平面向量数系的扩充与复数的引入质量检测

平面向量数系的扩充与复数的引入质量检测

,7第.阶段质量的测.・

(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.)

1.(2009•天洋布旁)i是虚数单位，U=()

A.l+2iB.-l-2i

C.l-2iD.-l+2i

钮坛5i5i(2+i),

解析：2-「(2-。(2+。-1+21,

答案：D

2.已知向量。=(一5,6),。=(6,5),则a与〃()

A.垂直B.不垂直也不平行

C.平行且同向D.平行且反向

解析：已知向量。=(一5,6),/?=(6.5),«­/?=-30+30=0,则。与〃垂直.

答案：A

3.(201()•利辛模拟)已知向量”二(2,3),^=(—1,2),若(〃心十〃)〃«/—2〃)，则实数小

()

B.C.乎D坐

解析：〃?a+〃=/〃(2,3)+(—1,2)=(2机-1,3/”+2),

〃一2〃=(2,3)—2(—1,2)=(4,-1).

'."(ma+b)〃(a—2b)

/.l-2m=(3;n+2)X4.

.1

,.m=-2«

答案：B

4.如图，已知A元=a,AC1=3DC?,用小〃表示A15,则Afi等于()

313

-

+种-

A.44

—13l

?-

甲

平4

■•.

解析：AD=AB^BD=AB+T^C

33

+1■,3-+-b

=AB4-AC-AB)=^AB+]AC4

答案；B

5.若在△ABC中，|就|=3,\BC\=5,|AC|=4,M|5AB+Z?C|=()

A.4^10B.2785C.2®D.V190

解析：根据三边边长易知△ABC为直角三角形.

cos<AB,BC>=—1.

：\5AB+BC\2=

25|AB|2+|BC|2+10|AB|-|BC|cos<AB,BC>=160.

：.\5AB+BC\=4y[i().

答案：A

2—2，

6.(2010•松山模拟)已知复数z=I+i,则等于()

A.2iB.-2iC.2D.-2

皿仁Z2—2Z（l+i）2—2（l+i）2i-2-2i

解析：一下有—=-i—=2L

答案：A

7.已知命题：“若女a+心8=0，则女1=公=0”是真命题，则下面对。，。的推断正确

的是（）

A.〃与b一定共线B.。与〃一定不共线

C.〃与一定垂直D.。与〃中至少有一个为0

解析：假设。与。共线，由已知得心。=一依乩假如人。均为非零向量，与已知条

件矛盾.假如〃、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k\a

+祉=0两边平方得A；〃2+代护+2%必4”=0,由于h=&2=0,因此〃“不一定等

于0,排除C.

答案：B

8.若平面向量。=（一1,2）与匕的夹角是180。，且依=3小，则〃的坐标为（）

A.(3,-6)B.(-3,6)

C.(6,-3)D.(—6,3)

解析：由题意设》=痴=2(—1,2).

由族|=3小得乃=9/=±3.

由于a与力的夹角是1800.因此2=-3.

答案：A

9.(2010・黄冈模拟)已知A、B、C是锐角AABC的三个内角，向量p=(l+sin/U+cosA),

q=(l+sin8,—1—cosfi),则〃与<7的夹角是()

A.锐角B.钝角C.直角D.不确定

解析：锐角△4BC中，sinA>cosB>0,sinB>cos.4>0,

故有pq=(l+sinA)(l+sinB)—(1+COSA)(1+COSB)>0,同时易知p与q方向不相同,

故〃与4的夹角是蜕角.

答案：A

也

10.已知非零向量AB,AC与3d满足AB+ACACAC

AC=0,且，

ABAC\AC\\BC2

则△ABC为)

A.等边三角形B.等腰非直角三角形

C.非等腰三角形D.等腰直角三角形

解析其

―r均为单位向量.

ABBC

・8。=0,得|AB|=|XWI，

乎，得C=45°.

----7-]---77=1X1XcosC=

AC\\BC\

故三角形为等腰直角三角形.

答案：D

11.如图，是半圆。的直径，C,。是弧48的三等分点,

M,N是线段A8的三等分点，若OA=6,

则MDNC的值为()

A.13B.26C.18

解析：MDNC=(OD-dM)(dC-ON)=ODOC-OMOC-ODON

+OM•丽=6义6cos600-6X2cos120。-6X2cos120。+2X2cos180°=26.

答案：B

12.设〃=(0,。2)，b=®。2).定义一种向量积:

已知m=(2,；)，"=停，0)，点P(x,y)

t70b=（ci\,。2）0（b\,%2）=（。|力，。2人2）.

在)，=sinx的图象上运动，点Q在)，=/U)的图象上运动，满足。。OP—〃(其

中。为坐标原点)，则)，=46的最大值A及最小正周期7分别为()

A.2,itB.2,4兀C.^>47rD.^,兀

解析：设。(xo,yo),OQ=(.ro,和)，OP=(A,y),

■:OQ=/n0OP+〃，

3y)+停,0)=35)+你0)伞+京幼,

1n

0x=产）-不

J=2>'o.

