浙江嘉兴八校联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题含解析

2025学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列求导数运算正确的有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用初等函数的导数公式运算即可求解.【详解】依题意，.2.甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（）A.7 B.12 C.81 D.64【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为．故选：D．3.的展开式中的系数为（）A.8 B.16 C.24 D.32【答案】D【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得.【详解】展开的通项公式为，,取，则的展开式中的系数是．故选:D.4.设随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案.【详解】由题意知，解得.故选：B.5.某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】设小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，设小明答对试题为事件，则，，，，，，故，故C正确.6.设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．7.某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（）A.150 B.90 C.60 D.30【答案】A【解析】【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况，若按人数分为三组，则有种方法，若按人数分为三组，则有种方法，共有种不同方法.8.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意可得，当在上单调递增，上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号，所以时，在上恒成立.二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.若的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能取值为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】ABC【解析】【分析】借助二项式系数的性质逐项判断即可得.【详解】A选项，此时展开式有8项，第4、5项二项式系数最大且相等，满足题意，故A正确；B选项，此时展开式有9项，第5项二项式系数最大，满足题意，故B正确；C选项，此时展开式有10项，第5、6项二项式系数最大且相等，满足题意，故C正确；D选项，此时展开式有11项，第6项二项式系数最大，不满足题意，故D错误.10.已知随机变量，若，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】应用正态分布的对称性及数学期望计算分别判断各个选项.【详解】由正态分布的定义知，A正确；由，得，B正确；，C错误；，D错误.故选：AB.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递减，在上单调递增B.C.设有3个不同的零点，则D.若方程有6个不等实数根，则【答案】BCD【解析】【分析】求导，根据导数与函数的单调性的关系即可判断出AB；问题转化为，画图判断交点问题判断选项C；由题可知在时有3个解即可结合函数图象可判断D.【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误；对于B选项，对函数求导，，令可得，函数在上单调递增，，所以，所以B选项正确；令可得且，当时，，此时函数在上单调递减且，当时，，，此时函数在上单调递减且，画出大致函数图象如下图：则大致函数图象如下图：对于C选项，令，即，有3个不同的零点等价于函数和函数有3个不同的交点，由图象可知，，解得，所以C选项正确；对于D选项，方程有6个不等实数根等价于函数和函数有6个不同的交点，由图象可知，，所以D选项正确．非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数在处的切线斜率为________．【答案】2【解析】【分析】对函数进行求导，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】，.13.已知随机变量的分布列如下，则______.【答案】1【解析】【分析】先根据期望和方差公式求出，即可得解.【详解】由题意可得：，所以.故答案为：1.14.近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．【答案】348【解析】【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种，第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种，由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）（2）的单调递增区间为，；单调递减区间为.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.（2）利用导数的正负判断函数的单调性即可；【小问1详解】因为，则，且，所以切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】因为，令，得或，所以的单调递增区间为，；，得，的单调递减区间为.综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为.16.已知．（1）求各项的系数和；（2）求展开式中的常数项；【答案】（1）4096（2）960【解析】【分析】（1）利用赋值法，令，可得各项的系数和；（2）利用二项展开式的通项公式求解即可.【小问1详解】令，则各项的系数和为.【小问2详解】设展开式中常数项为第项，即，，，令，得，．17.袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）设3个球中，黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望；【答案】（1）（2）X0123P【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用组合数公式及古典概率公式求解.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【小问1详解】设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件A，则.【小问2详解】依题意，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，X的分布列为X0123P数学期望．18.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率；（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100万元【解析】【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解；（2）（ⅰ）记事件“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解；（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，然后根据二项分布期望公式结合条件即得.【小问1详解】根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为【小问2详解】（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第i轮培训达到优秀”（，2，3），，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，．即每位员工经过培训合格的概率为．（ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，则，所以（万元）即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．19.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）（3）