2027届新高考数学热点突破复习 等比数列及其前n项和

2027届新高考数学热点突破复习等比数列及其前n项和课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.目录/CONTENTS考点一等比数列的有关概念01考点二等比数列的性质02提能点等比数列的判定与证明03课时跟踪训练0401PART考点一等比数列的有关概念已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则等比数列定义式

（q≠0且q为常数）等比中项通项公式

或

⁠前n项和公式

an＝a1qn－1

an＝amqn－m（n，m∈N*）na1

提醒：等比数列的单调性（1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；（2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；（3）当q＝1时，{an}是常数列.

〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q

为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则（

）C.

S5＝8D.

an＋Sn＝8√√

规律方法求解等比数列基本量的解题策略（1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条

件及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，

q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”；（2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公

式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论；（3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解.

A.3B.2

D（2）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷13题）若一个等比数列的各项均为正

数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于

⁠.

2法二

设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}

的公比为q（q＞0），所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4

＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝（a1＋a2

＋a3＋a4）（1＋q4）＝68，所以4（1＋q4）＝68，则1＋q4＝17，所以q

＝2，所以该等比数列公比为2.

02PART考点二等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和：（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝

⁠；（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…

仍是等比数列，公比为

⁠；（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍

成等比数列，其公比为

⁠；

am·an

qm

qn

角度1

项的性质

（1）正项递增等比数列{an}，前n项的和为Sn，若a2＋a4＝30，a1a5

＝81，则q＝（

A

）A.3AC.4

（2）（2025·安徽淮南期中）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6

＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝

⁠.解析：因为数列{an}为正项等比数列，则a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，即a5a6

＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（a5a6）5

＝5log39＝10.10规律方法

在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，

特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算

量，提高解题速度.角度2

和的性质

（1）（2026·安徽阜阳模拟）已知项数为奇数的等比数列{an}的首

项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为

（

A

）A.5B.7AC.9D.11

（2）〔一题多解〕等比数列{an}的前n项和记为Sn，若an＞0，S3＝3，

S12＝65S6，则S9＝

⁠.解析：法一

设数列{an}的首项为a1，公比为q.因为S12＝65S6，所以S12

＝S6＋S6·q6＝（1＋q6）S6＝65S6，因为an＞0，所以q＞0，所以

S6≠0，所以q6＋1＝65⇒q6＝64，所以q3＝8.于是S9＝S3·（1＋q3＋q6）

＝3×（1＋8＋64）＝219.219法二

设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由S12＝65S6且q≠1（否则

S12＝2S6≠65S6），利用连续3项和成等比数列且公比t＝q3，所以S3＝3，

S6－S3＝3t，S9－S6＝3t2，S12－S9＝3t3.则S6＝3（1＋t），S12＝3（1＋t

＋t2＋t3），代入S12＝65S6得1＋t＋t2＋t3＝65（1＋t），所以（1＋t）

（1＋t2）＝65（1＋t）.又1＋t≠0，故1＋t2＝65，t＝8（t＞0）.因此，

S9＝3（1＋t＋t2）＝3×（1＋8＋64）＝219.规律方法

恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n

为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就

简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，

并结合题设寻找使用性质的切入点.

A.25B.20D

D.10

A.12B.36C

C.31D.33

B.2C.4B

03PART提能点等比数列的判定与证明教材母题：〔人A选修二P31练习T4〕对于数列{an}，若点（n，an）

（n∈N*）都在函数y＝cqx的图象上，其中c，q为常数，且c≠0，q≠0，q≠1，试判断数列{an}是不是等比数列，并证明你的结论.细研教材：题目可以用定义法证明，也可以作为结论应用.证明数列是否

为等比数列也可以用等比中项法，等比数列前n项和证明.注意

（1）解答题中，一般用定义法判断或证明数列{an}是否为等比

数列；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成

等比数列即可.变式1〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（

）A.

若b2＝ac，则a，b，c成等比数列C.

若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列D.

若a1＝1，a2＝2，3an＋1＝an＋2an＋2（n∈N*），则{an＋1－an}为等比

数列√√√

变式2〔链接高考〕（2024·全国甲卷18题节选）记Sn为数列{an}的前n

项和，已知4Sn＝3an＋4，求{an}的通项公式.

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.

（2026·黑龙江大庆模拟）已知等比数列{an}中，a3＝6，a4a6＝27，

则a7的值为（

）

√12345678910111213142.

〔一题多解〕若等比数列{an}的第3项和第5项分别为48和12，则{an}的

首项a1＝（

）A.

－192B.192C.

±192D.

－193

√12345678910111213143.

（2026·江苏南通模拟）记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝

2，且{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则S10＝（

）A.93B.1

023C.2

047D.3

069解析：

{an＋an＋1}的首项为a1＋a2＝3，故an＋an＋1＝3×2n－1，所以

a3＋a4＝3×4＝12，a5＋a6＝3×24＝48，a7＋a8＝192，a9＋a10＝768，故

S10＝3＋12＋48＋192＋768＝1

023.故选B.

√12345678910111213144.

（2026·四川成都模拟）已知等比数列{an}的公比为2，且a1＋a2＝3.

若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则k值是（

）A.4B.5C.6D.7

√12345678910111213145.

已知在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等

比数列，则Sn＝（

）A.

2n＋1－2B.

3nC.

2nD.

3n－1

√12345678910111213146.

〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1，则

（

）A.

数列{Sn＋1}是等比数列B.

an＝2n－1C.

Sn＝2n－1√√√1234567891011121314

12345678910111213147.

（2026·河北秦皇岛模拟）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2an－

1，n∈N*，且bn＝log2（an－1），则数列{bn}的前100项和为

⁠.

4

95012345678910111213148.

已知等比数列{an}中共有2n项，公比q＝3，且其奇数项和比偶数项和

小20，则S2n＝

⁠.

401234567891011121314

－1123456789101112131410.

（13分）（2024·全国甲卷17题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，

已知2Sn＝3an＋1－3.（1）求{an}的通项公式；

1234567891011121314（2）求数列{Sn}的前n项和.

1234567891011121314

11.

已知等差数列{an}的公差不为0，正项等比数列{bn}，a2＝b2，a10＝

b10，则以下命题中正确的是（

）A.

a1＞b1B.

a5＞b5解析：

由题意可知：点（