2024-2025学年北京理工大学附中七年级(下)期中数学试题及答案

数学2024-2025学年北京理工大学附中七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.(3分)DeepSeek的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着DeepSeek在人工智能领域的深度探索精神.以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（）A.B.C.D.2.(3分)图形中∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.3.(3分)在平面直角坐标系中，若点P(−1,m−2)在第二象限，则mA.3B.0C.2D.−44.(3分)下列式子正确的是（）A.9B.(C.−D.(−25.(3分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A.&B.&C.&D.&6.(3分)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠DOE=37∘，∠COBA.53B.143C.117D.1277.(3分)下列命题中，真命题是（）A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等B.两个无理数之和是无理数C.任何数都有立方根D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行8.(3分)如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴正半轴交于点为E，则点E所表示的数为（）A.5B.2+C.1+D.59.(3分)如图是某校的平面示意图，若实验楼的坐标为(1,2)，大门的坐标为(−1,0)，则图书馆的坐标为（）A.(−5,−5)B.(−8,3)C.(−3,2.5)D.(−4,3.5)10.(3分)在平面直角坐标系中，对于任意一点P(x,y)，定义如下变换：将点P的横坐标除以2，纵坐标取相反数，得到点R(x2，−y)，则称①若点A(2,−2)则点A的半距点的坐标是(1,2)②若点D(m,n)的半距点位于第四象限，则m>0，n<0③若把P的半距点Q向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到坐标(3,4)，则P的坐标是(2,−1)；④若点F的半距点到x轴的距离与到y轴的距离之和为3，则所有符合条件的点F围成的图形的面积是36.A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.(3分)请写出一个大于2且小于3的无理数.12.(3分)若&x=2&y=1是二元一次方程x−my=1的一个解，则m13.(3分)将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为.14.(3分)已知点A的坐标是(2,1)，直线AB∥x轴并且AB=2，则点B的坐标为.15.(3分)一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D.已知∠ABN=32∘，PQ∥SR，AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于SR，则∠DCR=16.(3分)我校π节举办数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、三阶幻方，连环解锁和数独比拼，每个项目得分都按照一定百分比折算后计入总分（每个项目得分的折算百分比之和为1)，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖，下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分)。项目项目得分学生七巧拼图三阶幻方连环解锁数独比拼折算后总分甲669568乙6680606870丙6690806880若甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和数独比拼两项得分折算后的分数之和均为a分，设三阶幻方和连环解锁两个项目的折算百分比分别为x和y，以下说法正确的是.①三阶幻方和连环解锁的折算百分比满足关系式x+2y=1；②若七巧拼图和数独比拼两项折算后分数之和a=20，则它们的折算百分比之和为0.25；③若甲在连环解锁得到90分，就一定能得到一等奖.三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题6分，第19-20题每题4分，第21-24题每题5分，第25题7分，第26题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.(4分)计算：16+|18.(6分)解方程（组)：(1)9x(2)&19.(4分)如图，已知点A为直线BC外一点.(1)完成下列画图：过点A画直线AM∥BC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，画线段AC；(2)比较线段AD与线段AC的大小，并说明依据.20.(4分)已知正实数x的两个平方根分别是2m和m+a.(1)若a=6，求m的值；(2)若a−m=4，求x的值.21.(5分)已知：A(2,4)、B(2,1)、(1)点A经过平移后的对应点为A1(0,3)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1(2)设点P在y轴上，且三角形PB1C1的面积为522.(5分)如图，已知点F在线段AD上，点E与点G在线段BC上,FG∥AE，∠1=∠2.(1)求证：AD∥BC；(2)若FG⊥DE于点H，DE平分∠ADC，∠C=110∘，求23.(5分)在手工课上，小华想用一张面积为900cm2的正方形彩纸，沿着边的方向裁出一块面积为800cm3的长方形纸片，用来制作一张精美的贺卡，并且希望这张长方形纸片的长与宽之比为5:4.他正在发愁能否裁出来，就在这时，同桌小明自信满满地说：“面积大的纸肯定能裁出面积小的纸24.(5分)规定：关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的解记为有序数对M(x,y)，将这些有序数对在平面直角坐标系下描点，连接得到一条直线，这些有序数对对应的点称为直线(1)已知P1(−1,0)，P2(0,−1)，(2)若A(1,1)，B(2,−1)是直线(m+1)x+ny=3的“解点”，求m(3)已知实数ℎ，t满足−2ℎ+t=2，若点M(ℎ，t)是直线3x−y=s一个“解点”，用等式表示s与25.(7分)在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制.如图所示，有两条平行的机械轨道AB与CD，即AB∥CD，将机械臂与轨道AB的接触点记为M，机械臂与轨道CD的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂PM、PQ和QN的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM、PQ和QN不共线.