全品高考备战2027年数学一轮学生用书06第65讲全概率公式及应用【正文】听课手册

第65讲全概率公式及应用【课标要求】1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.

2.了解贝叶斯公式.1.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P()>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑i=1nP()P(B2.*贝叶斯公式设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P()>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(|B)=P(Ai)P(常用结论(1)最简单的全概率公式:一般地,如果样本空间为Ω,A,B为事件,那么BA,BA是互斥的,且B=BΩ=B(A+A)=BA+BA,从而P(B)=P(BA)+P(BA).当P(A)>0,且P(A)>0时,P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).(2)最简单的贝叶斯公式:一般地,当0<P(A)<1且P(B)>0时,有P(A|B)=P(A)题组一常识题1.[教材改编]学校食堂分设有一、二餐厅,学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐,根据统计:第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7.那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为.

2.[教材改编]某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现,每天生产线启动时,初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时,第一件产品合格的概率为95%;否则,第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时,生产出的第一件产品是合格品,则当天生产线初始状态良好的概率为.(精确到0.1%)

题组二常错题◆索引:不理解全概率公式与贝叶斯公式;混淆公式中的概率的意义.3.某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读,第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.已知在第一天去2楼的条件下第二天还去2楼阅读的概率为0.7,在第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为0.8,则该同学第二天去3楼阅读的概率为.

4.若10张彩票中有2张有奖,两位顾客按照先后顺序各抽1张,则第二位顾客中奖的概率为.

5.用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病.在患有此种疾病的人群中,通过化验有95%的人化验结果为阳性,而健康的人通过化验也会有1%的人化验结果为阳性.某地区此种疾病的患者仅占总人口的0.5%.若某人化验结果为阳性,则此人确实患有此种疾病的概率是.(精确到0.001)

全概率公式的直接计算例1(1)已知P(A)=14,P(B|A)=13,P(B|A)=12,则P(B)= (A.14 B.C.58 D.(2)[2025·江西萍乡二模]若随机事件A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(B|A)=0.5,则P(B|A)=.

总结反思与全概率公式有关的直接计算问题,可根据已知条件准确确定出公式中涉及的各个概率值,直接代入公式求解,或建立方程(组)求解.变式题(1)已知0<P(B)<1,P(A|B)=14,P(A|B)=12,若P(A)=23,则P(B)= A.34 B.23 C.12 (2)[2025·云南昆明四联]若P(B|A)=12,P(B|A)=23,P(A)=14,则P(B全概率公式的简单应用例2(1)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为2∶3,其中甲班中女生占35,乙班中女生占25,则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为 (A.38 B.625 C.712 (2)[2026·湖南湘潭一模]跑步运动越来越受大众喜爱.据统计,某校有高一、高二、高三三个年级,这三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%,30%,35%,且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4,现从这三个年级中随机抽一名教师,则该教师喜欢跑步的概率为 ()A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36总结反思两个事件的全概率问题求解策略及步骤(1)拆分:将样本空间拆成互斥的两部分,如A1,A2(或A,A).(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).变式题(1)[2025·陕西咸阳模拟]甲、乙两队进行篮球比赛,甲队每局获胜的概率为35,甲队中A队员上场的情况下甲队获胜的概率为23,A队员不上场的情况下甲队获胜的概率为12,则A队员每局上场的概率为 A.12 B.35 C.23 (2)现有三箱酸奶,里面都装有水果味和原味两种口味.第一箱内装有10袋,其中有2袋是水果味;第二箱内装有15袋,其中有3袋是水果味;第三箱内装有20袋,其中有5袋是水果味.现从三箱酸奶中任意选择一箱,然后从该箱中随机取1袋酸奶,则取出的酸奶是水果味的概率为.

贝叶斯公式例3(1)人工智能领域让贝叶斯公式:P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)站在了世界中心位置,换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些视频,视频占有率为0.001.某团队决定用对抗,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.A.0.1% B.0.4%C.2.4% D.4%(2)某汽车4S店从甲、乙、丙三个车企分别采购同一款智能汽车500,400,100辆进行销售,甲、乙、丙三个车企生产的该款智能汽车的智驾故障率分别为2%,3%,5%,某消费者从该4S店购买了一辆此款智能汽车,在智驾过程中突然出现故障,则根据概率计算出甲、乙、丙三个车企应承担的责任比为 ()A.2∶3∶5 B.10∶12∶5C.5∶12∶10 D.5∶4∶1总结反思把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An看作该过程的若干个原因,若已知事件B已经发生,要求此时是由第i(i=1,2,…,n)个原因引起的概率,则用贝叶斯公式求解.变式题(1)[2025·河北保定二模]已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有n个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出1个球,记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件(i=0,1,2),“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B,则P(A2|B)是 ()A.与n有关的常量B.与n有关的变量C.与n无关的定值,且为1D.与n无关的定值,且为1(2)[2025·天津五区县重点校联考]中国是瓷器的故乡,瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献,瓷器传承着中国文化,有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器,由甲、乙、丙三家瓷器厂生产,其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产400件、400件、200件,且甲、乙、丙瓷器厂的次品率分别为5%,4%,4%.现从这批瓷器中任取1件,取到次品的概率是,若取到的是次品,则它来自甲厂的概率为.

全概率公式的拓展应用例4某无人机操作员进行定点精准降落训练.根据以往训练经验,第一次降落成功的概率为34.若第i次降落成功,则第i+1次降落成功的概率为45;若第i次降落未成功,则第i+1次降落成功的概率为23,其中i∈(1)求该操作员第2次降落成功的概率;(2)记该操作员前2次降落成功的次数为X,求X的分布列和数学期望;(3)设第i次降落成功的概率为Pi,求证:34≤Pi<10

总结反思全概率公式在一些更加复杂的问题中,可以描述动态的概率过程,有着明显的“工具性”,要能够在实际问题中建立应用