全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第54讲直线与椭圆、双曲线的位置关系【答案】作业手册

第54讲直线与椭圆、双曲线的位置关系1.B[解析]因为x24-y23=1,所以a=2,b=3,且焦点在x轴上,可知两条渐近线的斜率分别为k1=-32,k2=32.如图,要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点,则直线l2.D[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x12a2+又x1+x2=2,y1+y2=-2,故直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=b2a2,故直线AB的方程为y=b2a2(x-3),联立直线与椭圆的方程得(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0,可得x1+x2=6b2a2+3.A[解析]由题意知a2=2,b2=1,∴c=a2-b2=1,即F(1,0).直线l的斜率k=tan60°=3,∴直线l的方程为y=3(x消去y整理得7x2-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=127,x1x2=47,∴|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x14.B[解析]由题意,易得直线MN的方程为x=165,设P(x,y),则d=x-165,|PF|=5x4-42=5x4-45.D[解析]如图,由题意知F(1,0),设l:x=ky+1(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),由x消去x整理得(k2+2)y2+2ky-1=0,所以y1+y2=-2kk2+2,y1y2=-1k2+2,故|AB|=322=1+k21+k2·-2kk2+22-4-1k2+2=1+k2·8+8k2k2+2,又k>0,可得k=2,故直线6.AC[解析]由题意知F1,F2分别为双曲线M的左、右焦点,由双曲线的定义可知C正确,D错误.因为M的渐近线的斜率为±32,直线y=x的斜率为1,且-32<1<32,所以直线y=x与M有2个交点,直线y=32x+1与M7.5[解析]因为椭圆x249+y224=1,所以a=7,b=26,c=5.设椭圆的左焦点为F1,右焦点为F,连接MF1,因为N为MF的中点,O为F1F的中点,|ON|=4,所以|F1M|=8,故|MF|=2a-8=14-8=6,又|F1F|=10,所以∠F1MF=90°,所以|OM|=12|8.2[解析]不妨取一条渐近线的方程为y=bax,F(c,0),则直线EF的方程为y=-ab(x-c解得x=a2c,y=abc,∴Ea2c,abc,则线段EF的中点M的坐标为a2+c22c,ab9.解:(1)由题意可得c=22,2a=43,a2(2)由x212+y24=1,y=1由Δ=4m2-4×43(3m2-12)>0,解得m2<163.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x11+132(x1+x2)2-4x1x210.B[解析]依题意,椭圆的左焦点为F(-c,0),|FM|=15|OF|=15c,如图,过M作MM'⊥x轴,垂足为M',由∠MFM'=60°,得|FM'|=12|FM|=110c,|MM'|=32|FM|=310c,则M-910c,310c.设A(x1,tan60°=3,x1+x22=-910c,y1+y22=310(y1+y2)(y1-y2)b2=0,则b2a2=-(y1+y211.AB[解析]如图,对于A,根据双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2,故A正确;对于B,因为∠F1AF2=90°,|F1F2|=23,所以|AF1|2+|AF2|2=12,又|AF1|-|AF2|=2,故|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=4,故|AF1||AF2|=4,故S△F1AF2=12|AF1||AF2|=2,故B正确;对于C,过点P(1,1)且与双曲线只有一个公共点的直线有与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线,共4条,故C错误;对于D,假设存在直线与双曲线交于M,N两点,P(1,1)为MN的中点,设M(x1,y1),N(即x1+x2=2,y1+y2=2,又x12-y122=1,x22-y222=1,故x12-x22=y12-y222,即2(12.B[解析]因为P(cosθ,3sinθ),即xP=cosθ,yP=3sinθ,所以xP=cosθ,yP3=sinθ,又sin2θ+cos2θ=1,所以yP23+xP2=1,即点P在椭圆y23+x2=1上,又点A(-2,0)在椭圆外,所以当过点A(-2,0)的直线与椭圆相切于点P时,∠OAP取得最大值,如图,设切线PA的方程为y=k(x+2),由y=k(x+2),y2313.x220+[解析]对于x+2y-6=0,令x=0得y=3,令y=0得x=6,如图,不妨设A(0,3),B(6,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),M在N上方,则AM=(x1,y1-3),NB=(6-x2,-y2),AB=(6,-3).因为M,N是线段AB的三等分点,所以AM=13AB=(2,-1),NB=13AB=(2,-1),则x1=2,y1-3=-1,6-x2=2,-y2=-1,解得x1=2,y1=2,x2=4,y2=1,则M(2,2),N(4,1).因为M,N两点均在椭圆C上,所以4a2+4b2=114.解:(1)如图,设直线l的倾斜角为θ,由对称性,不妨设0<θ<π2由|y1||AF1|=sinθ,得|AF1|=|y1|sinθ,同理可得|BF1|=|y2|sinθ,|AB|=|y1-y2|sinθ,因为|AF1|·因为y1,y2同号且0<y1y2<1,所以(y1-y2)2=y1y2,所以y1y22(2)设直线l的方程为x=my-c(m≠0),由x=my-c,x2a2-y2b2=1,得(b2则b2m2-a2≠0,Δ>0,y1+y2=2mcb2b2m2-因为直线l交C的左、右两支于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以y1y2>0,则b2m2-a2>0,由(1)知(y1+y2)2=5y1y2,即2mcb2b2m2-a22=5b4b2m2-a2,化简得m2=5a25b2-即0<e25-1<e2-1,可得e>5,故e的取值范围为(5(3)证明:当e=3时,c=3a,b=22a,由(2)得m2=5a25b2-4c2=54,y1+y2=16ma3,则x1+x2=m(y1+y2)-6a=23a.设线段AB的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22=a3,y0=y1+y22=8ma3,又F2(3a,0),所以kF15.ACD[解析]当y≥0时,可得x24-y2=1,双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±x2,当y<0时,可得x24+y2=1,如图①所示,曲线C的上半部分为双曲线的一部分,下半部分为椭圆的一部分,且曲线C关于y轴对称,根据对称性,只需讨论a≥0的情况.当a=0时,若b<-1,则直线与曲线无交点;若b=-1,则直线与曲线有1个交点;若b>-1,则直线与曲线有2个交点.当0<a≤12,b<-1时,如图②,当直线y=ax+b与椭圆部分相切时,直线与曲线有1个交点.若a不变,则当b→-1时,直线与曲线有2个交点,当b→-∞时,直线与曲线无交点.所以直线与曲线的交点个数有0,1,2三种可能.当0<a<12,b≥-1时,如图③,直线y=ax+b与曲线C有2个交点.当a=12,b≥-1时,直线y=ax+b与曲线C有1个或2个交点.当a>12时,如图④,分别以直线y=ax+b与双曲线、椭圆部分相切为界,当直线在双曲线部分的切线上方时,直线与曲线有1个交点;当直线与双曲线部分相切时,直线与曲线有2个交点;当直线在椭圆部分的切线下方时,直线与曲线有1个交点;当直线与椭圆部分相切时,直线与曲线有2个交点;当直线在两条切线之间时,直线与曲线有3个交点.综上,D(a,b)={0,1,2,3},A正确.直线y=ax+2恒过点(0,2),如图⑤所示,当0≤a<12时,直线与曲线有2个交点;当a≥12时,直线与曲线有1个交点.所以直线y=ax+2与曲线C的交点个数可能为1,2,即D(a,2)={1,2},B错误.直线y=a(x-3)过定点(3,0),以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界,由y=a(x-3),x24+y2=1,得(1+4a2)x2-24a2x+36a2-4=0,由Δ=576a4-4(1+4a2)(36a2-4)=0,a≥0,可得a=15,如图⑥所示,当0≤a<15时,直线与曲线有2个交点;当a=15或a>12时,直线与曲线有1个交点;当15<a≤12时,直线与曲线无交点.所以直线y=a(x-3)与曲线C的交点个数可能为0,1,2,即D(a,-3a 16.13[解析]不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e=ca=12,所以a=2c,则b=3c