2020-2021学年北京市朝阳区高一下期末数学试卷

2020-2021学年北京市朝阳区高一下期末数学试卷（2021·北京朝阳区·期末）已知复数z=1+ii（其中i是虚数单位），则z A．1,1 B．1,−1 C．−1,1 D．−1,−1（2021·北京朝阳区·期末）如图、在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，若AB=PD=3，AD=2，则该四棱锥的体积为 A．18 B．12 C．9 D．6（2021·北京朝阳区·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是   A．14 B．13 C．12 （2021·北京朝阳区·期末）设α，β是两个不同的平面，n是平面α内的一条直线，则“n⊥β”是“α⊥β”的   A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条（2021·北京朝阳区·期末）在△ABC中，3asinB=3bcosA A．5π6 B．2π3 C．π3（2021·北京朝阳区·期末）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量（单位：kg）如下：品种第1年 A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定（2021·北京朝阳区·期末）向量a，b，e1，e2在正方形网格中的位置如图所示，若a−b=λ A．3 B．13 C．−3 D．−（2021·北京朝阳区·期末）某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如下：成绩分95908580 A．65 B．70 C．75 D．80（2021·北京朝阳区·期末）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点E是线段AB的中点，点M是底面 A．55 B．255 C．1 （2021·北京朝阳区·期末）已知不共线的平面向量a，b，c两两的夹角相等，且∣a∣=1，∣b∣=2，∣c∣=3，实数 A．3 B．23 C．21 D．5（2021·北京朝阳区·期末）已知平面向量a=2,k，b=3,2，且a⊥（2021·北京朝阳区·期末）若复数z=a2+a−2+a2（2021·北京朝阳区·期末）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为．（2021·北京朝阳区·期末）已知一组不全相等的样本数据的平均数为10，方差为2，现再加入一个新数10，则新样本数据的平均数，方差．（填“变大”，“变小”，“不变”）（2021·北京朝阳区·期末）已知等边△ABC的边长为2，D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则MD⋅MC的最大值为，最小值为（2021·北京朝阳区·期末）已知△ABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：①存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；②存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；③存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍；④存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍．其中所有正确结论的序号是．（2021·北京朝阳区·期末）在△ABC中，b2(1)求cosA(2)若B=2A，b=6，求a（2021·北京朝阳区·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点(1)求证：BD∥(2)求证：EF⊥平面(3)判断点C1是否在平面AEF（2021·北京朝阳区·期末）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在70,80中的市民有200人心理测评评价标准．(1)求n的值及频率分布直方图中t的值；(2)在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在40,50的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在50,60的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的(3)该心理教育测评研究院建议该巿管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）（2021·北京朝阳区·期末）在锐角△ABC中，A=π6，BC=7，D，E分别是边AB，AC条件①：AB=33；条件②：cosB=21(1)sinC(2)∠BDE的大小；(3)四边形BCED的面积．（2021·北京朝阳区·期末）将平面直角坐标系中的一列点A11,a1，A22,a2，⋯，Ann,an，⋯，记为An，设f(1)判断A11,1，A22,12，A33,1(2)若An为T点列，且a1>a2．任取其中连续三点Ak，(3)若An为T点列，对于正整数k，l，m（k<l<m），比较AlA

答案1.【答案】B【解析】复数z=1+则z在复平面内对应的点的坐标是1,−1，故选：B．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算2.【答案】D【解析】由题意可得：该四棱锥的体积为13【知识点】棱锥的表面积与体积3.【答案】B【解析】从4个球中不放回地依次随机摸出2个球，基本事件有C4记两个球颜色相同为事件A，事件A包含的基本事件有C22+【知识点】古典概型4.【答案】A【解析】因为直线n是平面α内的一条直线，且n⊥β，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以充分性成立；反之：直线n是平面α内的一条直线，由α⊥β，但n⊥β不一定成立，所以必要性不成立，所以“n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．【知识点】空间的垂直关系5.【答案】C【解析】在△ABC中，由正弦定理可得：3sin因为sinB≠0，所以sinA=3因为0<A<π，所以∠A=【知识点】正弦定理6.