所以m'又因为x>0，所以x2>0，

因此m'①当a≤0时，对任意x>0，都有x2−a>0，

则所以，函数mx在区间0,+②当a>0时，当0<x<a时，x2−a<0当x>a时，则x2−a>0因此，函数mx在区间0,a上单调递减，在区间综上所述，函数mx当a≤0时，函数mx在区间0,+当a>0时，函数mx在区间0,a上单调递减，在区间（3）解：由hx要使函数hx至少存在一个零点，

只需方程lnxx−移项得a=lnxx−x2则问题转化为：求函数φx将φx拆成两个函数：ux=lnxx先讨论ux的单调性，

因为u'x=1−lnxx2,所以，当当x>e时，u'x<0，则u因