上海兴伟学院《复变函数与积分变换》2025-2026学年第一学期期末试卷(B卷)

站名：站名：年级专业：姓名：学号：凡年级专业、姓名、学号错写、漏写或字迹不清者，成绩按零分记。…………密………………封………………线…………第1页，共1页上海兴伟学院《复变函数与积分变换》2025-2026学年第一学期期末试卷(B卷)注意事项:1.请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.考试时间120分钟专业学号姓名题号一二三四五六七八总分统分人复查人得分得分评分人一、单项选择题（每题1分，共20分）1.设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实值函数，若f(z)在z=z0处解析，则下列哪个条件必须满足？A.u(x,y)和v(x,y)在z0处连续B.u(x,y)和v(x,y)在z0处可微C.u(x,y)和v(x,y)在z0处可导D.u(x,y)和v(x,y)在z0处满足柯西-黎曼方程2.若复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则下列哪个性质一定成立？A.f(z)在D内可导B.f(z)在D内连续C.f(z)在D内可微D.f(z)在D内满足柯西-黎曼方程3.设复变函数f(z)=z^2，则f(z)在z=0处的留数是：A.0B.1C.-1D.24.若复变函数f(z)=e^z在z=z0处的泰勒展开式为：A.e^z=1+z+z^2/2!+z^3/3!+...B.e^z=1-z+z^2/2!-z^3/3!+...C.e^z=1+z-z^2/2!+z^3/3!+...D.e^z=1-z-z^2/2!-z^3/3!+...5.设复变函数f(z)=z/(z-1)，则f(z)在z=1处的极点是：A.一阶极点B.二阶极点C.零阶极点D.无极点6.若复变函数f(z)=sin(z)，则f(z)在z=0处的泰勒展开式的前三项是：A.1-z^2/3!+z^4/5!B.1-z^2/3!-z^4/5!C.1+z^2/3!+z^4/5!D.1+z^2/3!-z^4/5!7.设复变函数f(z)=z^3，则f(z)在z=0处的泰勒展开式是：A.z^3B.z^3+3z^2+3z+1C.z^3-3z^2+3z-1D.z^3+3z^2-3z+18.若复变函数f(z)=e^(iz)，则f(z)在z=0处的泰勒展开式是：A.1+iz-z^2/2!-iz^3/3!+...B.1-iz+z^2/2!+iz^3/3!+...C.1+iz+z^2/2!+iz^3/3!+...D.1-iz-z^2/2!-iz^3/3!+...9.设复变函数f(z)=z/(z-1)，则f(z)在z=1处的洛朗展开式是：A.1+z+z^2/2!+z^3/3!+...B.1-z+z^2/2!-z^3/3!+...C.1+z-z^2/2!+z^3/3!+...D.1-z-z^2/2!-z^3/3!+...10.若复变函数f(z)=sin(z)，则f(z)在z=0处的洛朗展开式是：A.1-z^2/3!+z^4/5!B.1-z^2/3!-z^4/5!C.1+z^2/3!+z^4/5!D.1+z^2/3!-z^4/5!11.设复变函数f(z)=z^3，则f(z)在z=0处的洛朗展开式是：A.z^3B.z^3+3z^2+3z+1C.z^3-3z^2+3z-1D.z^3+3z^2-3z+112.若复变函数f(z)=e^(iz)，则f(z)在z=0处的洛朗展开式是：A.1+iz-z^2/2!-iz^3/3!+...B.1-iz+z^2/2!+iz^3/3!+...C.1+iz+z^2/2!+iz^3/3!+...D.1-iz-z^2/2!-iz^3/3!+...13.设复变函数f(z)=z/(z-1)，则f(z)在z=1处的泰勒展开式的前三项是：A.1+z+z^2/2!+z^3/3!+...B.1-z+z^2/2!-z^3/3!+...C.1+z-z^2/2!+z^3/3!+...D.1-z-z^2/2!-z^3/3!+...14.若复变函数f(z)=sin(z)，则f(z)在z=0处的泰勒展开式是：A.1-z^2/3!+z^4/5!B.1-z^2/3!-z^4/5!C.1+z^2/3!+z^4/5!D.1+z^2/3!-z^4/5!15.