【答案】D【解析】对于选项A：甲种水稻产量的平均数：900+920+900+850+910+9206乙种水稻产量的平均数：890+960+950+850+860+8906所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项A不正确；对于选项B：甲种水稻产量分别为：850，900，900，910，910，920，中位数为900+9102乙种水稻产量分别为850，860，890，890，950，960，中位数为890，所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项B不正确；对于选项C：甲种水稻产量的极差为：920−850=70，乙种水稻产量的极差为：960−850=110，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项C不正确；对于选项D：甲种水稻的产量的方差为：16乙种水稻的产量的方差为：16甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差，所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项D正确．【知识点】样本数据的数字特征7.【答案】D【解析】根据向量的减法得a−因为a−所以λ=1且μ=−3，因此，则λμ故选：D．【知识点】平面向量的分解8.【答案】C【解析】50×40%=20，所以有20个学生可以进入复试，由于1+4+6+5+4=20，所以进入复试的分数线可以为75．故选：C．【知识点】频率分布直方图9.【答案】B【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设A10,0,1，C11,1,1，所以A1M=由A1M⊥C即x+2y−2=0，所以线段AM的长的最小值为21【知识点】空间线段的长度、利用向量的坐标运算解决立体几何问题10.【答案】C【解析】因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以它们的夹角是120∘因为∣a∣=1，∣b所以a⋅b=−1，a∣λ因为λ1所以当3λ2−32λ1所以∣λ1a故选：C．【知识点】平面向量的数量积与垂直11.【答案】−3【解析】因为a=2,k，b=所以a⋅解得：k=−3，故答案为：−3．【知识点】平面向量数量积的坐标运算12.【答案】−2【解析】因为复数z=a所以a2所以a=−2．【知识点】复数的代数形式13.【答案】16【解析】设选考物理的学生为集合A，选考地理的同学为集合B，由题意得：CardA∪B即28=21+14−CardA∩B解得：CardA∩B所以该班有7人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为742故答案为：16【知识点】古典概型14.【答案】不变；变小【解析】设原来的一组数据有n个分别为：x1，x2，x3，⋯，xx1方差s2x1加入一个新数10后，平均数为x1所以平均数不变，新的方差为sʹ所以新样本数据的平均数不变，方差变小，故答案为：不变，变小．【知识点】样本数据的数字特征15.【答案】3；−1【解析】如图，以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A−1,0，C1,0，B0,3，D1MC=1−x,0，MD⋅对称轴为x=3所以在区间−1,34单调递减，在当x=−1时，最大为−12当x=34时，最小为【知识点】平面向量数量积的坐标运算16.【答案】①②③【解析】①中，例如：若a=3，b=4，c=5，此时△ABC为直角三角形，满足C=A+B，所以①正确；②中，例如：若a=2，b=3，c=4，由余弦定理可得cosC=因为C为三角形的内角，可得C∈π2,π，此时所以②正确；③中，设A=2B，当a>c>b时，可设a=n+1，c=n，b=n−1（其中n为大于1的整数），由正弦定理n+1sinA=因为A=2B，可得sinA=sin2B=2由余弦定理，可得cosB=所以n+12n−1=所以n+1=6，n−1=4，即存在三边a=4，b=5，c=6时，使得最大角是最小角的两倍，所以③正确；④中，由③知n+1sinA=若A=3B，可得sinA=sin3B=3整理得4sin所以sin2因为sin2B>0，即n−22因为n∈N所以④不正确．【知识点】正弦定理、余弦定理17.【答案】(1)因为在△ABC中，b2所以，cosA=(2)由（1）知，0<A<π所以sinA=因为B=2A，所以sinB=又因为B=6，由正弦定理asinA【知识点】余弦定理、正弦定理18.【答案】(1)因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点所以BE∥DF，且所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD∥又因为BD⊄平面AEF，所以BD∥(2)因为在正方体ABCD−A1B因为BD⊂平面所以AA因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又由（1）知BD∥所以EF⊥AA1，又因为AC∩AA1=A所以EF⊥平面(3)点C1在平面AEF取CC1中点G，连接GB，FG，因为在正方形ABCD−A1B1C1D1中，点所以DF∥CG，且所以四边形DCGF为平行四边形，所以FG∥DC，且又因为AB∥DC，所以AB∥FG，所以四边形ABGF为平行四边形，所以AF∥因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点所以BE∥GC所以四边形BGC所以BG∥所以EC1∥AF，故点【知识点】直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、平面的概念与基本性质19.【答案】(1)由已知条件可得n=2000.02×10=1000所以0.035+0.025+0.02+0.004+8t×10=1，解得t=0.002(2)由（1）知：t=0.002，所以调查评分在40,50中的人数是调查评分在50,60中人数的12若按分层抽样抽取3人，则调查评分在40,50中有1人，在50,60中有2人，设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以PM所以PM故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为23(3)由频率分布直方图可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7．估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7．所以市民心理健康指数平均值为80.7100所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、古典概型20.【答案】(1)选条件①③；因为A=π6，BC=7又因为在△ABC中，ABsin所以sinC=选条件②③；因为A=π6，cosB=所以sinB=所以sinC=(2)选条件①③；因为△ABC锐角三角形，由（1）知sinC=所以cosC=在△ABC中，因为AB所以27=7+AC即AC解得AC=5．又因为EC=3，所以AE=2．又因为DE=2，所以∠ADE=∠A=π故∠BDE=5选条件②③；由（1）及正弦定理ACsin得AC=BC⋅又因为EC=3，所以AE=2．又因为DE=2，