全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第16讲导数的概念及其意义、导数的运算【答案】听课手册

第三单元一元函数的导数及其应用第16讲导数的概念及其意义、导数的运算●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)f(x0+Δ(2)x=x0斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)2.αxα-1cosx-sinxaxlna1xlnaf'(x)±g'f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)y'u·u'x【对点演练】1.240[解析]f(6)=108,f(2)=12,所以平均变化率为ΔyΔx=f(6)-f(2)6-2=108-1242.-4.8m/s[解析]∵s'=-4t,∴该物体在1.2s末的瞬时速度为(-4)×1.2=-4.8(m/s).3.y=-xπ+1[解析]由题得y'=xcosx-sinxx2,∴切线的斜率k=y'|x=π=-1π,则切线方程为y=-4.2cos2x[解析]方法一:y'=(2sinxcosx)'=2(sinx)'cosx+2sinx(cosx)'=2cos2x-2sin2x=2cos2x.方法二:y'=cos2x·(2x)'=2cos2x.5.-8[解析]f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,可得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,则f(2)=-8.6.3(2x+3)26(2x+3)2[解析]f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2.[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.●课堂考点探究例1[思路点拨]根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复合函数求导的方法求导.解:(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(2)y'=lnx+1x'=(lnx)'+1x'(3)y'=cosxex'=((4)∵y=xsin2x+π2cos2x+π2=12xsin(4x+π)=-12xsin4x,∴y'=-12sin4x-1(5)∵y=tanx=sinxcosx,∴y'=cosx·变式题解:(1)y'=cosx-xsinx-1-(2)y'=(2x+2)e2-x-(x2+2x-1)e2-x=(3-x2)e2-x.(3)f'(x)=12·55x(4)因为f(x)=sinx21-2cos2x4=sinx2·-cosx例2[思路点拨](1)利用导数的几何意义求切线的斜率,从而求切线的方程;(2)设切点为(x0,x03+x0-16),利用导数的几何意义写出切线方程,根据切线过原点求出x0解:(1)由f(x)=x3+x-16,得f'(x)=3x2+1,所以f'(2)=3×22+1=13,所以曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,x03+x0-16),由(1)得f'(x0)=3所以切线方程为y-(x03+x0-16)=(3x02+1)(x因为切线经过原点,所以-(x03+x0-16)=-x0(3x02+1),所以2x则f'(-2)=3×(-2)2+1=13,所以所求的切线方程为y=13x,切点为(-2,-26).变式题(1)D(2)y=xey=-[解析](1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,可得a=1,则f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.(2)当x>0时,y=ln|x|=lnx.设过坐标原点的直线与曲线y=lnx相切于点P(x0,lnx0),由y=lnx,得y'=1x,所以1x0=lnx0x0,解得x0=e,所以P(e,1),则该切线的方程为y-1=1e(x-e),即y=x例3[思路点拨](1)利用切点既在切线上又在曲线上,结合曲线在x=2处的切线斜率为4,解出a和b的值,从而可得答案.(2)设切点为(x0,y0)(x0≠0),利用导数的几何意义,结合切线经过坐标原点得到关于x0的方程,根据此方程应有两个相异的非零实数根,求得a的取值范围即可.(1)C(2)a<-4或a>0[解析](1)因为y=aex-2+x,所以y'=aex-2+1,由题意可得a解得a=3,b=-3,所以(2)设切点为(x0,y0)(x0≠0),则y0=(x0+a)ex0,由y'=(x+a+1)ex,知(x0+a+1)ex0=(x0+a)ex0x0,所以关于x的方程(x+a+1)ex=(x+a)exx有两个相异的非零实数根,即关于x的方程x+a+1=x+ax变式题(1)C(2)(ln2,+∞)(3)π2(答案不唯一)[解析](1)设f(x)=ex-2x,g(x)=lnx.因为函数f(x)=ex-2x的导函数为f'(x)=ex-2,所以f'(0)=e0-2=-1,所以曲线y=ex-2x在点(0,1)处的切线方程为y=-x+1.因为函数g(x)=lnx的导函数为g'(x)=1x,所以g'(x0)=1x0,所以曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0).直线y=-x+1的斜率为-1,倾斜角为135°.因为曲线y=ex-2x在点(0,1)处的切线与曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线的倾斜角互补,所以直线y-lnx0=1x0(x-x0)的倾斜角为45°,所以直线y-lnx0=1x0(x-x(2)设切点为(x0,lnx0)(x0>0),由题得y'=1x,故切线的斜率为1x0,切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),因为切线经过点(2,t),所以t-lnx0=1x0(2-x0),故关于x0的方程(t+1)x0-x0lnx0-2=0有两个不同的正实数根.不妨设g(x)=(t+1)x-xlnx-2(x>0),则g'(x)=t-lnx.当0<x<et时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>et时,g'(x)<0,g(x)单调递减.故g(x)max=g(et)=et-2,又x→0+时,g(x)→-2,x→+∞时,g(x)→-∞,则e(3)f'(x)=cos2x,由题意可知,f'(x1)f'(x2)=-1,即cos2x1·cos2x2=-1,所以cos2x1=1,cos2x2=-1,得x1=k1π,x2=π2+k2π,k1,k2∈Z,或cos2x1=-1,cos2x2=1,得x1=π2+k3π,x2=k4π,k3,k4∈Z,所以x1-x2=-π2+(k1-k2)π或x1-x2=π2+(k例4[思路点拨](1)根据导数的几何意义可知公切线的斜率为2x1和4ex2-2,则2x1=4ex2-2,分类讨论公切线与曲线C(1)A(2)(-ln2-1,+∞)[解析](1)由y=x2,得y'=2x,由y=4ex-2得y'=4ex-2.设公切线与曲线C1的切点为(x1,x12),则切线的斜率为2x1,设公切线与曲线C2的切点为(x2,4ex2-2),则切线的斜率为4ex2-2,所以2x1=4ex2-2.当公切线与曲线C1,C2的切点相同时,x1=x2,x12=4ex2-2,可得x1=x2=2,所以切点为(2,4),此时公切线的方程为4x-y-4=0;当公切线与曲线C1,C2的切点不同时,x1≠x2,2x1=x12-4ex2-2x1-x2,得x1=2(2)设f(x)=lnx,g(x)=x2+2x+a(x<0),则f'(x)=1x,g'(x)=2x+2(x<0).设公切线与曲线y=x2+2x+a(x<0)的切点为(s,t),s<0,与曲线y=lnx的切点为(m,n),m>0,则2s+2=1m=n-tm-s,又t=s2+2s+a,n=lnm,∴a=s2-1-ln(2s+2).设h(s)=s2-1-ln(2s+2)(-1<s<0),则h'(s)=2s2+2s-1s+1<0,∴变式题(1)ex-y-1=0(或x-y=0)(2)[2-2ln2,+∞)[解析](1)设f(x)=ex-1,g(x)=lnx+1,公切线与f(x)的图象相切于点(m,em-1),与g(x)的图象相切于点(n,lnn+1).因为f'(x)=ex,g'(x)=1x,所以公切线的斜率k=em=1n,所以公切线方程为y-em+1=em(x-m),y-lnn-1=1n(x-n),整理得y=emx-(m-1)em-1,y=1nx即m=-lnn,(m-1)em+1=-lnn,所以(m-1)em+1-m=((2)由题意知f'(x)=12x,g'(x)=1x.设公切线分别与曲线y=f(x),y=g(x)相切于点(x1,x1),(x2,a+lnx2),则f'(x1)=12x1,g'(x