高等数学基础教程

1.1函数的有关概念1.2函数的极限1.3无穷小与无穷大1.4极限的运算法则与极限运算1.5两个重要极限1.6函数极限应用举例1.7函数的连续性1.8用MATLAB求函数的极限第1章函数的极限与连续1.1函数的有关概念

1.1.1函数的概念

1.变量、区间与邻域

在研究某些自然现象或技术问题时，会遇到各种不同的量，其中有的量在研究过程中保持不变，即取一定数值，

我们把它称做常量，例如圆周率π、某件物体的长度等，它们都是常量；而另一些量则有变化，即可取不同数值，我们把它称做变量，例如一天中的气温、生产过程中的产量都是在不断变化的，它们都是变量.需要指出的是，一个量是常量还是变量不是绝对的，要根据具体情况作出分析.例如，就小范围来讲，重力加速度可以看做常量；但就广大地区来说，重力加速度就是变量.另外，常量可看做变量的特殊情形.

常量习惯用字母a、b、c、d等表示；变量习惯用x、y、z、u、v、w等表示.

一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量的变域.在高等数学中常用区间表示变域.

设a和b都是实数，且a<b.数集{x|a<x<b}称为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b},{x|a<≤b}称为半开区间，分别记作[a,b),(a,b],即(a,b)={x|a<x<b},[a,b]={x|a≤x≤b}

[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}

上述三类区间都称为有限区间；点a称为左端点，点b称为右端点，统称为端点；它们之间的距离b-a称为区间的长度.

除上述有限区间外，还有无限区间.引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大),则可用类似的记号表示无限区间.例如：

(-∞,b)={x|x<b},(-∞,b]={x|x≤b}

(a,+∞)={x|x>a},[a,+∞)={x|x≥a}

上述区间可分别在数轴上表示，如图1-1所示.图1-1实数集R也可用区间记号表示，即

(-∞,+∞)={x|x∈R}

它也是无限区间.

以后在不需要指明所讨论区间的开、闭，以及是有限区间还是无限区间的场合，为了方便起见，我们就称其为区间，且常用I表示.

区间是表示整体情形的点集，而局部情形的点集则用邻域来表示.

设δ是任一正数，a为一已知点，则称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记作U(a,δ),即

U(a,δ)=(a-δ,a+δ)其中，点a称为该邻域的中心；δ称为该邻域的半径.

显然,U(a,δ)表示与点a距离小于δ的点x的全体.如图1-2所示.

如果把点a的δ邻域的中心a去掉，所得到的集合称为点a的去心δ邻域，记作

(a,δ),即

(a,δ)=(a-δ,a)U(a,a+δ)

点a的去心δ邻域如图1-3所示.图1-2图1-3

2.函数的定义及表示法

在自然现象或生产过程中，同时出现的某些变量往往存在着相互依赖、相互制约的关系，这种关系在数学上称为函数关系.

定义1.1设x和y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一数值时，变量y依照某一规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作y=f(x).

这里x称为自变量；y称为因变量或函数；集合D称为函数的定义域；相应地，y值的集合称为函数的值域；f是函数符号，表示y与x的对应规则，有时函数符号也可用其他字母来表示，如y=g(x)或y=φ(x)等.函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图形法.(1)以数学式子表示函数的方法叫公式法.如y=x2,y=cosx.公式法的优点是便于理论推导和计算.

(2)以表格形式表示函数的方法叫表格法.它是将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函数表、对数表等.表格法的优点是所求的函数值容易查得.

(3)以图形表示函数的方法叫图形法或图像法.这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观、形象，可看到函数的变化趋势.3.分段函数

在实际应用中经常会遇到一类函数，在定义域的不同区间用不同的式子来表达，这类函数称为分段函数.例如，(3)取整函数y=[x]=n(n≤x<n+1,n∈Z).根据取整函数的定义可以看出，记号[x]表示不超过x的最大整数，例如[4.8]=4,[0.6]=0,[-7.3]=-8,[-5]=-5等.

上述三个函数的图像如图1-4所示.

对于分段函数,我们要能够正确求其定义域及自变量为x0时对应的函数值，下面举例说明.图1-4

这就是说分段函数的定义域为各段定义域的并集.4.反函数

定义1.2设y=f(x)是x的函数，其值域为R，如果对于R中的每一个y值，都有一个确定的且满足y=f(x)的x值与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量、x为因变量的新函数，我们称之为y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y),并称y=f(x)为直接函数.

显然，由定义可知，单值函数一定有反函数.习惯上，我们总是用x表示自变量，用y表示因变量，所以通常把

x=f-1(y)改写为y=f-1(x).从上面的定义容易得出，求反函数的过程可分为两步：第一步，从y=f(x)中解出x=f-1(y)；

第二步,交换字母x和y.

例1-3求y=2x-1的反函数.

解由y=2x-1解得x=1+lby,然后交换x和y,得y=1+lbx,即y=1+lbx是y=2x-1的反函数.

