全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第6讲函数的概念及其表示【答案】听课手册

第二单元函数第6讲函数的概念及其表示●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)非空的实数集任意一个数x唯一确定的数y(2)定义域值域自变量定义域函数值(3)定义域对应关系2.解析法列表法图象法3.对应关系【对点演练】1.②[解析]对于①,两函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;对于②,u=3v3=v与y=x(x∈R)的定义域、对应关系、值域均相同,故是同一个函数;对于③,y=x2=|x|=-x,x<0,x,x≥0,当x<0时,对应关系与函数2.(-∞,-3)∪(-3,8][解析]要使函数f(x)有意义,只需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,故f(x)的定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].3.-∞,12[解析]函数的定义域为xx≠-12,y=x2x+1=x+12-122x+12=x+122x+4.②[解析]对于①,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数;对于③,在集合N中可以找到两个元素与1对应,故不是从集合M到集合N的函数;对于④,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数.故填②.5.x-1(x>0)[解析]令t=ex,则t>0,所以f(t)=t-1(t>0),则f(x)=x-1(x>0).6.(-∞,-1]∪(0,1][解析]当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,所以x≤-1;当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,解得x≤1,所以0<x≤1.综上所述,x的取值范围为(-∞,-1]∪(0,1].7.[-3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5][解析]由函数图象可知,函数的定义域是[-3,0]∪[2,3],函数的值域是[1,5],其中只有唯一的x值与之对应的y值的取值范围是[1,2)∪(4,5].●课堂考点探究例1[思路点拨](1)利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求x的取值范围,即得函数f(x)的定义域.(2)①由f(x)的定义域可得1≤2x+1≤2,解不等式可得y=f(2x+1)的定义域;②由y=f(2x+1)的定义域可得3≤2x+1≤5,即可得f(x)的定义域;③由函数y=f(2x+1)的定义域求出y=f(x)的定义域,再求出y=f(2x-1)的定义域.(1)D[解析]要使函数f(x)=|x-2|-1log2(x-3)有意义,需满足|x(2)解:①由1≤2x+1≤2,得0≤x≤12,所以函数y=f(2x+1)的定义域为0②因为y=f(2x+1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5,故函数f(x)的定义域为[3,5].③因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],所以3≤2x+1≤5.由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3].变式题(1)(0,1)(2)(-2,2](3)[1,9][解析](1)对于函数f(x)=11-x+log3x,有1-x>0,x>0,解得0<x<1,故函数(2)因为函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),所以-1≤2x+1<3,所以函数f(x)的定义域为[-1,3),由-1≤1-x<3,解得-2<x≤2,所以函数y=f(1-x)的定义域为(-2,2].(3)由x∈[1,3],得x-1∈[0,2],所以log3x∈[0,2],可得x∈[1,9],所以y=f(log3x)的定义域为[1,9].例2[思路点拨](1)思路一:利用换元法求解析式;思路二:利用配凑法求解析式.(2)设出二次函数f(x)的解析式,然后利用待定系数法求解即可.(3)用-x替换x,构造方程组即可求出f(x).(4)由fx+1x的定义域得到f(x)的定义域,通过对fx+1x(1)f(x)=x2-5x+9(2)f(x)=x2-x+1(3)f(x)=3x(4)f(x)=x2-2(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞))[解析](1)方法一(换元法):令2x+1=t(t∈R),则x=t-12,所以f(t)=4t-122-6·t-12+5=t2-5t+9(t∈R),所以方法二(配凑法):因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9.(2)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.在f(x+1)-f(x)=2x中,令x=0,则f(1)-f(0)=0,∴f(1)=1,即a+b+1=1,故a+b=0①;令x=1,则f(2)-f(1)=2,∴f(2)=3,即4a+2b+1=3,故2a+b=1②.由①②得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1.(3)(方程思想)因为2f(x)+f(-x)=3x①,所以将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x②,由①②解得f(x)=3x.(4)因为当x>0时,x+1x≥2,当且仅当x=1时等号成立,当x<0时,x+1x≤-2,当且仅当x=-1时等号成立,所以f(x)的定义域为(-∞,-2]∪[2,+∞).因为fx+1x=x2+1x2=x2+2+1x2-2=x+1变式题(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1(2)-x+4052x(3)f(x)=x2-2x-3(x≥1)[解析](1)设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,所以a2=4,ab+b=3,解得a=-2,b=-(2)∵f(x)+2f2026x=3x,∴f2026x+2f(x)=3×2026x,联立得-3f(x)=3x-3×2×2026x,∴f(x)=-(3)令t=x+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),即f(x)=x2-2x-3(x≥1).例3[思路点拨](1)利用函数f(x)的解析式由内到外逐层计算可得ff14的值;(2)先根据当x>0时,f(x)=f(x-3),得f(4)=f(1)=f(-2),再根据当x≤0时,f(x)=2x2+1求得f(-2)的值,即得f(1)C(2)9[解析](1)由解析式可得f14=log214=-2,则ff14=f(-2)=1(2)f(4)=f(4-3)=f(1)=f(1-3)=f(-2)=2×(-2)2+1=9.例4[思路点拨](1)根据分段函数的定义,分情况讨论f(a)的取值范围,再进一步求出a的值;(2)分x<0和x≥0两种情况求解即可.(1)13或-1或33[解析](1)设t=f(a),则f[f(a)]=f(t)=-1,当t>0时,f(t)=log3t,由log3t=-1,可得t=3-1=13.当t≤0时,f(t)=t13,由t13=-1,两边同时立方可得t=(-1)3=-1.当f(a)=13时,若a>0,则f(a)=log3a=13,可得a=33;若a≤0,则f(a)=a13=13,无解,舍去.当f(a)=-1时,若a>0,则f(a)=log3a=-1,可得a=13;若a≤0,则f(a)=a13=-1,可得(2)当x<0时,不等式f(x)<2即为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0;当x≥0时,不等式f(x)<2即为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,可得0≤x<3.综上,不等式f(x)<2的解集是(-∞,3).故选B.【应用演练】1.B[解析]由题意知,f(1)=a+3,f(-1)=12,所以f(a+3)=12.当a+3≥0,即a≥-3时,f(a+3)=a+3(a+3)=4a+9=12,解得a=-178,满足题意;当a+3<0,即a<-3时,f(a+3)=2a+3=12,解得a=-4,满足题意.所以a=-1782.B[解析]由函数f(x)=x可得函数y=f(x)在(-∞,t),[t,+∞)上单调递增,当x<t时,f(x)max→t3,当x≥t时,f(x)min=t.若存在m使得关于x的方程f(x)=m有两个不同的根,只需t3>t,解得-1<t<0或t>1,所以t的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.3.e[解析]当a≤0时,f(a)=ea=e,方程无解.当x>0时,f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1,令f'(x)<0,得0<x<1e,令f'(x)>0,得x>1e,所以f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增.f1e=-1e<0,当x→0时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→+∞,当0<x<1时,f