设复变函数f(z)=z^3，则f(z)在z=0处的泰勒展开式是：A.z^3B.z^3+3z^2+3z+1C.z^3-3z^2+3z-1D.z^3+3z^2-3z+116.若复变函数f(z)=e^(iz)，则f(z)在z=0处的泰勒展开式是：A.1+iz-z^2/2!-iz^3/3!+...B.1-iz+z^2/2!+iz^3/3!+...C.1+iz+z^2/2!+iz^3/3!+...D.1-iz-z^2/2!-iz^3/3!+...17.设复变函数f(z)=z/(z-1)，则f(z)在z=1处的洛朗展开式是：A.1+z+z^2/2!+z^3/3!+...B.1-z+z^2/2!-z^3/3!+...C.1+z-z^2/2!+z^3/3!+...D.1-z-z^2/2!-z^3/3!+...18.若复变函数f(z)=sin(z)，则f(z)在z=0处的洛朗展开式是：A.1-z^2/3!+z^4/5!B.1-z^2/3!-z^4/5!C.1+z^2/3!+z^4/5!D.1+z^2/3!-z^4/5!19.设复变函数f(z)=z^3，则f(z)在z=0处的洛朗展开式是：A.z^3B.z^3+3z^2+3z+1C.z^3-3z^2+3z-1D.z^3+3z^2-3z+120.若复变函数f(z)=e^(iz)，则f(z)在z=0处的洛朗展开式是：A.1+iz-z^2/2!-iz^3/3!+...B.1-iz+z^2/2!+iz^3/3!+...C.1+iz+z^2/2!+iz^3/3!+...D.1-iz-z^2/2!-iz^3/3!+...二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列哪些函数在z=0处解析？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^2D.f(z)=1/z2.下列哪些函数在z=0处有极点？A.f(z)=zB.f(z)=1/zC.f(z)=z^2D.f(z)=e^z3.下列哪些函数在z=0处的泰勒展开式的前三项是1+z+z^2/2!？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z4.下列哪些函数在z=0处的洛朗展开式是1+z+z^2/2!+z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z5.下列哪些函数在z=0处的泰勒展开式是1-z+z^2/2!-z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z6.下列哪些函数在z=0处的洛朗展开式是1+z+z^2/2!+z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z7.下列哪些函数在z=0处的泰勒展开式是1-z+z^2/2!-z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z8.下列哪些函数在z=0处的洛朗展开式是1+z+z^2/2!+z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z9.下列哪些函数在z=0处的泰勒展开式是1-z+z^2/2!-z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z10.下列哪些函数在z=0处的洛朗展开式是1+z+z^2/2!+z^3/3!+...？A.f(z)=e^zB.f(z)=sin(z)C.f(z)=z^3D.f(z)=1/z三、判断题（每题1分，共10分）1.复变函数在解析区域内一定连续。（）2.复变函数在解析区域内一定可导。（）3.复变函数在解析区域内一定满足柯西-黎曼方程。（）4.复变函数在解析区域内一定有极点。（）5.复变函数在解析区域内一定有留数。（）6.复变函数在解析区域内一定有泰勒展开式。（）7.复变函数在解析区域内一定有洛朗展开式。（）8.复变函数在解析区域内一定有奇点。（）9.复变函数在解析区域内一定有解析分支。（）10.复变函数在解析区域内一定有反函数。（）四、名词解释（每题4分，共20分）1.复变函数2.解析函数3.泰勒展开式4.洛朗展开式5.极点五、简答题（每题6分，共18分）1.简述复变函数在解析区域内的性质。2.简述泰勒展开式和洛朗展开式的区别。3.简述复变函数的奇点类型。六、案例分析题（1题，满分12分）阅读以下案