高中数学第八章　§8.6　培优课　与球有关的截面及内切、外接问题

培优课与球有关的截面及内切、外接问题学习目标1.掌握球的截面问题的相关计算.(难点)2.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.(重点)3.会求特殊几何体的内切球的相关问题.(难点)一、球的截面问题例1一平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6π B.43πC.46π D.63π答案B解析如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点，则OO'=2，O'M=1，∴OM=(2)2+1=∴球的体积V=43π×(3)3=43反思感悟球的截面的性质用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系d=R2跟踪训练1如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3C.1372π3cm3 D.2048π3答案A解析如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2(cm)，BM=12AB=12×8=4(cm).设球的半径为R，则R2=OM2+MB2=(R-2)2+4解得R=5cm，∴V球=43π×53=500π3(cm3二、几何体的外接球一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则称之为该几何体的外接球.空间中如果一个定点与一个多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体的外接球的球心，该定点到各顶点的距离为外接球的半径.角度1直接法求几何体的外接球例2(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为()A.3πa3 B.6πa3C.23πa3 D.26πa3答案B解析作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为a2+(2a)2=5a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为a2+(5a)2所以球的体积V=43πR3=6πa3(2)棱长为a的正四面体ABCD，其顶点都在一个球面上，求球的体积.(用直接法解答)解如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE.∵正四面体的棱长为a，∴BE=32a×23=3∴在Rt△ABE中，AE=a2-a2设球心为O，半径为R，连接OB，则(AE-R)2+BE2=R2，∴R=64a，∴V球=43πR3=68π反思感悟(1)直接法求解几何体的外接球问题，需要找到合适的截面，才能将空间几何问题转化为平面几何问题求解.如果几何体是多面体，球心以及侧棱所确定的平面是截面的首选；如果几何体是旋转体，经常选择轴截面作为截面.找到截面后，利用球心到球面上两点的距离相等来确定球心位置与半径大小，(2)常见几何体的外接球的有关结论①长方体的体对角线是其外接球的直径，即若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r=12②若正方体的棱长为a，则其外接球半径为32a③若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=64a④正棱锥的外接球球心在顶点到底面的垂线上.⑤直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.跟踪训练2(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.πa2 B.73πaC.113πa2 D.5πa答案B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP=23×32a=33a，OP=所以球的半径R=OA满足R2=33a2+12a2=712a2，故S球=4πR(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积与此球体积的比值为.

答案932或解析分两种情况，①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2于是圆锥的底面半径为r2-r22该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2=38πr∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332角度2补形法求几何体的外接球例3(1)已知三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.7143C.56π D.14π答案B解析以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB'B-CA'P'C'被平面ABC所截得的三棱锥P-ABC符合要求，如图，长方体PAB'B-CA'P'C'与三棱锥P-ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP'，设外接球的半径为R，则(2R)2=PP'2=PA2+PB2+PC2=12+22+32=14，则所求球的表面积S=4πR2=π·(2R)2=14π.(2)棱长为a的正四面体ABCD，其顶点都在一个球面上，求球的体积.(用补形法解答)解如图，将正四面体ABCD放入正方体中，∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为22a，体对角线长为62∴球的直径2R=62a∴R=64a，∴V球=43πR3=68π反思感悟当几何体中存在侧棱与底面垂直或对棱相等等条件时，我们可以把几何体补形为长方体或正方体等特殊几何体，求解其外接球的半径，具体如下：(1)侧面为直角三角形的三棱锥或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解.①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.③正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=PA2，如图3所示④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.(2)将一条棱垂直于底面的三棱锥补成直三棱柱求解.跟踪训练3三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22，32，62，则该三棱锥的外接球的体积是A.2π3C.6π D.86π答案C解析三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，令12ab=22，12bc=32，1解得a=2，b=1，c=3.则长方体的体对角线长为(=6.所以外接球的直径是6，半径R=62则外接球的体积V=43πR3=6三、几何体的内切球问题例4(1)一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形.类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的表面积为()A.81π B.16πC.32π3 D.答案B解析由题意，三棱锥内切球球心与各顶点相连把此三棱锥分成以原三棱锥各面三角形为底面，高为内切球半径的4个小三棱锥，从而有V=13Sr⇒2=13·3·r⇒r所以该三棱锥内切球的表面积为4πr2=4π·22=16π.(2)如果一个圆锥的高是这个圆锥内切球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为()A.4∶3 B.3∶1C.3∶2 D.9∶4答案C解析画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD=r，PO=2r，∠PDO=90°，∴∠CPB=30°.又∠PCB=90°，∴CB=33PC=3r，PB=23r∴圆锥的侧面积S1=π×3r×23r=6πr2，球的表面积S2=4πr2，∴S1∶S2=3∶2.反思感悟(1)求多面体的内切球问题时，需要把几何体分割成以球心为顶点，以各个面为底面的小棱锥，这些小棱锥的高就是内切球的半径，它们的体积之和等于该多面体的体积，根据等体积法列方程求解即可.(2)求旋转体的内切球问题时，轴截面中的圆心和半径即为内切球的球心和半径，我们可以通过三角形相似或等面积法求内切球的半径.(3)常用结论：①棱长为a的正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)半径为r1=a2，如图1②棱长为a的正方体的棱切球(球与正方体的各条棱相切于各棱的中点)半径为r2=22a，过球心作正方体的对角面，如图2③棱长为a的正四面体的内切球半径为r=612a，所以正四面体外接球与内切球半径之比为3∶跟踪训练4(1)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的内切球的半径为.

