2026高考数学复习高效培优专题03 平面向量（选填题）（原卷版）

专题03平面向量（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

典例剖析方法提炼变式

题型01平面向量基本定理与坐标运算

题型02建系求向量最值和取值范围

题型03奔驰定理与三角形四心

题型04平面向量新定义

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

题型01平面向量基本定理与坐标运算

【例1-1】（25-26高三上·辽宁·期中）在ABC中，D为边BC上一点，且满足BD2DC，设APAD，

0,1，若存在实数m,n，使BPmBAnBC，则mn的取值范围是（）

1123

A．,1B．,1C．,1D．,1

3234

1

【例1-2】（2025·天津·高考真题）ABC中，D为AB边中点，CECD,ABa,ACb，则（用

3AE

a，b表示），若|AE|5，AECB，则AECD

1.共线向量基本定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．

2.平面向量基本定理

如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数

e1e2a

，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，

1,2a1e12e2e1e2e1,e2

叫做向量关于基底的分解式．

1e12e2ae1,e2

3.线段定比分点

如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BDDC（1），则向量

A

ABAC

AD．

1

C

BD

4.三点共线定理(等和线)

平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数,，使OCOAOB，其中1，O为平面

内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．

5.A、B、C三点共线

存在唯一的实数，使得ACAB；

存在唯一的实数，使得OCOAAB；

存在唯一的实数，使得OC(1)OAOB；

存在1，使得OCOAOB

【变式1-1】（2025·天津河北·二模）如图，在ABC中，点D，E在边BC上，且BDDEEC，点F，

uuuruuuruuuuruuuur

M分别在线段AB，AD上，且AF2FB,2AMMD，直线FM交AE于点G，且AGAE，则．若

直线MC交AE于点N且MNG是边长为1的等边三角形，则MAMC．

【变式1-2】（2025·吉林松原·模拟预测）在菱形ABCD中，AB1，ABC，E，F分别是边BC，CD的

3

中点，则AEAF（）

13933

A．B．C．D．

8848

【变式1-3】（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边ABC的外接圆为圆O，点P为圆O上任意一

点，若APxAByAC，则2x2y的最大值为（）

84

A．B．2C．D．1

33

题型02建系求向量最值和取值范围

【例2-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量a,b,c满足a3,b1,ab7,c2ca，记

mtbtR，则mc的取值范围是（）

A．2,B．232,C．,232D．232,232

【例2-2】（2025·北京海淀·一模）已知向量a2,0，b1，则ab的最大值为；ab与a的

夹角的取值范围是．

平面向量建系解题的核心逻辑是“先选最优坐标系，再坐标化向量，最后用公式运算”，具体方法如下：

1.看图形特征定建系类型

1）含直角（直角三角形、矩形、正方形）：优先以直角顶点为原点，直角边为x、y轴（最省计算）；

2）对称图形（正六边形、菱形、圆）：以对称中心为原点，对称轴为坐标轴（利用对称性简化坐标）；

3）含特殊角（30°、45°、60°）：以特殊角顶点为原点，一边为x轴（用三角函数快速求坐标）；

4）无明显直角/对称：选线段中点、定比分点或公共顶点为原点，选任意不共线边为坐标轴（尽量减少参数）。

2.按图形性质求点坐标

1）利用边长、角度、对称关系（如中点坐标公式、定比分点公式）计算各顶点坐标，确保坐标无遗漏；

2）特殊图形结论直接用（如正六边形顶点坐标、菱形对角线垂直平分等），节省推导时间。

3.套用公式解决目标问题.

【变式2-1】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知圆O:x2y21和定点A1,2，若点P、Q分别为圆O外和

圆O上两点，且满足OQPQ0，∣PQ∣∣PA∣，则POPQ的最小值为．

【变式2-2】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量a,b,c满足

ab2,|ab||bc||ca|3，则c的最大值为.

【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）（多选题）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角

2π

为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧AB上运动，若OCxOAyOB(x,yR)，则xy的取值可

3

以是（）

55

A．1B．C．2D．

42

题型03奔驰定理与三角形四心

【例3-1】（25-26高三上·黑龙江·期中）（多选题）下列命题中正确的是（）

A．若a3,4,b0,1，则向量a在向量b方向上的投影向量为0,4

B．两个非零向量a,b，若abab，则a与b共线且反向

C．若ab0，则向量a与b的夹角为钝角

D．若O为ABC的外心，PAPBPC2PO，则P为ABC的垂心

【例3-2】（2025·广东江门·模拟预测）已知点O,G分别是ABC的外心，重心，AB3,AC2，则AOAG

的值为.

