2025年江苏省二模试卷及答案数学南京

2025年江苏省二模试卷及答案数学南京一、单选题（每题2分，共16分）1.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域是（）（2分）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(-1,+1)D.R【答案】A【解析】x²-2x+1>0，解得x∈(-∞,1)∪(1,+∞)。2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则角B的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理得cosB=(c²+a²-b²)/2ca=1/2，所以B=60°。3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=1，aₙ+₁=2aₙ+1(n≥1)，则a₅=（）（2分）A.15B.31C.63D.127【答案】D【解析】{aₙ+1}是等比数列，公比为2，首项为2，所以a₅=2⁴-1=15。4.若复数z满足|z|=1，且z²+z+1=0，则z=（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】由z²+z+1=0得z=(-1±√3i)/2，取模为1的为i。5.某校从高三（1）班抽取10名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）分别为：90,85,88,92,95,87,90,93,86,91。则这组数据的方差为（）（2分）A.9.7B.10.2C.10.8D.11.3【答案】A【解析】平均数为89，方差s²=[(90-89)²+...+(91-89)²]/10=9.7。6.在直角坐标系中，点A(1,2)与点B(3,0)关于直线l对称，则直线l的方程为（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0【答案】A【解析】直线AB的中点为(2,1)，斜率为-1，所以l的方程为y-1=-(x-2)，即x-y+1=0。7.若函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图象向左平移π/4个单位后，得到的图象对应的函数为g(x)=cosx，则φ=（）（2分）A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8【答案】C【解析】ωπ/4+φ=π/2+kπ，k∈Z，φ=π/8+kπ-ωπ/4，取k=0得φ=3π/8。8.在等差数列{bₙ}中，b₁+b₅=10，b₃=4，则b₁=（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】b₁+4d+b₅=10，4+2d=10，d=3，b₁=4-3=1。二、多选题（每题4分，共16分）1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若函数f(x)是奇函数，则f(x)的图象必过原点B.若直线l₁//l₂，直线m₁//m₂，则l₁//m₁C.若a>b，则√a>√bD.若△ABC中，A>B，则a>b【答案】A、D【解析】A正确，f(0)=0；B错误，平行关系不一定传递；C错误，若a、b为负数；D正确，由大角对大边。2.执行以下程序段后，输出的S值为（）（4分）i=1;S=0;whilei<=5doS=S+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.31【答案】C【解析】i=1,3,5时各加1，S=1+3+5=9。3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=√3，c=2，则下列结论正确的是（）（4分）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是锐角三角形C.△ABC是钝角三角形D.角C的余弦值为-1/2【答案】A、C、D【解析】cosC=(a²+b²-c²)/2ab=-1/2，C=120°，A=30°，B=30°。4.某工厂生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）的关系式为C=50x+1000，售价为每件200元。若要获得利润，则产量x的取值范围是（）（4分）A.x>5B.x>10C.x>20D.x>50【答案】C、D【解析】利润P=200x-(50x+1000)>0，x>20。三、填空题（每题4分，共20分）1.若直线y=kx+1与圆x²+y²=5相交于两点，且两交点连线的斜率为-1/2，则k=______（4分）【答案】-3【解析】圆心(0,0)到直线的距离为√5，|k|/√(1+k²)=√5，k=-3或3，斜率为-1/2时k=-3。2.执行以下程序段后，变量x的值为______（4分）x=1;y=2;whilex<=10dox=x+y;y=x-y;endwhile【答案】21【解析】x=1,3,6,10,15,21，循环结束。3.某几何体的三视图如图所示（略），则该几何体的体积为______（4分）【答案】8π【解析】圆锥底面半径2，高2，V=1/3π(2)²(2)=8π。4.若函数f(x)=x³-3x+m在x=1处取得极值，则m=______（4分）【答案】-1【解析】f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，m=1³-3(1)+m=-1。5.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB=______（4分）【答案】-3/5【解析】cosB=(a²+c²-b²)/2ac=-3/5。四、判断题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上必有最大值。（）（2分）【答案】（×）【解析】若区间I为开区间，则无最大值。2.若复数z满足|z|=1，则z²必为实数。（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，|z|=1，则z²=a²-b²+2abi，若b=0则必为实数。3.若样本数据为10个数：x₁,x₂,...,x₁₀，其平均数为5，则x₁+x₂+...+x₁₀=50。（）（2分）【答案】（√）【解析】平均数=(x₁+x₂+...+x₁₀)/10=5。4.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的任意直线都平行。（）（2分）【答案】（×）【解析】可能相交或异面。5.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件概率加法公式。五、简答题（每题5分，共15分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。（5分）【答案】3，x=-2或x=1【解析】分段函数f(x)={-2x-1,x<-2,3,-2≤x≤1,2x+1,x>1}，最小值为3。2.解不等式|x²-4|<x+2。（5分）【答案】-1<x<2【解析】x²-x-6<0且x²-x-6≠0，解得-1<x<2。3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求角B的度数。（5分）【答案】45°【解析】cosB=(a²+c²-b²)/2ac=1/2，B=60°。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁=1，aₙ+₁=3aₙ+2(n≥1)，求通项公式aₙ。（10分）【答案】aₙ=3ⁿ-1【解析】{aₙ+1}是等比数列，aₙ=3ⁿ-1。2.在平面直角坐标系中，点A(1,2)与点B(3,0)关于直线l对称，求直线l的方程及圆C:x²+y²-4x-6y+9=0的圆心到直线l的距离。（10分）【答案】x-y+1=0，√5【解析】l方程为x-y+1=0，圆心(2,3)到l距离为|2-3+1|/√2=√5。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.某工厂生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）的关系式为C=50x+1000，售价为每件200元。若每件产品还需缴纳税金为售价的10%，求该工厂的利润函数P(x)及当产量x=100时的利润。（25分）【答案】P(x)=140x-1000，14000元【解析】P(x)=200x-50x-1000-200x(10%)=140x-1000，P(100)=14000。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求sinA、sinB、sinC的值，并判断△ABC是否为直角三角形。（25分）【答案】sinA=3/5，sinB=4/5，sinC=1，是直角三角形【解析】cosA=(b²+c²-a²)/2bc=4/5，sinA=3/5，同理sinB=4/5，sinC=1，A=90°。---标准答案一、单选题1.A2.C3.D4.C5.A6.A7.C8.B二、多选题1.A、D2.C3.A、C、D4.C、D三、