可以证明，函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称.例1-5下列各组函数是否相同？

(3)f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2x.

解(1)不同.因为f(x)的定义域为(-∞,+∞),g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),它们的定义域不同，故不是同一函数.

(2)不同.虽然两个函数定义域均为(-∞,+∞),但对应法则不同.例如：f(-1)=-1,g(-1)=1.

(3)相同.因为f(x)、g(x)的定义域都是(-∞,+∞)，且对任意x∈(-∞,+∞),都有1=sin2x+cos2x,即f(x)=g(x),亦即对应法则相同，所以f(x)、g(x)为同一函数.1.1.2函数的几种特性

1.函数的奇偶性

定义1.3设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D,都有

f(-x)=-f(x)

成立，则称f(x)为奇函数.如果对于任意x∈D,都有

f(-x)=f(x)

成立，则称f(x)为偶函数.例如：函数f(x)=x3是奇函数，因为f(-x)=(-x)3=-x3=

-f(x)；函数f(x)=x4是偶函数，因为f(-x)=(-x)4=x4=f(x)；函数f(x)=x2+x3既不是奇函数，也不是偶函数，因为它不满足定义1.3的条件.

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称,参见图1-5.

例1-6讨论y=x4-2x2的奇偶性.

解因为f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),所以

y=x4-2x2为偶函数,如图1-6所示.图1-5图1-62.函数的单调性

定义1.4设函数y=f(x)的定义域为D，区间I

D.如果对于区间I上任意两点x1、x2,当x1<x2时，都有

f(x1)<f(x2)

则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(参见图1-7),区间I称为函数f(x)的单调增加区间；如果对于区间I上任意两点x1、x2,当x1<x2时，都有

f(x1)>f(x2)

则称函数f(x)在区间I上是单调减少的(参见图1-8),区间I称为函数f(x)的单调减少区间.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增加和单调减少的区间称为单调区间.图1-7图1-8例1-7讨论函数y=3x,y=x2的单调性.

解观察图1-9可知，函数y=3x在区间(-∞,+∞)上是单调增加的；y=x2在区间(-∞,0)内是单调减少的，在区间(0,+∞)内是单调增加的，而在区间(-∞,+∞)内不是单调的.图1-93.函数的有界性

设函数y=f(x)在区间I上有定义，如果存在正常数M，使得对于区间I内所有x,都有

|f(x)|≤M

则称函数f(x)在区间I上有界.如果这样的M不存在，则称f(x)在区间I上无界.

例如：y=sinx在(-∞,+∞)上满足|sinx|≤1,所以函数y=sinx在(-∞,+∞)内是有界函数，如图1-10(a)所示；而函数y=在(0,+∞)内是无界函数，如图1-10(b)所示.图1-104.周期性

设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个常数T≠0,使得对任意的x∈D有x±T∈D,且f(x±T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数，T为f(x)的周期.周期函数的周期通常是指它的最小正周期.

例如：函数y=sinx,y=cosx都是以2π为周期的周期函数；函数y=tanx是以π为周期的周期函数；函数y=x2不是周期函数.1.1.3初等函数

1.基本初等函数

基本初等函数有以下五类：

(1)幂函数y=xμ,μ是常数.

(2)指数函数y=ax(a是常数且a>0,a≠1),x∈(-∞,+∞).

(3)对数函数y=logax(a是常数且a>0,a≠1),x∈(0,+∞).

(4)三角函数：

正弦函数y=sinx,x∈(-∞,+∞),y∈[-1,1].

余弦函数y=cosx,x∈(-∞,+∞),y∈[-1,1].

反余切函数y=arccotx,x∈(-∞,+∞),y∈(0,π).

这些常用的基本初等函数及其定义域与值域、图像、特性列于表1-1中.2.复合函数

定义1.5设y是u的函数，y=f(u),u是x的函数,u=φ(x),当x在u=φ(x)的定义域或其一部分取值时，φ(x)的值均在y=f(u)的定义域内，从而得到一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数y=f(u)和u=φ(x)复合而成的复合函数，记作y=f[φ(x)],其中u称为中间变量.3.初等函数

定义1.6由常数及基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数.

则不是初等函数.1.1.4建立函数关系举例

在解决工程技术问题、经济问题等实际的应用中，经常需要先找出问题中变量之间的函数关系，然后利用有关的数学知识、

数学方法去分析、研究、解决这些问题.由于客观世界中变量之间的函数关系是多种多样的，往往要涉及几何、物理、经济等各门学科的知识，因此建立函数关系式没有一般规律可循，只能是具体问题具体分析.不过，一般可以这样着手解决：

(1)先把题意分析清楚，有时也可以画出草图，借助草图帮助分析和理解题意.(2)根据题意确定哪个是自变量，哪个是因变量，如果总体变量多于两个，还要进一步分析，找出除因变量以外的其他若干个变量之间的关系.因为我们这里是要建立一元函数的关系式，最终应归结为一个自变量和一个因变量的关系式.

