高一数学习题课　余弦定理、正弦定理的综合应用

习题课余弦定理、正弦定理的综合应用课标要求1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.一、涉及三角形面积的计算问题探究已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？提示边b上的高h为asinC，故面积为S＝eq\f(1,2)bh＝eq\f(1,2)absinC.【知识梳理】1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝eq\f(1,2)absin_C＝eq\f(1,2)bcsin_A＝eq\f(1,2)casin_B.2.△ABC中的常用结论：(1)A＋B＋C＝180°，sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C；(2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.例1(链接教材P54T22)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝eq\r(7)，且ccosA＋eq\f(1,2)a＝b.(1)求C的大小；(2)求△ABC的面积.解(1)由正弦定理，得sinCcosA＋eq\f(1,2)sinA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，即eq\f(1,2)sinA＝sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2).思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.训练1(1)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积为()A.4eq\r(3) B.4 C.2eq\r(3) D.2eq\r(2)答案C解析由余弦定理可得(2eq\r(3))2＝AB2＋42－2×4·AB·cos60°，整理得AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AC·AB·sinA＝eq\f(1,2)×4×2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq\f(\r(3)（a2－b2－c2）,4)，则角A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,4)答案C解析由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，而三角形的面积为eq\f(1,2)bcsinA，故eq\f(\r(3)（b2＋c2－2bccosA－b2－c2）,4)＝eq\f(1,2)bcsinA，整理得到tanA＝－eq\r(3)，又A∈(0，π)，故A＝eq\f(2π,3).二、以多边形为背景的解三角形问题例2如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝eq\f(2π,3)，CD＝eq\r(6)，△ACD的面积为eq\f(3\r(3),2).(1)求AC的长；(2)若AB⊥AD，∠B＝eq\f(π,4)，求BC的长.解(1)∵∠D＝eq\f(2π,3)，CD＝eq\r(6)，△ACD的面积为eq\f(3\r(3),2)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CD·sinD＝eq\f(1,2)·AD·eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，∴AD＝eq\r(6)，∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝6＋6－2×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝18，∴AC＝3eq\r(2).(2)由(1)知，在△ACD中AD＝eq\r(6)，CD＝eq\r(6)，∠D＝eq\f(2π,3)，∴∠DAC＝eq\f(π,6)，∵AB⊥AD，∴∠BAC＝eq\f(π,3).又∵∠B＝eq\f(π,4)，AC＝3eq\r(2)，∴在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(BC,\f(\r(3),2))＝eq\f(3\r(2),\f(\r(2),2))，∴BC＝3eq\r(3).思维升华正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.训练2如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且cosB＝eq\f(c－a,2a).(1)求B的大小；(2)若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求sin∠BCD.解(1)∵∠ACB＝eq\f(π,2)，∴cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(a,c)＝eq\f(c－a,2a)，整理得2a2－c2＋ac＝0，即(2a－c)(a＋c)＝0.∵a＋c>0，∴2a－c＝0，即2a＝c.∴cosB＝eq\f(1,2)，∵B为△ABC的内角，∴B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).(2)依题意，知c＝AB＝3，BD＝AB－AD＝2，BC＝AB·cosB＝eq\f(3,2).在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcosB＝eq\f(9,4)＋4－2×eq\f(3,2)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(13,4)，∴CD＝eq\f(\r(13),2).在△BCD中，由正弦定理得eq\f(CD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sinB,CD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\f(\r(13),2))＝eq\f(2\r(39),13).三、正、余弦定理与三角函数的综合例3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2b－eq\r(3)c)cosA－eq\r(3)acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)求2sinB＋eq\f(a2＋b2－c2,ab)的取值范围.解(1)由(2b－eq\r(3)c)cosA－eq\r(3)acosC＝0及正弦定理可得2sinBcosA－eq\r(3)sinCcosA－eq\r(3)cosCsinA＝0，整理得2sinBcosA－eq\r(3)sin(A＋C)＝0，即2sinBcosA－eq\r(3)sinB＝0.又sinB>0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，故A＝eq\f(π,6).(2)由余弦定理的推论及三角形内角和定理知2sinB＋eq\f(a2＋b2－c2,ab)＝2sinB＋2cosC＝2sinB－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝3sinB－eq\r(3)cosB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).因为0<B<eq\f(5π,6)，所以－eq\f(π,6)<B－eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，所以－eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))≤1，即2sinB＋eq\f(a2＋b2－c2,ab)的取值范围为(－eq\r(3)，2eq\r(3)].思维升华正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是利用三角函数的性质，一般把求边的范围转化成求角的范围，解与三角形有关的问题.训练3△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b＝eq\r(3)，a2＋c2－ac＝b2，则2a＋c的最大值为()A.2eq\r(7) B.2eq\r(5)C.5＋eq\r(3) D.5－eq\r(3)答案A解析由已知及余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，又0<B<π，故B＝eq\f(π,3).