2025-2026学年湖南省衡阳市祁东县第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年湖南省衡阳市祁东县第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设复数z=，则其共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.2.

在中，为边上的中线，为的中点，则(

)A.​ B. C. D.3.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.100π B.128π C.144π D.192π4.如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′B′=B′C′=2，且A′B′⊥B′C′，则△ABC的面积是（）A.

B.4

C.

D.85.如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现一座小岛A，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，海轮从C处向正东方向航行海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，则C处与小岛A之间的距离为（）A.

B.

C.10

D.6.若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A-cos2B=2sin2C，则△ABC是（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形7.某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上、下底面棱长分别为20cm,10cm,则该正四棱台的侧面积为（）

A. B.225cm2 C. D.8.在△ABC中，，且，若m∈R，则的最小值为（）A. B. C.4 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（）A.若z1z2=0，则z1=0或z2=0 B.若，则z1=z2

C.若，则z1+z2是实数 D.若，则|z1|=|z2|10.已知向量，，则下列叙述中正确的是（）A.不论x取何值都有 B.存在实数x,使

C.存在实数x,m,使 D.存在实数x,m,使11.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，高为h,该正四棱锥的顶点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的内部（包括表面），则下列结论正确的是（）A.h的取值范围是（0，1）

B.若正四棱锥P-ABCD的侧棱长为，则

C.当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心时，正四棱锥P-ABCD外接球的表面积为

D.当点P为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心时，正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球与正四棱锥P-ABCD的公共部分的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z1=3+7i,z2=1-2i,则=

.13.圆台上、下底面积分别为π，4π，侧面积为6π，则该圆台的体积是______．14.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，，若，则λ+μ=

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=2-i,z2=a+4i（a∈R），且z1z2是实数.

（1）求；

（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.16.(本小题15分)

如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里B处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕.

（1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；

（2）试确定缉毒船的行驶方向.17.(本小题15分)

已知单位向量，满足•=λ.

（1）求|-λ|的最大值；

（2）若k在（-2λ）上投影的数量为k（k＞0），求λ2的值；

（3）设向量满足＜+，+2＞=，求||的取值范围.18.(本小题17分)

在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6，AA1=4，P为棱BB1上的动点（含端点），求：

（1）四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积；

（2）四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积；

（3）求AP+PC的最小值.19.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,sin（A+B）sin（B-A）=cos（+A）cos（-A）.

（1）求B；

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长；

（3）若，求2a-c的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】CD

12.【答案】．

13.【答案】

14.【答案】3．

15.【答案】；

（2，10）．

16.【答案】解：（1）由题意可得∠ABC=15°+180°-75°=120°，

设时间为t小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕，此时AC=15t海里，BC=t海里，

AB=60海里，

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC，

即（15t）2=602+[15（-1）t]2-2×60×15（-1）t×（-），

整理可得（+1）t2-2（-1）t-8=0，

解得t=2（负值已舍），

即经过2小时缉毒船恰好能将毒贩抓捕；

（2）由（1）可得AC=30，BC=30（-1），

由正弦定理可得=，

即