奔驰定理：设O是ABC内一点，BOC,AOC,AOB的面积分别记作SA,SB,SC,则

SAOASBOBSCOC0.

SCSB

SA

奔驰定理与三角形四心

①若O为ABC的重心，则OAOBOC0；

②若O为ABC的外心，则sin2AOAsin2BOBsin2COC0；

③若O为ABC的内心，则aOAbOBcOC0；备注：若O为ABC的内心，则

sinAOAsinBOBsinCOC0也对.

④若O为ABC的垂心，则tanAOAtanBOBtanCOC0.

【变式3-1】（2025·湖南长沙·一模）（多选题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点

M是△ABC所在平面上一点，且AMABAC，则下列说法正确的是（）

A．若01,01,01，则M在ABC内部

1

B．若，则M为ABC的重心

3

211

C．若,，则AMC的面积是ABC面积的

333

π11

D．若b2,c3,BAC，M为ABC外接圆圆心，则

318

【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）（多选题）奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，△AOC，

AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SAOASBOBSCOC0．如图，设O是ABC内一点，ABC的三

个内角分别为A,B,C，BOC，△AOC，AOB的面积分别为SA,SB,SC，若3OA4OB5OC0，则以下

命题正确的有（）

A．SA:SB:SC3:4:5

B．O有可能是ABC的重心

C．若O为ABC的外心，则sinA:sinB:sinC3:4:5

D．若O为ABC的内心，则ABC为直角三角形

【变式3-3】（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心

依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在

π

ABC中，AB6，AC2，且B，设ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，若OGOAOBOC，

4

则实数；OH．

题型04平面向量新定义

【例4-1】（2025·河南新乡·二模）已知ax1,y1，bx2,y2都是非零向量，定义新运算

22

abx1x2x1y1y2x1x2y1x2y2，则“ab0”是“ab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【例4-2】（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，向量OAax1,y1,OBbx2,y2，

若a，b不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积S(a,b)x1y2x2y1．已知OMm,ONn，

22S(m,p)S(n,p)

OPpmn，,R,0，则（）

S(m,n)

||

A．||B．||C．||||D．

||||

新定义问题需要认真审题，再结合已有的知识经验进行处理，具有一定的综合性.

【变式4-1】（24-25高三上·上海·期中）我们称n（n为正整数）元有序实数组x1,x2,,xn为n维向量，

x1x2xn为该向量的范数.已知n维向量ax1,x2,,xn，其中xi1,0,1i1,2,,n，记范数为

奇数的a的个数为An，则A10

å、、

【变式4-2】（2025·上海松江·二模）设向量ax1,y1,bx2,y2，记abx1x2y1y2.若点A1A2A3为

22邋

圆C：xy4x2y0上任意三点，且满足A1A2A2A3，则OA1OA2OA2OA3的取值范围

是.

【变式4-3】（2025·四川成都·三模）（多选题）对于空间中一组向量ai(i1,2,3)，若存在不全为零的实数

ki(i1,2,3)使得k1a1k2a2k3a30，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（）

A．若a(1,1,1)，b(2,2,2)，c(3,1,4)，则a，b，c线性相关

B．若a(1,1,1)，b(1,2,3)，c(2,3,4)，则a，b，c线性无关

C．若a1，a2，a3线性无关，则a1a2，2a13a2，a3a1线性相关

2

D．对于非零向量a1，a2，a3，若存在实数x，y使得a1xa1a2ya1a3，则a1，a2，a3线性相关

21

1.（2025·湖北·模拟预测）已知OAOB3，AB32，点C4,2，O为坐标原点，则CACB的最

33

小值是（）

525

A．B．C．5D．45

33

2.（2025·四川成都·一模）在平行四边形ABCD中，BC3CE0，F是线段DE的中点，连接BD交AF于

O，若AOmAF，则m（）

342

A．1B．C．D．

433

3.（2025·广东江门·模拟预测）已知向量a,b分别表示位移“向北偏东60方向2km”“向东偏南30方向3km”，

则向量3a2b表示位移（）

A．向正北方向6kmB．向正南方向6km

C．向西北方向62kmD．向东南方向62km

1

4.（2025·浙江金华·一模）设为两个非零向量a,b所成的角，已知对任意tR，|atb|的最小值为|a|，

2

则（）

πππ5ππ2π

A．B．C．或D．或

636633

5.（25-26高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一

个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是

正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下结论正确的个数是（）

①PCPD的最大值为48322

BC

②BH在BC方向上的投影向量为

2

③OBOD3OC

④若函数fxBExBC，则函数fx的最小值为622

A．0个B．1个C．2个D．3个

（上海奉贤一模）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量