由正弦定理知，eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2，则a＝2sinA，c＝2sinC，所以2a＋c＝4sinA＋2sinC＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－C))＋2sinC＝4sinC＋2eq\r(3)cosC＝2eq\r(7)sin(C＋φ)，其中tanφ＝eq\f(\r(3),2)且φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).因为tanφ＝eq\f(\r(3),2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，所以φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，又0<C<eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,6)<C＋φ<eq\f(11π,12)，所以当C＋φ＝eq\f(π,2)时，2a＋c取得最大值，为2eq\r(7).【课堂达标】1.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，则C＝()A.60°或120° B.30°C.60° D.45°答案C解析在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(\r(3),2)，可得sinA＝1.因为0°<A<180°，所以A＝90°.所以C＝180°－A－B＝60°.2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理b2＋c2－a2＝2bccosA可得bc＝2bccosA，即cosA＝eq\f(1,2)，因为在△ABC中，sinA>0，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).因为bc＝1，所以S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4).3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sinB的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(7),6)C.eq\f(\r(7),14) D.eq\f(\r(21),14)答案D解析由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝2eq\r(7)，由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，则sinB＝eq\f(AD·sin∠ADB,AB)＝eq\f(\r(21),14).4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosA(bcosC＋ccosB)＝a＝eq\r(13)，△ABC的面积为3eq\r(3)，则A＝________，b＋c＝________.答案eq\f(π,3)7解析由已知及正弦定理可得，2cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA，可得2cosAsin(B＋C)＝sinA，即2cosAsinA＝sinA，又sinA≠0，∴cosA＝eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).由面积公式可得，3eq\r(3)＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc，即bc＝12.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7.一、基础巩固1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝4，C＝eq\f(π,6)，则△ABC的面积为()A.2eq\r(3) B.eq\r(3)C.eq\r(13) D.eq\r(39)答案B解析由题意可知，a＝eq\r(3)，b＝4，C＝eq\f(π,6)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×4×eq\f(1,2)＝eq\r(3).2.钝角△ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC＝()A.5 B.eq\r(5)C.2 D.1答案B解析由三角形面积公式，得S＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2).又∵AB＝1，BC＝eq\r(2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,4)或B＝eq\f(3π,4).由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，当B＝eq\f(π,4)时，得AC＝1，这时不符合△ABC为钝角三角形的要求，故舍去；当B＝eq\f(3π,4)时，得AC＝eq\r(5)(满足题意).3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若eq\f(b,a)＝eq\f(1－cosB,cosA)，则△ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案C解析由正弦定理得sinBcosA＝sinA－sinAcosB，即sinC＝sinA，由于A，C为三角形内角，所以C＝A.4.(多选)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则下列关系成立的是()A.a＝c·cosB B.tanA·tanB＝1C.b＝c·cosA D.a＝b·tanB答案ABC解析对于A，cosB＝eq\f(a,c)，则a＝c·cosB，故A成立；对于B，因为tanA＝eq\f(a,b)，tanB＝eq\f(b,a)，所以tanA·tanB＝eq\f(a,b)·eq\f(b,a)＝1，故B成立；对于C，cosA＝eq\f(b,c)，则b＝c·cosA，故C成立；对于D，tanB＝eq\f(b,a)，则b＝a·tanB，故D不成立.5.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.a＝1，b＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，且eq\r(3)cos∠ACB＝csinA，则△ACD的面积为()A.eq\f(9\r(3),32) B.eq\f(9\r(3),16)C.eq\f(9\r(3),4) D.eq\f(9\r(3),2)答案B解析由正弦定理可知asin∠ACB＝csinA，所以eq\r(3)cos∠ACB＝csinA＝asin∠ACB＝sin∠ACB，故tan∠ACB＝eq\r(3).又∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝eq\f(π,3).由D是AB上的点，CD平分∠ACB及角平分线定理可知，eq\f(AD,BD)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(b,a)＝3，故AD＝eq\f(3,4)AB，即S△ACD＝eq\f(3,4)S△ABC＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)ab×sin∠ACB＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×1×3×sineq\f(π,3)＝eq\f(9\r(3),16).6.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，则BD＝________.答案eq\r(3)解析∵sin∠BAC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠BAD))＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3).在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3eq\r(2))2＋32－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，A＝60°，则角B＝________，△ABC的面积是________.答案45°eq\f(3＋\r(3),4)解析在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)sin60°,\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，又因为b<a，所以B<A，所以B＝45°，则C＝75°，则S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)×sin75°＝eq\f(3＋\r(3),4).8.