数据的离散程度第1课时离差平方和、方差+课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第1课时离差平方和、方差第二十四章数据的分析1.体会刻画数据离散程度的意义，发展数据观念．2.理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组

数据的离差平方和、方差．3.理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的

离散程度．素养目标情境引入问题（教材168页）：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49甲和乙两种玉米种子的平均产量为：x甲=7.537x乙=7.515样本平均数总体平均数估计说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.探索新知思考：如何考查一种甜玉米产量的稳定性呢？为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图：甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量比较看看谁的数据波动比较大？我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”，但在有些情况下只知道“平均水平”是不够的.针对以上问题.统计图尤其是折线图可以很直观的看出一组数据的波动程度，但是要对比两组数据的波动程度时就不够精准了.那有没有一个量来刻画数据的波动程度或离散程度呢？为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？

概念引入：一般地，由n

个数据x1，x2，…，xn，用x

表示它们的平均数，我们把xi－x(

i＝1，2，…，n)

叫作xi

关于平均数x

的离差．甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49离差和：(7.65－7.537)+(7.50－7.537)+…+(7.41－7.537)=7.65

+7.50

+…+7.41－10×7.537=0同理乙的离差和也等于0(x1－x)+(x2－x)+…+(xn－x)=x1

+x2

+…+xn－nx=0一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2叫作这n

个数据关于平均数的离差平方和.记作“d

2”.离差平方和概念把离差的平方的平均数(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2n叫作这组数据的方差.记作“s

2”.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．数据分布比较分散数据分布比较集中方差的概念甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49试着用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度．根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2d

2=(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2ns

2=离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制．例1（教材170页例1）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.哪名射击运动员的发挥更稳定？甲97910108910510乙910781099879方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定；方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定.典型例题甲97910108910510乙910781099879解：两名运动员射击成绩的平均数分别为x甲

=9+7+…+1010=8.7x乙

=9+10+…+910=8.6两名运动员射击成绩的方差分别为(9－8.7)2+(7－8.7)2+…+(10－8.7)210

=

2.41(9－8.6)2+(10－8.6)2+…+(9－8.6)210

=

1.04由

可知，乙射击运动员的发挥更稳定.

例2在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位：cm)如下表所示.哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?甲团163164164165165166166167乙团163165165166166167168168

1.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？选自教材第171页练习第1题解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).巩固练习x(1)=6

x(2)=6

x(3)=6

x(4)=6

根据方差可知，这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).这两种排序的结果一致.2.根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度.选自教材第171页练习第2题甲组182194143185156乙组199148242170141解：甲组跳绳成绩的方差为(182－172)2+(194－172)2+…

+(156－172)25

=

370x甲=172（次/min）x乙=180（次/min）乙组跳绳成绩的方差为(199－180)2+(148－180)2+…

+(141－180)25

=

1370由可知，甲组跳绳成绩的离散程度更小.

课堂检测1.一组数据2,1,1,4的方差为____.

2.甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是s甲2=0.56,s乙2=0.56,s丙2=0.52,s丁2=0.48,则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是__.3.已知一组数据x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的方差是14，那么另一组数据2x₁−2,2x₂−2,2x₃−2,2x₄−2,2x₅−2的方差是____.32丁14.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(1)、(2)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.班级平均数/分中位数/分众数/分九(1)班8585九(2)班808585100(1)根据图示填写上表；(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；(3)计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班级的成绩较稳定.

5.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x=9，方差s2=6，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2，的平均数是________，方差是________.2554课堂小结离差平方和离差：xi

－x(i

＝1，2，…，n)公式：(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2d

2=公式：(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2ns

2=方差越大（小），数据的波动越大（小）方差的作用比较数据的稳定性利用样本方差估计总体方差方差课后分层作业提升层：某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎.现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：g)如下表所示，根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿?基础层：教材第174~175页习题24.2第1,3,5题.甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的1