全品高考备战2027年数学一轮备用题库04第33讲平面向量的数量积【答案】作业手册

第33讲平面向量的数量积1..B[解析]∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B2.C[解析]a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b|=41·(13.A[解析]因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=0,又|a|=3,所以a·b=-32,所以cos<a,b>=a·b|a||4.A[解析]由题知AM=AB+BM=AB+12AD,AN=AD+DN=23AB+AD,且AB·AD=0,则AM·AN=AB+12AD·23AB+AD=23|AB|2+12|AD|25.BD[解析]对于A,∵a=(1,3),b=(2,-4),∴a·b=1×2+3×(-4)=-10,故A错误;对于B,cos<a,b>=a·b|a||b|=-1010×20=-22,又∵0≤<a,b>≤π,∴向量a,b的夹角为3π4,故B正确;对于C,∵a+12b=(1,3)+12(2,-4)=(2,1),∴a+12b=22+12=5,故C错误;对于D,∵c·6.-2[解析]由已知条件,得a·b=0,即m+2=0,即m=-2.7.-2[解析]a-b=(4,2),因为(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=0,即4+2k=0,解得k=-2.8.B[解析]因为向量a在向量b上的投影向量为12b,a,b是两个单位向量,所以|a|cos<a,b>·b|b|=12b,所以cos<a,b>=12,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π3,所以a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×12=12.又|a|=1,|a-b|=(a-b)2=1+1-2×1×1×12=1,所以cos<a,a-b>=a·(a-b)|a9.A[解析]设b=(x,y),又a=(1,3),所以a-b=(1-x,3-y),因为|a-b|=4,所以|a-b|=(x-1)2+(y-3)2=4,所以点(x,y)在以C(1,3)为圆心,4为半径的圆上,又|OC|=2,所以|b|=x2+y210.A[解析]方法一:以A为原点,AB的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则AB=(2,0),AP=(x,y),∵-1<x<3,∴AB·AP=2x∈(-2,6).方法二:如图②,以{AB,AE}为基底,则<AB,AE>=π2,且|AB|=2,|AE|=23.∵P为正六边形内一点,∴AP=xAB+yAE,-12<x<32,则AP·AB=(xAB+yAE)·AB=xAB2=4x.∵-12<x<32,∴-2<方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,P是正六边形内一点,AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>,|AB|=2.由图可得,当P位于C处时,|AP|cos<AP,AB>最大,又BC=2,∠CAB=30°,故此时|AP|cos<AP,AB>=23×32=3,则AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>=2×3=6;当P位于F处时,|AP|cos<AP,AB>最小,又AF=2,∠FAB=120°,故此时|AP|cos<AP,AB>=2×-12=-1,则AP·AB=|AB||AP|cos<AP,AB>=2×(-1)=-2.∵P在正六边形内,∴AP·AB的取值范围为(-2,6).11.AC[解析]∵四边形ABCD为矩形,∴以A为原点,分别以AB,AD的方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),E2,12,F(1,1),∴AE=2,12,AF=(1,1),EF=-1,12.对于A,|EF|=(-1)2+122=52,故A正确;对于B,∵EF·AF=-1+12=-12≠0,∴EF与AF不垂直,故B不正确;对于C,AE·AF=2+12=52,故C正确;12.3[解析]由F1+F2+F3=0,可得F1+F2=-F3,所以(-F3)2=(F1+F2)2,化简可得F32=F12+F22+2F1·F2,因为|F1|=|F2|=|F3|=1N,所以2F1·F2=-1,所以|F1-F2|=(F113.43-518[解析]方法一:因为CE=12DE,所以CE=13BA,则BE=BC+CE=13BA+BC,可得λ=13,μ=1,所以λ+μ=43.由题意可知|BC|=|BA|=1,BA·BC=0,因为F为线段BE上的动点,所以设BF=kBE=13kBA+kBC,k∈[0,1],则AF=AB+BF=13k-1BA+kBC,又因为G为AF的中点,所以DG=DA+AG=-BC+12AF=1213k-1BA+12k-1BC,可得AF·DG方法二:以B为坐标原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-1,0),B(0,0),C(0,1),D(-1,1),E-13,1,可得BA=(-1,0),BC=(0,1),BE=-13,1,因为BE=λBA+μBC=(-所以λ+μ=43.因为点F在线段BE:y=-3x,x∈-13,0上,所以设F(a,-3a),a∈-13,0,又G为AF的中点,所以Ga-12,-32a,可得AF=(a+1,-3a),DG=a+12,-32a-1,则AF·DG=(a+1)22+(14.解:(1)∵a=(4,3cosα),b=(1,2tanα),且a∥b,∴8tanα-3cosα=0,∴8sinα=3cos2α=3-3sin2α,∴3sin2α+8sinα-3=0,即(3sinα-1)(sinα+3)=0,可得sinα=13(2)∵a⊥b,∴a·b=4+6cosαtanα=0,∴sinα=-23,又α∈-∴cosα=53,∴sin2α=2sinαcosα=-459,cos2α=2cos2α-1∴cos2α+π3=19×12+15.解:(1)如图所示.由DE=2EC可得EC=13DC,所以EF=EC+CF=13DC+12CB=16又EF=λAB+μAD,所以λ=512,μ=-12,所以λ+μ=-(2)方法一:以点A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1).由点P是线段AF上的动点(含端点),可令AP=tAF,t∈[0,1],所以AP=tAF=(3t,t),又AD=(0,2),则DP=AP-AD=(3t,t-2),所以AP·DP=10t2-2t,t∈[0,1],由二次函数的性质可得,当t=110时,AP·DP取得最小值-110;当t=1时,AP·DP取得最大值8.综上得AP·DP∈方法二:取AD的中点M,作MG⊥AF,垂足为G,如图所示,连接PM,则AP·DP=PA·PD=(PM+MA)·(PM+MD)=PM2+PM·(MA+MD)+MA·MD=PM2-MA2=PM2-1,显然当点P位于点F时,PM取得最大值3,当点P位于点G时,PM取得最小值31010,可得16.A[解析]设与AB同方向的单位向量AB|AB|=e1,与AD同方向的单位向量AD|AD|=e2,与AC同方向的单位向量AC|AC|=e3,由题意知e1+3e2=λe3,所以(e1+3e2)2=λ2e32,即e12+6e1·e2+9e22=λ2e32,所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2,所以cos∠BAD=λ2-106,因为λ∈[7,3],17.BCD[解析]由题意知|a|=2,|c|=1,|a-b|=|b-c|=1,设OA=a,OB=b,OC=c,不妨设C(1,0),如图,动点A在以O为圆心,2为半径的圆上,动点B在以C为圆心,1为半径的圆上,且满足|AB|=1,圆C的方程是(x-