北京市门头沟区2025-2026学年度综合练习(二)（二模）数学试题(含答案)

北京市门头沟区2025-2026学年度综合练习(二)（二模）数学试题第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.3.如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（）A. B. C. D.4.一个不透明的袋子装有除颜色外无其他差别的小球共20个，其中有10个黄球，8个绿球，余下的为红球．从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（）A. B. C. D.5.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C.且 D.且6.据国家统计局公告，2024年全年全国粮食总产量为70650万吨，2025年粮食生产再获丰收，全年全国粮食总产量比上年增加838万吨，则2025年全年全国粮食总产量为（）A.吨 B.吨C.吨 D.吨7.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（）A.8 B.7 C.6 D.58.如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．10.分解因式：_____．11.方程的解为_____．12.在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）．13.为了促进全民阅读，《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行．某校为了加强书香校园建设，了解本校2000名学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下所示的统计表．每周课外阅读时间（小时）人数28405676根据以上信息，估计该校2000名学生中每周课外阅读时间不超过2小时的人数是_____．14.如图，内接于是的直径，过点的切线与的延长线交于点．若，则的度数为_____．15.如图，在矩形中，是延长线上一点，交于点，是的中点．若，，则的长为_____．16.某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失．（1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）；（2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元．三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.解不等式组：．19.已知，求代数式的值．20.如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长．21.为推动城市公交车电动化替代，2026年继续支持新能源城市公交车及动力电池更新，根据更新新能源公交车及更换动力电池补贴政策，报废符合条件的旧车并购买补贴范围内的新能源公交车，每辆车可获得8万元补贴，对符合条件并更换动力电池的，每辆车补贴4.2万元．某公交公司计划将20辆符合补贴政策的老旧燃油公交车更新为新能源公交车，同时对现有符合补贴政策的10辆新能源公交车更换动力电池，总预算不超过1950万元．经过咨询，补贴前，更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用比购买1辆新能源公交车的费用低85%，补贴后，更换5辆新能源公交车的动力电池和购买1辆新能源公交车的总费用为146万元．则该公交公司能否按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换？22.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，直接写出的值．23.为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图：b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，；c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表：统计量选手甲乙丙平均数中位数方差（1）表中的值为_____，的值为_____；（2）丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮；（3）根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数）24.如图，在中，，于点，在上取一点，以点为圆心作圆，经过，两点，交于点，连接并延长，交于点．（1）求证：；（2）过点作交的延长线于点．若，求的长．25.某物理实验室研究物体平抛运动时水平射程（单位：）与平台高度（单位：）的函数关系．已知物体从高度为的平台水平抛出，初速度不变，均为（单位：，），忽略空气阻力，重力加速度取．平抛运动可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，竖直方向满足（为运动时间），水平射程．实验中改变平台高度（单位：，），对于给定的初速度，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下表．（取）当时的当时的请根据实验背景和数据，完成以下探究：（1）结合公式推导，补全表格：_____，_____；（结果保留小数点后两位）（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，并用平滑的曲线连接各点，画出，随变化的函数图象；（3）在实验过程中，同学们发现了一些问题．①在分析所得的函数图象时，某同学发现：在相同的初速度下，当平台高度翻倍时，水平射程并非翻倍．请结合函数关系，分析在相同的初速度下，当时，与的数量关系为_____；②小明在实验中提出猜想：在一次平抛运动过程中，是否存在某一时刻，物体的下落高度与水平射程的数值相等的情况？若存在，直接写出满足该情况时运动时间与初速度之间需满足的数量关系；若不存在，请说明理由．26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（1）用含的式子表示；（2）若，点，（）在该抛物线上，求的长；（3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围．27.在中，是射线上一点，连接是上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，当点在线段上，是的中点时，求证：；（2）如图2，当点在的延长线上，点在下方时，用等式表示，之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，给定（为顶点，在轴正半轴上，点在第一象限），对于点，若存在点在上、点在射线上，使得为等边三角形，则称点为的“含角点”，称等边的边长为点的“含角边长”．（本定义中的点均不与原点重合，边长为正数）（1）如图，在点，，中，是的“含角点”的有_____，请直接写出其中一个“含角点”的“含角边长”；（2）已知点在第一象限，且为的“含角点”．①直接写出的取值范围；②当改变时，直接写出面积的最小值．

