全品高考备战2027年数学一轮备用题库04第52讲直线与圆、圆与圆的位置关系【答案】作业手册

第52讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.C[解析]将两圆的一般方程化为标准方程得C1:(x-2)2+(y+1)2=9,C2:(x+2)2+(y-2)2=4,可知圆心为C1(2,-1),C2(-2,2),圆C1的半径r1=3,圆C2的半径r2=2.因为|C1C2|=(2+2)2+(-1-2)2=52.C[解析]因为直线mx-y+m+3=0与圆x2+y2=4相切,所以由圆心到直线的距离等于半径得|m+3|m2+1=2,3.A[解析]由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=|m|m2+1<1<5,故直线l与圆C4.C[解析]圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的圆心为C2(3,4),半径r2=4,则|C1C2|=32+42=5=r1+r2,故两圆外切,则两圆公切线的条数为35.CD[解析]易知直线y=kx+1恒过点P(0,1),圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3.当直线经过圆心时,|AB|最大,|AB|max=2r=6;连接PC,当直线与PC所在直线垂直时,|AB|最小,|AB|min=2r2-|PC|2=2×9-5=4.所以6.y=3x+2或y=3x-2[解析]因为切线的一个方向向量为(1,3),所以切线的斜率为3,故可设切线方程为y=3x+b.因为直线y=3x+b与圆x2+y2=1相切,圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1,圆心(0,0)到直线y=3x+b的距离为|3×0-0+b|(3)2+(-1)2=|b|2,所以|b|2=1,所以b=2或b=-2,所以与圆7.1[解析]由题得4-x2=k(x+3)-1,作出曲线y=4-x2与直线y=k(x+3)-1,如图所示,则原问题转化为当直线与曲线有两个不同的交点时,求实数k的取值范围.直线y=k(x+3)-1过定点(-3,-1).当直线与半圆相切时,圆心O到直线的距离d=2,即|3k-1|k2+1=2,解得k=3-265(舍去)或k=3+28.C[解析]圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为2,直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内的定点(0,1),斜率可正可负可为0,A,B,D选项都有可能,C选项不可能.故选C.9.B[解析]圆心坐标为(2,2),半径为2.因为l将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,所以两段弧所对的圆心角分别为4π3和2π3,由几何性质可知,圆心到l的距离为1,设l的方程为y=kx,则|2k-2|k210.D[解析]圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),由题意得|PO|2=|PA|2+|OA|2=1+1=2,所以a2+b2=2.令a=2cosθ,b=2sinθ,θ∈[0,2π),则a+2b=2cosθ+22sinθ=10sin(θ+φ),其中tanφ=12,所以a+2b的最大值为10.故选D11.ACD[解析]因为12+12+a+a-2a-4=-2<0,所以P(1,1)在圆M内,所以过点P的任意直线与圆M都相交,故A选项正确.圆M的圆心为M-a2,-a2,半径r=2a2+8a+162,点M-a2,-a2到直线x+y+2=0的距离为-a2-a2+212+12,因为圆M与直线x+y+2=0无交点,所以-a2-a2+212+12>r=2a2+8a+162,即-a2-a2+212+12>a2+4a+82,所以|-a+2|>a2+4a+8,两边平方得a2-4a+4>a2+4a+8,解得a<-12,故B选项错误.圆M的半径r=2a2+8a+162,当a=-2时,圆M的半径最小,则面积最小,此时圆心为M(1,1),半径r=2,圆Q:x2+y2+6x-10y+16=0的圆心为Q(-3,5),半径R=62+(-10)2-4×162=32,可得|MQ|=(1+3)2+(1-5)2=42=R+r=32+2,所以当圆M的面积最小时,圆M与圆Q外切,圆12.[0,8+42][解析]以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-2,0),B(2,0),点P在☉O:x2+y2=4上.设M(x,y),则(x+2)2+y2=2×(x-2)2+y2,化简得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+y2=32,所以点M的轨迹是以Q(6,0)为圆心,42为半径的圆.因为42-2<|OQ|=6<42+2,所以☉13.32[解析]圆M:(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4,当∠PBA最小时,如图所示,PB与圆M相切.连接MP,BM,则PM⊥PB,又|BM|=(0-5)2+(2-5)2=34,|MP|=4,所以由勾股定理得|PB|=|BM14.解:(1)两圆方程相减得x-2y+4=0,故公共弦AB所在直线的方程为x-2y+4=0.因为圆C1的圆心为C1(-1,-1),半径r1=10,圆心C1到直线AB的距离d=|-1+2+4|5=5,所以|AB|=2r1(2)圆C2的圆心为C2(1,-5),过点C1,C2的直线方程为y+1-5+1=x+11+1,即2x+y+3=0.由2x+y+3=0,y=-x,得x=-3,y=3,故所求圆的圆心为(-3,3),点(-3,3)到直线AB的距离为(3)经过A,B两点且面积最小的圆就是以AB为直径的圆,由x得x=-2,y=1,故所求圆的圆心为(-2,1),又|AB|=25,所以所求圆的半径为5,故所求圆的方程为(x+2)2+15.解:(1)由题意得O(0,0),x2+y2-2x-2y=0可化为(x-1)2+(y-1)2=2,故E(1,1),圆E的半径为2.由(0-1)2+(0-1)2=2,知O(0,0)在圆E上,又圆O与圆E内切,故r>2,所以|OE|=r-2=2,解得r=22.将y=kx+1与x2+y2=8联立得(1+k2)x2+2kx-7=0,Δ=4k2+28(1+k2)>0恒成立.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2k1+k2,x1x故y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-7k21+k2-由OM·ON=x1x2+y1y2=-71+k2+1-8(2)当直线AB的斜率不存在时,直线CD的斜率也不存在,此时|AB|=|CD|,λ=|AB||当直线AB或直线CD的斜率为0时,不满足倾斜角互补.当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB:y-1=k(x-1),圆心O到直线AB的距离d=|k故|AB|=28-d2=28-直线CD的方程为y-1=-k(x-1),故|CD|=27(-27k2-2k+71+k2,7k2-1+4当k>0时,λ=1+47k+7k-2≤1+427k·7k-2=当k<0时,λ=1+47k+7k-2≥1+4-2(-7k)·-7k-2=32,当且仅当-716.D[解析]取线段AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,则CP·(CA+CB)=2CP·CD=2(CD+DP)·CD=2|CD|2.直线l经过点M(0,4),考虑临界情况.当线段AB的中点D与点M重合时(此时CM⊥AB),弦AB的长最小,此时CD最长,且|CD|=|CM|=4-3=1,但此时直线l与x轴平行,点P不存在;当线段AB的中点D与点C重合时,点P与原点O重合,此时CD最短,为0,符合题意.故CP·(CA+CB)的取值范围为[0,2).故选D.17.①②④[解析]对于①,当m=12时,S=(x,y)(x-2)2+y-122=1,y≥0∪(x,y)(x-2)2+y+122=1,y≥0,对于(x-2)2+y-122=1,令y=0,解得x=2±32,对于(x-2)2+y+122=1,令y=0,解得x=2±32,画出S表示的区域,如图甲所示,所以S∩{(x,y)|y=0}=2-32,0,2+32,0,所以①正确.对于②,当m=52+1时,S=(x,y)(x-2)2+y-52+12=1,y≥0∪(x,y)(x-2)2+y+52+12=1,y≥0=(x,y)(x-2)2+y-52+12=1,画出S表示的区域,如图乙所示.圆(x-2)2+