全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第36讲数列的概念与简单表示法【正文】听课手册

第六单元数列第36讲数列的概念与简单表示法【课标要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.

1.数列的有关概念概念含义数列按照排列的一列数

数列的项数列中的

通项公式如果数列{an}的第n项an与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式

递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=

2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数

无穷数列项数

项与项间的大小关系递增数列an+1an

其中n∈N*递减数列an+1an

常数列an+1an

摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是,对应的函数值是,记为an=f(n).

4.an与Sn的关系已知数列{an}的前n项和为Sn,则an=S15.数列的最大(小)项在数列{an}中,若an最大,则an≥an-1,an≥an+1(n≥2,n∈N*);若an最小题组一常识题1.[教材改编]数列1,13,15,17,19,…的一个通项公式是a2.[教材改编]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,那么它的通项公式为an=.

3.[教材改编]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图中的数1,5,12,22,…称为五边形数,则第7个五边形数是.

题组二常错题◆索引:不能正确求出通项公式;忽视数列是特殊的函数,其自变量属于正整数集N*或{1,2,…,n};根据Sn求an时忽视对n=1的验证.4.已知数列1,3,5,7,3,11,…,则43是这个数列的第项.

5.在数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是.

6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为.

根据数列的前几项求数列的通项公式例1(1)数列35,47,59,611,…,则该数列的第n项应为 (A.n2n-1 C.n2n+1 (2)数列1,-1,1,-1,…(n∈N*)的一个通项公式为 ()A.(-1)n+2 B.cos(n-1)πC.1-(-1)n2 总结反思由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列).可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n的一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*来处理.由an与Sn的关系求通项公式例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2-3,则数列{an}的通项公式为an=.

(2)[2025·广州模拟]已知数列{an}满足a1+3a2+9a3+…+3n-1an=n+13,则数列{an}的通项公式为总结反思an与Sn的关系问题的求解思路:(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含有an,an-1的关系式再求解,注意对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2;(2)利用Sn=an-an-1(n≥2)转化为只含有Sn,Sn-1的关系式再求解.变式题(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,Sn+1=Sn+2an-1,则an=.

(2)[2026·安徽江淮十校二联]记Sn为数列{an}的前n项和,已知3Snn+n=3an+1,a1=23,则数列{an数列的函数性质例3(1)(多选题)[2025·佛山期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,an=n-22n-15(n∈N*),A.数列{an}是递减数列 B.当且仅当n=7时,an取得最小值C.数列{Sn}是递减数列 D.当且仅当n=7时,Sn取得最小值(2)已知数列{an}的首项a1=1,an+1-an=cosnπ3,n∈N*,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2026的值是总结反思1.求数列的最大项与最小项的常用方法:(1)利用图象或最值法;(2)利用单调性及an≥an-1,an≥an+1(2.判断数列单调性的方法如下:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.3.理解递推数列周期性的概念,掌握求递推数列周期性的常用方法(赋值法、迭代法、加减法、归纳法等)和常见类型,有利用递推数列周期性解决问题的意识.变式题(1)已知数列{an}满足an+1=22-an,且a1=12,则(2)(多选题)[2025·泉州模拟]已知数列{an}的前n项和Sn=kn2+n-k+2,则下列说法正确的是 ()A.若{an}是等差数列,则k=2B.若{an}不是递增数列,则k≤2C.若Sn<Sn+2,则k>2D.若Snn的最小值为3,则k解数列的递推公式不同类型的方法微点1形如an+1=an+f(n)例4若数列{an}满足a1=1,an+1=an+ln2n+12n-1,则anA.2n-1 B.2n+1C.1+ln(2n-1) D.1+ln(2n+1)总结反思根据形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出an-a1与n的关系式,进而得到{an}的通项公式.微点2形如an+1=an·f(n)例5已知数列{an}满足a1=1,an+1=nn+1an(n∈N*),则an= (A.n+1 B.n C.1n+1 D总结反思根据形如an+1=an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出ana1与n的关系式,进而得到{an微点3形如an+1=pan+q例6在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3(n∈N*),则该数列的通项公式为an= ()A.2n+1-3 B.2n-3C.2n+3 D.2n-1-3总结反思根据形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1)的递推公式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列{an+x},即将原递推公式化为an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an}的通项公式.微点4形如an+1=pan+qn例7已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+2n(n≥2),则an=.

总结反思根据形如an+1=pan+qn的递推公式求通项公式时,可分两类:(1)p=q,直接同除以pn+1,构造an+1pn+1=anpn+1p,即利用等差数列求a(2)p≠q,则先构造公比为p的等比数列{an+xqn},求出数列{an+xqn}的通项公式,最后求出{an}的通项公式.微点5形如an+1=AanBan+C(例8在数列{an}中,已知a1=2,an+1=2an2+an,则an=A.2n+1 B.2n C.n+1 总结反思根据形如an+1=AanBan+C(A,B,C为常数)的递推公式求通项公式时,一般对递推公式两边同时取倒数.当A=C时,化为1an+1-1an=BA的形式,可构造等差数列1an;当A≠C时,化为11.已知数列{an}满足a1=12,an+1=an+1n2+n,则an= A.32-1n B.C.1-1n+1 D.32.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,(n∈N*),则{an}的通项公式是 ()A.2n-1 B.2nC.2n+1 D.2n-13.[202