高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列 含解析

人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列一、单选题1．在数列中，，，若，则（

）A．671 B．672 C．673 D．6742．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（

）A． B．1 C．2 D．03．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（

）A．8 B．5 C．6 D．74．由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（

）A．9 B．10 C．11 D．125．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（

）A． B． C． D．7．在各项为正的递增等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．8．设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．28 B．32 C．16 D．249．设等比数列的公比为，前项和为.若，，且，，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．510．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件11．设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．30 D．3212．在数列中，，则（

）A．25 B．32 C．62 D．72二、填空题13．若数列是正项数列，且，则______．14．在等比数列中，若，，则______．15．等差数列的前项和为，且满足，，则使取得最大值的为______．16．已知等比数列的前项和为，且，，则_______.三、解答题17．若数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18．已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．（1）求证：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．19．记数列的前项和为，，，.(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；(2)记，求.20．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．21．数列中，，，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．参考答案：1．D分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.2．B由导数的几何意义得出，再求.【详解】由题中图象知，由导数的几何意义知，．故选：B3．D由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.【详解】设等差数列的公差为，∵，∴，∴.∵，，∴，∴当取最大值时.故选：D.4．A首先求出数列的通项公式，再解方程即可；【详解】解：因为，，所以，所以，解得故选：A本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.5．B由，利用累加法得出.【详解】由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故选：B.6．A由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．【详解】∵，∴，故选：A7．B设其公比为，由等比数列通项公式得，进而得，解得或，再根据数列单调性即可得，进而得【详解】为等比数列，设其公比为，，则，，，即，解得或，又各项为正且递增，，．故选：B．本题解题的关键是先根据题意得，进而将转化为求，考查运算求解能力，是中档题.8．B由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得.∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B9．B先利用条件求出公比的值，然后利用等比数列求和公式以及可求出正整数的值.【详解】因为，所以，得到，因为，所以.由，得，又，所以，因为，则，所以，解得，故选：B10．B当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．11．D根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．12．B令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.【详解】解：令函数，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，所以所以故选：B13．当时，，与已知式相减，得，检验首项即可得到数列通项公式，根据通项求和.【详解】令，得，∴．当时，．与已知式相减，得．∴．又∵时，满足上式，∴．∴，∴．故答案为：14．根据等比数列的前n项和公式，计算即可求得答案.【详解】由题意可得，，故答案为：15．10由，，结合等差数列的前项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．【详解】由，，可知为递减的等差数列，设其公差为，则，由，，得，，所以，，所以使取得最大值的为10，故答案为：10．一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.16．已知为等比数列，，，利用通项公式和前项和公式求出和，根据即可求出.【详解】解：由题可知，为等比数列，，，，由于等比数列中，解得：，，即：，，解得：，，所以.故答案为：.本题考查等比数列的通项公式，利用等比数列通项公式和前项和公式求出基本量，考查化简运算能力.17．（1）；（2）.（1）根据公式，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义、等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】（1）数列的前n项和，.时，，化为：，时，，解得.数列是等比数列，首项为2，公比为2..（2）.因为，数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以.18．（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.（1）由题意可得an＋1＋1＝2(an＋1)，利用等比数列的定义即可证明.（2）利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.19．(1)证明见解析，(2)（1）由可得出，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用等差数列的求和公式可求得的值.（1）证明：，，，则，即，解得，所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.（2）解：，所以，.20．（1）；（2）.（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.21．（1）证明见解析；（2）；（3）20