答案1解析如图①，依题意可知AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以PD⊥PE，PF⊥PD，PE⊥PF，如图②.所以在三棱锥P-DEF中，PD，PE，PF两两垂直，且PE=PF=1，PD=2，因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形ABCD的面积，所以S表=2×2=4，V三棱锥P-DEF=13×12×1×1×2=设三棱锥P-DEF的内切球的半径为r，所以由13S表·r=V三棱锥P-DEF，解得r=1(2)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积的比为()A.2∶1 B.4∶1C.8∶1 D.8∶3答案A解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，球面与母线AC的切点为E，由△AOE∽△ACF可得1r=(即r=hh∴圆锥的体积V=13πr2h=πh23(h当且仅当h-2=2，即h=4时取等号.∴该圆锥体积的最小值为8π3又内切球体积为4π3故该圆锥体积与其内切球体积的比为2∶1.1.知识清单：(1)球的截面问题.(2)与球有关的切、接问题.2.方法归纳：转化法、类比法、直接法、补形法、等积法.3.常见误区：解与外接球、内切球有关问题时，不会确定球心的位置.1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3 B.C.3π2答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是43×π×13=4π2.已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是()A.27 B.16C.9 D.3答案A解析设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则Rr=3.由题意知43πr3=1，则外接球的体积是43πR3=27×433.球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为.

答案6解析如图，由已知条件知球的半径R=10，截面圆的半径r=8，∴球心到截面的距离h=R24.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为.

答案4πRr解析画出轴截面如图，BE=BO2=r，AE=AO1=R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2=AE·BE=Rr，∴球的表面积为4πOE2=4πRr.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分1.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.C.8π D.8答案C解析设球的半径为R，则截面圆的半径为R2∴截面圆的面积为π(R2-1)2∴R2=2，∴球的表面积S=4πR2=8π.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4C.9π D.27π答案A解析如图，易知球心在正四棱锥的高上，设球心为O，半径为r，AE=2，OE=4-r，则在Rt△AOE中，(4-r)2+(2)2=r2，解得r=94∴该球的表面积为4πr2=4π×942=3.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则这个三棱锥的外接球的表面积为()A.56π B.224πC.5614π答案A解析三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，它的外接球就是它补形为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，令12ab=4，12bc=6，12解得a=4，b=2，c=6，则长方体的体对角线的长为a2+b2+c2所以外接球的直径为214，半径长为14，外接球的表面积为S=4πR2=56π.4.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为(A.2π3C.4π3答案A解析设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr=2π3×3∴r=1，h=32-12=22，设内切球的半径为R，则∴R=22，V=43πR3=43π×25.(多选)某人设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则()A.R=3r B.R=6rC.V2=9V1 D.2V2=27V1答案AD解析由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R=3r，圆柱的高等于球形巧克力的直径，即h=2r，V1=4πr33，V2=πR2h=18πr3，则有2V2=276.(多选)用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是()A.若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6B.若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等C.若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+2D.若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值答案BC解析若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形ACB1，其边长为2，则截面的周长为32，A错误；若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，故外接球体积相等，B正确；当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12+2×12×12+1×2=3+2，C若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定值，D错误.7.(多选)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法错误的有()A.该半正多面体的体积为5B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为3C.该半正多面体的表面积为6+23D.该半正多面体外接球的表面积为8π答案ABD解析如图，因为AB=1，所以该半正多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去八个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积V=(2)3-8×13×12×222×22根据该半正多面体的对称性可知，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，又AB=1，所以正六边形的面积S=6×12×1×1×32=33因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为8×12×1×1×32+6×12=6+23，故根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED的中心，故半径R=1，所以该半正多面体外接球的表面积为S=4πR2=4π×12=4π，故D错误.8.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