代入y=sinx中得，2四=sin{jM)—不J,

因此最大值为周期为47r.

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填写在题中的横线上.)

13.已知里数zi=〃z+2i,Z2=3—4i,若?为实数，则实数.

Z2

5“zi〃?+2i(m+2i)(3+4i)3〃?—8+(6+4〃?)i口如.，一八

解析：；芯------=-------玄------是头数，・・〃

1Z2="3~—4”1=-------25256+4?=0,itm-

3

~T

3

答案:

14.(文)若向量。=(1+2以2—3Q与b=(4.1)共线，则2=.

解析：依题总得4(2—31)—(1+2A)==0,由此解得力=；.

答案：j

(理)已知〃=(3,2),仅一1,2),(a+Z))_LA,则实数2=

解析：•；3+劝)3_瓦

，（a+劝）彷=。协+仍2=1+51=0,・,・%=

答案：一士

15.已知平面向量a,b,c满足a+"+c=O,且。与〃的夹角为135。，c与8的夹角为

120°,|c|=2,则⑷=.

解析：根据已知条件，构成以同，以，|c|为边长的三角形，由正弦定理得。

sin(Iov—izu)

=sin(18()]L135°)'又⑷=2,因此同=#•

答案:乖

16.在直角坐标系x0\，中，八/分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形A8C

中，4万=，+/,Ad=2i+〃U，则实数机=.

解析：本题考查了向量的运算.由已知可得4《一A方=，+(加—1%

当4=90。时，ABAC=(/+j)-(2/+////)=2+w=0,m=~2.

当8=90°时，BABC=-(/+j)-[/+(m-1)7]=-(11)=-m=0,m=0.

当C=90°时，CA'CB=—(2r+m/y[—/—(/«—1)/]=2+/M(/M—l)=/n2—m+2=0,如

今〃？不存在.故〃7=0或者一2.

答案：。或者一2

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解承诺写出文字说明、证明过程或者演算步骤)

(l+i)2(3+4i)2

17.(本小题满分12分)已知复数z满足:|z|=l+3i-z,化简

2z

解：设z=a+/?i(a,〃£R),而|z|=l+3i—z,1—3i+a+/?i=0,

\la2+h2+a~I=0\a=-4,

[b-3=0〔力=3,

.*.z=—4+3i.

.(l+i)2(3+4i)22i(—7+24i)24+7i

**=2(-4+3i)=4-3i=3+4l

18.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABC。中,

的，N分别为力C,4C的中点，已知

AN=d,试用ad表示AB,AD.

解：法一：设A8=a,AD=b,则

a=AN+NB=d+(—gb),

①

b=AM+MD=c+(—5),

②

将②代人①得4=d+(—5)[c+(—淤)]

42

代②

-入

3?

42

-2

?-3

42

-

故AB=?d—,手-3

法二：设A〃=a,AD=b.

因此5N=”DM=^af

f-12

c=b+呼a=^(2d—c)

因而<=>

[dj+的Z?=|(2c—J)

2.2

即AB=g(2d—c),AD=g(2c—(/).

19.（本小题满分12分）已知向量。=（cos（一仍,sin（一仍）,/?=（cos（尹。），sin咳一份）.

（1）求证:m

（2）若存在不等于0的实数上与z,使1=。+（产+3屹，

4+尸

y=-ka+tb,满足x_Ly,试求如今一厂的最小值.

解：⑴证明：•・•〃力

=cos（—0>cosg-0）+sin（—例ting-J）

=sin佻os。-sin佻os6=0.

.'.aLb.

(2)由x_Ly得：x-y=0,

即[〃+(尸+3)〃卜(一如+/力)=0,

・・・一苏+(P+3f)加+上一4户+3)]ab=0,

・•・一川。|2+(产十3。步|2=0.

又间2=1,固2=1,

・・・一2+尸+3/=0,・・・4=户+3人

2+尸户+尸+3「

1*4-72I1

故当『一:时，丁有最小值号.

20.（本小题满分12分）在△A8C中，角A、B、。所对的边长分别为。、b、c,已知向量

/A»=(l,2sin4),〃=(sinAl+cos4),且满足/〃〃〃，b-\-c=yJ3>a.

(1)求角A的大小；

(2)求sin(3+1)的值.

解：(1)*.*m〃〃，14-cosA=2sin2A,

即2cosz^+cosA—1=0,解得cos4=—1(舍去)：cos/4=z.

又OVAV兀，

(2),・P+c=#a,

由正弦定理可得sinB+sinC=，5sirb4=*

3

-

又。=乃一(4+8)=伊一B,，sinB+sin后—82

近

33仅

-m8十V23-•=

2s2s1n+-2

21.(本小题满分12分)己知向量只=(cosx,sinx),Z?=(—cosx,cosx),c=(—1,0).

(1)若尸会求向量〃，。的夹角;

(2)当入｛育，y]N，求函数段)=2