全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题70增分微课9与圆有关的圆锥曲线问题

增分微课9与圆有关的圆锥曲线问题【备选理由】例1考查动圆与圆锥曲线的结合问题,难度较大,适合学生拔高使用;例2是通过条件内含隐圆问题,利用圆的性质解决更快捷,也体现了解析几何中几何与代数结合的思想.例1[补充使用][2026·湖南九校联盟联考]已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为23,其中一条渐近线的方程为2x-y=0,P(1)求双曲线Γ的方程.(2)过点P作动圆D(以(0,a)为圆心)的两条切线分别交双曲线Γ于异于点P的B,C两点,试判断直线BC是否过定点?若过定点,请求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.(3)已知动点H满足直线HP,HQ的斜率的乘积的绝对值为2,记动点H的轨迹为曲线G.过点Q作直线l1,l2交曲线G分别于M,N和E,F(其中M,E的横坐标的绝对值均大于1),求证:直线MF与NE的交点在定直线上.解:(1)由双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为23可得又其中一条渐近线的方程为2x-y=0,所以ba=2可得a=1,b=2,所以双曲线Γ的方程为x2-y22(2)由题意知,切线PB,PC的斜率都存在.设过P点的切线l的方程为y=k(x+1),动圆D的半径为r(r≠1),则圆心D(0,1)到切线l的距离为|k-1化简得(1-r2)k2-2k+1-r2=0,则PB,PC的斜率k1,k2是该方程的两个根,可得k1·k2=1.设直线PB:y=k1(x+1),B(x1,y1),C(x2,y2),由y=k1(x+1),x2-y22由根与系数的关系得(-1)·x1=k12+2k12-2,则x1=2+k122-k1即B2+k同理可得C2+k因为k2=1k1,所以C又因为kBC=y2-y-12k1所以直线BC的方程为y-4k12方法一:直线BC的方程可化为y=3k1k12+1x=3k1k=3k1k=k1k1故直线BC过定点13方法二:根据双曲线的对称性,若定点存在,则一定在x轴上,不妨设为(x0,0).将(x0,0)代入BC的方程,得0-4k12化简整理得(1-3x0)k12+6x由1-3x0=0,故直线BC过定点13(3)证明:由(1)知P(-1,0),Q(1,0),设H(x,y),依题意得yx化简得y2=2|x2-1|,两边同时平方,整理得动点H的轨迹方程为x2-y22由题意可设直线l2,l1的方程分别为l2:x=my+1和l1:x=ny+1,其中mn≠0.由x=my+1,x2+y22=1,得(2m2将yF代入x=my+1得到F1-由x=my+1,x2-y22=1,得(2m2将yE代入x=my+1得到E1+2m同理可得N1-2n2将点F,M同时向右平移一个单位长度,分别得到F'21+2m2,-4m2m2+1,M'21-2n因此直线MF经过点-1同理可得(将m,n互换)直线NE也经过点-1所以直线MF与NE的交点为-1,-2(m例2[配例3使用][2025·杭州学军中学最后一卷]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A(-1,0),渐近线方程为y=±3x,直线l经过点B(-1,2),与C交于不与(1)求双曲线C的方程;(2)求直线AP,AQ的斜率之和;(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ=∠ARP,求直线PR的斜率的最大值.解:(1)由双曲线的左顶点为A(-1,0),得a=1,由双曲线的渐近线方程为y=±3x,得ba=3,所以b=3所以双曲线C的方程为x2-y23(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由B(-1,2)知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x+1)+2.设直线AP的斜率为k1,直线AQ的斜率为k2,由y=k(x+1)+2,x2-y23=1,消去y得(3-k2则Δ>0,x1+x2=2k2+4k3-k2因为k1=y1x1+1,k2=y2x2+1,所以k1+=2kx1x2+(2+2k)(x1+x2)+2k可得-2所以直线AP,AQ的斜率之和为-3.(3)设PR:y=t(x+1)+r(r≠0),AQ:y=k2(x+1),AP:y=k1(x+1).由y=k1(同理可得Qk2由y=k1(x+1),y所以|AP|2=6r(1+k12)因为∠APQ=∠A