参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案BDACDCAC第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13.【答案】名14.【答案】##115度15.【答案】16.【答案】①.③①⑦②④⑤⑥②.17.【答案】18.【答案】19.【答案】20.【小问1】证明：，，是的中点，，，，，四边形是平行四边形；【小问2】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，在中，，，是的中点，，在中，，，在中，，．21.【答案】能解：设补贴前购买1辆新能源公交车的费用为万元，则更换1辆新能源公交车的动力电池所需的费用为万元，根据题意，可得，解得，（万元），补贴后，购买1辆新能源公交车的费用为（万元），更换1辆新能源公交车动力电池的费用为（万元），更新和更换完的总花费为（万元），，该公交公司能按计划完成老旧燃油公交车的更新和现有新能源公交车的动力电池更换．22.【小问1】解：将点和点代入0）中，得，解得；【小问2】解：．联立，解得，∴函数与的图象交于点，如图，∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值，∴函数的图象经过点，∴，解得．23.【小问1】解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，，平均成绩（环）；由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环，方差为；【小问2】解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，，排在第个的数据为，丙选手五轮成绩的中位数为，，丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮；【小问3】解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环，丙选手不可能是第一名和第二名；再比较甲、乙选手成绩的方差，，甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙，最终丁选手获得第二名，丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24，丁选手五轮成绩的总环数为（环），丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，其余两轮的成绩总环数为16（环），乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环，丁其余两轮成绩不可能是环和环；当丁选手的成绩为环和环时，方差为，不符合题意；当丁选手的成绩为环和环时，方差为，符合题意，丁选手其余两轮的成绩分别为环和环．24.【小问1】证明：如图，连接，经过两点，.在和中，，（），．又，；【小问2】补全图形，如图所示．由（1）知，，，．，，，，，，，．设，则，．在Rt中，由勾股定理得，解得或（舍去），，，．25.【小问1】根据题意可得重力加速度取，竖直方向的自由落体运动满足（为运动时间），故，当时，；此时．当时，；此时．【小问2】描点，画出函数图象，如图：【小问3】①；由（1）可得，故；∴，当时，，即．②存在，当时，物体的下落高度与水平射程的数值相等．由题意得，即，整理得，重力加速度取，故，∴．26.【小问1】解：∵抛物线经过点，∴，∴；【小问2】解：由（1）可得抛物线为将代入中，得，∵点，在该抛物线上，∴将代入中，得，解得，，∴；【小问3】解：将代入中，得，∴点的坐标为，设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的解析式为，如图①，过点作轴于点，则，，，∴，∴，即是等腰直角三角形，∴，当时，如解图①，∵轴，∴轴，∴，∵，即，∴，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由（1）可得抛物线，∵点的横坐标为，且在抛物线上，∴，∵轴，∴点的横坐标为，∵点在直线上，∴，∵点在点上方，∴，，∴，∵，∴，∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大，又∵当时，的长随的增大而增大，∴，解得，∴，当时，如解图②，同理可得，∵点在点上方，∴，∴，∵，∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大，∵，即时，随的增大而增大，∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在，综上所述，的取值范围为．27.【小问1】证明：是的中点，，，，由旋转的性质知，，，；【小问2】解：．证明过程如下：如图，在上取一点，连接使得，，，，由旋转的性质知，，，即，又，，，，，，，，，，．28.【小问1】解：；点的“含角边长”为，点的“含角边长”为，点与点均在轴上，点不与原点重合，以线段为边构造等边三角形时，有一边与平行，即点不在上，点不是的“含角点”；如下图所示，在上取点，连接，使得，在上截取，连接，在上截取，连接，，，，，，，，，是等边三角形，，，过点作于点，则，，,在中，，，，，点是的“含角点”，“含角边长”为；如下图所示，过点作轴，作轴于点，点的坐标为，则，，是等边三角形，，，又，是等边三角形，且，，，设，则，，，，解得：，，点也是的“含角点”，“含角边长”为；【小问2】①解：；，是直线在第一象限的部分上的点，如解图②，在上取点，连接，使得，在上截取，连接，在上截取，连接，，同理（1）可证得是等边三角形，点是的“含角点”，过点作轴于点，则，在中，，，，设直线与轴的交点为，与的交点为，连接，则，，，，在中，，，，，