全品高考备战2027年数学一轮学生用书07第45讲空间向量及其运算和空间位置关系【答案】听课手册

第45讲空间向量及其运算和空间位置关系●课前基础巩固【知识聚焦】1.互相平行或重合非零向量a平行同一个平面a=λbxa+yb+zc12.(1)|a||b|cosθ(2)a·b=0(3)a23.(1)|a|cos<a,b>b|b|投影向量4.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0(【对点演练】1.1[解析]∵λa+μb(λ,μ∈R)与a,b共面,∴①②④不正确.2.-12a+12b+c[解析]BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+3.10[解析]∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=-6-4+m=0,解得m=10.4.④[解析]对于①,若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①为假命题;对于②,三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②为假命题;对于③,只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③为假命题;对于④,根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④.5.18[解析]因为l1∥l2,所以m∥n,所以42=a5=b4,解得a=10,b=8,所以a+6.17或-1[解析]∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,∴cos120°=a·b|a|·|b|=-2●课堂考点探究例1[思路点拨](1)观察空间图形,根据几何关系,结合向量的线性运算,即可求解;(2)分别求向量坐标,再利用三点共线得关于参数的方程组,解方程组,求出a,b的值,即可得a+b.(1)C(2)A[解析](1)如图,连接ON,因为BN=NC,所以ON=12(OB+OC),因为OM=2MA,所以OM=23OA,所以MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23a+1(2)由题可知AB=(-1,-2,-3),BC=(-1,a-1,b-2),因为A,B,C三点共线,所以a-1=-2,b-2=-3,解得a=-1,b=-1,所以a+b=-2.故选A.变式题D[解析]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AB,A1C1的中点,则EF=EA+AA1+A1F=12BA+BB1+12AC=12BA+BB例2[思路点拨](1)利用共面向量定理,即可证明A,E,C1,F四点共面;(2)把AB,AD解:(1)证明:∵AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+13AA1+23AA1=AB+13AA1+AD+23AA1=∴A,E,C1,F四点共面.(2)∵EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE)=AD+23DD1-AB-13BB∴x=-1,y=1,z=13∴x+y+z=13变式题(1)C(2)25[解析](1)由M,A,B,C四点共面,得12+2x+y=1,即2x+y=12(2)∵AB=2e1-e2,BC=3e1+3e2,∴AC=AB+BC=5e1+2e2,∵A,C,D三点共线,∴AC∥CD,又e1,e2不共线,CD=e1+ke2,∴AC=5CD,∴2=5k,∴k=25例3[思路点拨](1)利用空间向量基本定理,用CA,CB,CD表示CE,CF,即可求出CE·CF;(2)记AB=a,AD=b,AA1=c,根据空间向量的线性运算表示出A(1)B(2)D[解析](1)由题知,CE=12(CA+CB),CF=12(CA+CD),所以CE·CF=14(|CA|2+CA·CD+CB·CA+CB·CD)=14(2)记AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<a,c>=π3,所以a·b=b·c=a·c=12.因为AC1=a+b+c,所以AC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c变式题(1)A(2)C[解析](1)因为向量a=(1,1,t)在平面xOy上的投影向量为m,所以m=(1,1,0).因为向量a=(1,1,t)在向量b=(-1,0,0)上的投影向量为n,所以n=a·b|b|2b=-11b=(1,0,0),所以cos<m,n>=m·n|m||(2)设OA=a,OB=b,OC=c,则ON=OC+CN=OC+13CB=OC+13(OB-OC)=13OB+23OC=13b+23c,∵M为OA的中点,∴MN=ON-OM=ON-12OA=-12a+14根据题意可知a·b=|a|·|b|cos60°=12,同理a·c=12,b·c=12,代入上面式子,得|MN|=1936=例4[思路点拨](1)取线段B1C的中点P,以D为原点建立空间直角坐标系,用向量法求解线面关系即可.(2)设AB=a,AD=b,AA1=c,以它们为基底表示出A1C,BD解:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(3,0,2),A(3,0,0),B1(3,4,2),C(0,4,0),D1(0,0,2).设P为线段B1C的中点,则P32,4,1.设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),由令y=1,得x=43,z=2,则n=43,1,2.A1P=-32,4,-1,因为n·A1P=43×-32+1×4+2×(-1)=0,所以n⊥A1P,又A1(2)证明:设AB=a,AD=b,AA1=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,则A1C=a+b-c,BD=b-a因为AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,所以a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=12因为A1C·BD=(a+b-c)·(b-a)=12-1+1-12-12+12=0,A1C·BB1=(a+b-c)·c=12+12-1=0,BD∩所以直线A1C⊥平面BDD1B1.变式题解:(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,AE⊥BD,AE⊂平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(2)假设在线段AF上存在点M使得EM∥平面ADC.由(1)知AE⊥平面BCD,则AE⊥EF,又EF⊥BD,AE⊥BD,∴AE,BD,EF两两垂直.以E为坐标原点,分别以EF,ED,EA所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=BD=DC=AD=2,则BE=ED=1,AE=3,BC=23,EF=33,则F33,0,0,E(0,0,0),A(0,0,3),D(0,1,0),C(3,2,0),所以AD=(0,1,