在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是________.答案(eq\r(5)，3)解析因为△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，则由余弦定理的推论得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，于是得c2>a2＋b2＝12＋22＝5，c>0，解得c>eq\r(5)，而有c<a＋b＝3，即eq\r(5)<c<3，所以最大边c的取值范围是(eq\r(5)，3).9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinB＋sinC)2＝sin2A＋sinBsinC.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝6，△ABC的面积为2eq\r(3)，求a的值.解(1)∵(sinB＋sinC)2＝sin2A＋sinBsinC.∴由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝－eq\f(1,2)，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2π,3).(2)∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc＝2eq\r(3)，∴bc＝8，又b＋c＝6，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28，∴a＝2eq\r(7).10.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝eq\f(\r(3),3).(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2eq\r(3)，求AB的长.解(1)因为D＝2B，cosB＝eq\f(\r(3),3)，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3).因为D∈(0，π)，所以sinD＝eq\r(1－cos2D)＝eq\f(2\r(2),3).因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积为S＝eq\f(1,2)AD·CD·sinD＝eq\f(1,2)×1×3×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2).(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2eq\r(3).因为BC＝2eq\r(3)，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以eq\f(2\r(3),sinB)＝eq\f(AB,sin（π－2B）)＝eq\f(AB,sin2B)＝eq\f(AB,2sinBcosB)，所以AB＝4.二、综合运用11.平面上有四点A，B，P，Q，其中A，B为定点，且|AB|＝eq\r(3)，P，Q为动点，满足|AP|＝|PQ|＝|QB|＝1，△PAB与△PQB的面积分别为m，n，则m2＋n2的最大值为()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案A解析在△PAB和△PQB中，由余弦定理得，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA＝PQ2＋BQ2－2PQ·BQcosQ，即1＋3－2eq\r(3)cosA＝1＋1－2cosQ，所以cosQ＝eq\r(3)cosA－1.故m2＋n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinA))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinQ))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)sin2A＋eq\f(1,4)sin2Q＝eq\f(3,4)(1－cos2A)＋eq\f(1,4)(1－cos2Q)＝1－eq\f(3,4)cos2A－eq\f(1,4)(eq\r(3)cosA－1)2＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(\r(3),6)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，所以当cosA＝eq\f(\r(3),6)时，m2＋n2取得最大值eq\f(7,8).12.(多选)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＋eq\r(3)sinB＝2，c＝2，则△ABC面积的取值可以为()A.eq\f(\r(3),2) B.1 C.eq\r(3) D.2eq\r(3)答案BC解析因为cosB＋eq\r(3)sinB＝2，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＝1，又B为锐角，所以B＝eq\f(π,3)，所以A＋C＝eq\f(2π,3).根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(2sinA,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)))，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(2sinA,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)))＝eq\f(\r(3)sinA,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)))＝eq\f(\r(3)sinA,\f(\r(3),2)cosA＋\f(1,2)sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2tanA)＋\f(1,2)).因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<C＝\f(2π,3)－A<\f(π,2)，))所以eq\f(π,6)<A<eq\f(π,2)，所以tanA>eq\f(\r(3),3)，所以0<eq\f(\r(3),2tanA)<eq\f(3,2)，eq\f(1,2)<eq\f(\r(3),2tanA)＋eq\f(1,2)<2，所以eq\f(\r(3),2)<eq\f(\r(3),\f(\r(3),2tanA)＋\f(1,2))<2eq\r(3)，所以△ABC面积的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，2\r(3)))，故选BC.13.如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；(2)若CD＝eq\r(3)BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.解(1)在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(－AB·BC,2AB·BC)＝－eq\f(1,2)，又0°<B<180°，所以B＝120°.故S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×3×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4).(2)设∠ACB＝θ，则∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.在△ACD中，由正弦定理eq\f(AC,sin（30°＋θ）)＝eq\f(CD,sin30°)，得AC＝eq\f(sin（30°＋θ）,sin30°)CD，在△ABC中，由正弦定理eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(BC,sin（60°－θ）)，得AC＝eq\f(sin120°,sin（60°－θ）)BC.联立上式，并由CD＝eq\r(3)BC得eq\r(3)×eq\f(sin（30°＋θ）,sin30°)＝eq\f(sin120°,sin（60°－θ）)，整理得sin(30°＋θ)sin(60°－θ)＝eq\f(1,4)，即sin(30°＋θ)cos(30°＋θ)＝eq\f(1,4)，所以sin(60°＋2θ)＝eq\f(1,2).因为0°<θ<60°，所以60°<60°＋2θ<180°，所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，即∠ACB的值为45°.三、创新拓展14.已知a＝(eq\r(3)sinx，－cosx)，b＝(cos