(1)如图1所示，当机械臂PM∥QN时，证明∠AMP=∠QND.(2)如图2所示，当∠AMP=30∘，∠QND=45∘，∠MPQ=α时(3)当∠AMP=β(0∘<β<90∘)，∠QND=θ(26.(7分)在平面直角坐标系中，如果点P(a,b)满足a+2⩾b且b+2⩾a，则称点P(1)在D(1,4)，E(2,0)，(2)如图，已知A(2,8)，B(4,8)，C(2,7)三角形ABC以每秒1个单位长的速度向下(y轴负方向）平移，设运动时间为t秒，请直接写出当三角形ABC(3)已知Y(m，−m)，H(1，−2)，G(1，2)，如果三角形YHG内部（不包括边界）存在整点是“自信点”且“自信点”的数量恰好是1个，直接写出2024-2025学年北京理工大学附中七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1、【答案】C【知识点】加权平均数2、【答案】C【知识点】对顶角、邻补角3、【答案】A【知识点】点的坐标4、【答案】B【知识点】二次根式的性质与化简5、【答案】A【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组6、【答案】D【知识点】对顶角、邻补角,垂线7、【答案】C【知识点】命题与定理8、【答案】C【知识点】实数与数轴,勾股定理9、【答案】C【知识点】点的坐标10、【答案】B【知识点】点的坐标二、填空题（本题共18分，每小题3分）11、【答案】5(【知识点】实数大小比较,无理数12、【答案】1【知识点】二元一次方程的解13、【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行【知识点】命题与定理14、【答案】(4,1)或(0,1)【知识点】点的坐标15、【答案】58【知识点】平行线的性质,平行线的判定与性质,生活中的轴对称现象16、【答案】①③【知识点】一元一次方程的应用-其他问题三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题6分，第19-20题每题4分，第21-24题每题5分，第25题7分，第26题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17、【解答】解：原式=4+=1+3【知识点】实数的运算18、【解答】解：(1)9∴x开平方，得x=43或(2)由①得x=2−y③，把③代入②，得2(2−y)−3y=4去括号，得4−2y−3y=4，解得：y=0，把y=0代入③，得x=2，所以方程组的解为&x=2【知识点】解二元一次方程组19、【解答】解：（1）如图.(2)AC>AD，垂线段最短.【知识点】垂线段最短,平行线的性质20、【解答】解：（1）根据题意得2m+m+a=0，∴3m+a=0，当a=6时，3m+6=0，解得m=−2；(2)由（1）知3m+a=0，∴a=−3m，又∵a−m=4，∴−3m−m=4，∴−4m=4，解得m=−1，∴x=(2m)【知识点】平方根21、【解答】解：（1）由题意得，三角形ABC向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到三角形A1B如图，三角形A1由图可得，B1(0,0)，(2)设点P的坐标为(0,m)，∵三角形PB1C∴1解得m=2或−2，∴点P的坐标为(0,2)或(0,−2).【知识点】点的坐标22、【解答】(1)证明：∵FG∥AE，∴∠1=∠DAE(两直线平行，同位角相等)，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠DAE(等量代换)，∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)；(2)解：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADC=180，∠ADE=∠DEC，又∵∠C=110∴∠ADC=180∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=1∴∠DEC=∠ADE=35∵FG⊥DE，∴∠FHD=90∵FG∥AE，∴∠AED=∠FHD=90∴∠2=180【知识点】平行线的判定与性质23、【解答】解：不同意小明的这种说法，小华不能成功裁出他想要的长方形纸片，理由如下：正方形彩纸的边长为：900=30(cm)设裁出的长方形纸片的长为5xcm，则宽为4xcm，由题意得：5x×4x=800，即：x2解得：x=210∴长方形纸片长为1010∵10∴1010∴不能裁出的长方形纸片，∴不同意小明的说法，小华不能成功裁出他想要的长方形纸片.【知识点】算术平方根24、【解答】解：（1）把P1(−1,0)，P2(0,−1)，P3(1,2)分别代入x−y=1得，∴是直线x−y=1的“解点”的是P2故答案为：P2(2)将A(1,1)，B(2,−1)代入得&(m+1)+n=3解得&m=1(3)把点M(ℎ，t)是直线3x−y=s得∵−2ℎ∴s=ℎ∵ℎ∴s最小值−2.【知识点】点的坐标25、【解答】(1)证明：如图，延长NQ交AB于E，∵PM∥QN，∴∠AMP=∠AEN，∵AB∥CD，∴∠QND=∠AEN，∴∠AMP=∠QND；(2)解：如图，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP=∠MPF，∠FPQ=∠PQG，∠GQN=∠QND，当∠AMP=30∘，∠QND=45∠PQN=∠PQG+∠GQN=∠FPQ+∠QND=∠MPQ−∠MPF+=α−∠AMP+=α−=α+15故答案为：α+15(3)解：∠MPQ−β=∠PQN−θ或∠MPQ−β+∠PQN+θ=360∘或∠MPQ+β=∠PQN+θ或如图，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP=∠MPF，∠FPQ=∠PQG，∠GQN=∠QND，当∠AMP=β(0∘∠PQN=∠PQG+∠GQN=∠FPQ+∠QND=∠MPQ−∠MPF+θ=∠MPQ−β+θ，∴∠MPQ−β=∠PQN−θ；如图，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP=∠MPF，∠FPQ+∠PQH=180∘，当∠AMP=β(0∘∠PQN=∠PQH+∠HQN=====360∴∠MPQ−β+∠PQN+θ=360如图，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP+∠MPE=180∘，∠EPQ=∠PQH，当∠AMP=β(0∘∠PQN=∠PQH+∠HQN=∠EPQ+==∠MPQ−=∠MPQ−=∠MPQ+β−θ，∴∠MPQ+β=∠PQN+θ；如图，分别过点P、Q作EF∥AB,GH∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥GH∥CD，∴∠AMP+∠MPE=180∘，∠EPQ+∠PQG=180当∠AMP=β(0∘∠PQN=∠PQG+∠GQN====360∴∠MPQ+β+∠PQN−θ=360综上，∠MPQ−β=∠PQN−θ或∠MPQ−β+∠PQN+θ=360∘或∠MPQ+β=∠PQN+O或【知识点】平行线的性质26、【解答】解：（1）由题意，∵D(1,4)∴1+2=3<4，∴D(1,4)∵E(2,0)∴2+2>0，0+2=2，∴E(2,0)∵