答案5解析设铁球的半径为rcm.分三种情况讨论.情况一：竖直排列(一个在上，一个在下)，则4r≤9，∴r≤94情况二：水平排列(并排放置)，则4r≤8，∴r≤2；情况三：斜向排列，截面图如图所示，0<r<4，由图可知(8-2r)2+(9-2r)2=4r2，即4r2-68r+145=0，即(2r-5)(2r-29)=0，解得r=52或r=292(舍去综上所述，铁球半径的最大值为529.(5分)在三棱锥P-ABC中，△ABC的内心O到三边的距离均为1，PO⊥平面ABC，且△PBC的边BC上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为.

答案4解析如图，O为△ABC的内心，若PE⊥BC于点E，连接OE，易知BC⊥平面EPO，∵OE⊂平面EPO，∴OE⊥BC，∴OE=1，PE=2，若PO上的点F为三棱锥P-ABC内切球的球心，且FD⊥PE，即内切球的半径为r=FO=FD，∴sin∠EPO=OEPE=FD而PF=PO-FO，PO=PE2-∴r3-r=12，得故该三棱锥的内切球的体积V=43πr3=410.(10分)若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积解如图，在正六棱柱中，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE=2OE=2DE，所以BE=6，BE=E1E，在Rt△BEE1中，BE1=BE2+所以该球的直径为2R=23，则半径R=3，所以球的体积V球=43πR3=43π球的表面积S球=4πR2=12π.11.已知四面体SABC的所有棱长为23，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径的比值为()A.33 B.C.13 D.答案D解析如图，设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点.在Rt△SAO中，该四面体的高h=SO=SA2=SA2-23又四面体的表面积S=4×34×(23)2=123则13·S·R1=13×33h，解得R1=由HO2FO1=S即R222=22-2-R2212.(多选)如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则()A.圆锥的底面半径为1B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三C.该组合体的外接球表面积与该组合体底面面积之比为16∶3D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半答案CD解析如图，设圆锥的顶点为P，圆柱上、下底面的圆心分别为O1，O2，O1O2的中点为O，由题意，设圆锥的高PO1=h，圆柱的高O1O2=2h，圆柱的上、下底面圆半径为r，则h解得h=1，r=3，故A错误；圆柱的体积为V圆柱=π×3×2=6π，外接球的体积为V球=43π×23=32π则V圆柱=916V球，故B底面面积为S底=π×3=3π，外接球的表面积为S球=4π×22=16π，则S球∶S底=16π∶3π=16∶3，故C正确；圆锥的母线长为(3)所以圆锥的侧面积为π×3×2=23π，圆柱的侧面积为2π×3×2=43π，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.13.(5分)已知正三棱柱的侧面积为3cm2，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为cm2.

答案4解析当球O的半径R最小时，球O的表面积最小.设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的侧面积S侧=3ab=3，所以ab=1.底面正三角形所在截面圆的半径r=33a，则R2=r2+b22=a23+b24=13b2+b即b=4314时取等号，又因为0<b所以(R2)min=33故球O的表面积的最小值为43π314.(11分)一块边长为20的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，如图2，点O在底面ABCD上，EO⊥底面ABCD，OF⊥BC.(1)试把容器的容积V表示成底边边长x的函数；(4分)(2)当x=12时，求此容器的