下面举几个较简单的实例来说明建立函数关系式的方法.例1-9有一块边长为a的正方形铁皮，将它的四角剪去大小相同的小正方形，制成一只无盖盒子，求盒子的体积与小正方形边长之间的函数关系.

解设剪去的小正方形边长为x,盒子的体积为V，如图1-11所示，则图1-11例1-10由直线y=x、y=2-x及x轴所围成的三角形如图1-12所示，在底边上任取一点x∈[0,2]，过x作x轴的垂线，求图中阴影部分的面积A与x的关系.图1-12例1-11如图1-13所示，求阴影部分的面积A与x的关系.

解当0≤x≤1时,有

当1<x≤2时，则所以

例1-10和例1-11中所得函数都有两个式子.在定义域内不同区间上用不同式子表示的函数称为分段函数.1.1.5经济分析中常见的函数

1.需求函数与供给函数

市场上的消费者对某种商品的需求量除与该种商品的价格有关外，还与消费者的收入、待用商品的价格、消费者的人数等等有关.现在我们只考虑商品的需求量与价格的关系，而将其他各种量看做常量，这样，商品的需求量Q就是价格P的函数，称为需求函数，记作Q=Q(P).

一般来说，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少.因此，通常需求函数是单调递减的函数.常见的需求函数有：线性需求函数Q=a-bp(a>0,b>0,a,b都是常数),二次曲线需求函数Q=a-bP-cP2(a>0,b<0,

c<0,a、b、c都是常数)，指数需求函数Q=ae-bP(a>0,b>0,a、b都是常数)等.

市场上影响商品供给量的主要因素也是商品的价格，因此，商品的供给量Q也是价格P的函数，称为供给函数，

记作Q=φ(P).

一般来说，当商品的价格增加时，商品的供给量将会增加，因此通常供给函数是单调递增的函数.常见的供给函数有：Q=aP-b(a>0,b>0,a、b都是常数),

(a>0,b>0,m>0,an>bm)等.

如果将某种商品的需求函数图像(称为需求曲线)与供给函数的图像(称为供给曲线)画在同一坐标中(参见图1-14),

通常它们会交于一点(),称为该商品的市场平衡点.在交点处，需求量恰好等于供给量，该商品在市场上处于平衡状态，这时的商品价格叫做市场平衡价格.图1-142.成本函数

总成本是生产一种产品所需的全部费用.通常总成本可分为两部分：一部分是在短时间内不发生变化或变化很小的，如厂房、设备、保险费，管理人员的工资、广告费等，称为固定成本，常用C1表示；另一部分是随产品数量的变化而直接变化的，如原材料费、能源消耗费、生产工人工资、包装费等，称为可变成本，常用C2表示.它是产品数量Q的函数，即

C2=C2(Q)图1-15因此，生产Q个单位时某商品的总成本C等于固定成本C1与可变成本C2之和，即

C=C(Q)=C1+C2(Q)

总成本函数是一个单调增加的函数，总成本函数的图像叫做总成本曲线(参见图1-15)，它从左往右是上升的，与C轴的交点的纵坐标为C1.

总成本函数有：

线性函数C(Q)=a+bQ(a>0,b>0)；

二次函数C(Q)=a+bQ+cQ2；

三次函数C(Q)=a+bQ+cQ2+dQ3等.3.收入函数与利润函数

总收入是销售者售出一定数量商品的全部收入，若商品的数量为Q，价格为P，则总收入R为

R=PQ

称为总收入函数.

如果某产品的市场需求量为Q，价格为P，两者所确定的需求函数为Q=Q(P),求其反函数P=Q-1(Q),则收入函数可表示为

R=Q-1(Q)Q例1-13设某商品的需求关系2Q+P=40,其中Q是商品量，P是该商品的价格，求销售10件时的总收入.

解由已知条件得商品的价格为

P=40-2Q

于是，所求总收入函数为

R=PQ=(40-2Q)Q=40Q-2Q2

所以

R(10)=40×10-2×102=200生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作L，即

L=L(Q)=R(Q)-C(Q)

其中,Q是产品的数量；总利润是产品数量的函数，称为利润函数.例1-14设某工厂生产的某产品每吨售价2万元，每天生产Q(t)的总成本为C(万元)，且C=Q2-4Q+5,求每天分别生产2t、5t、7t时的总利润各为多少?

解由题意知，收入函数为R=2Q,成本函数为C=Q2-4Q+5,所以总利润函数为

L=R(Q)-C(Q)=2Q-(Q2-4Q+5)=-Q2+6Q-5

当Q=2时，总利润为L(2)=(-Q2+6Q-5)|Q=2=3万元.

当Q=5时，总利润为L(5)=(-Q2+6Q-5)|Q=5=0万元.

当Q=7时，总利润为L(7)=(-Q2+6Q-5)|Q=7=-12万元.从上例可以看到，利润函数出现了三种情况：

(1)L(Q)=R(Q)-C(Q)>0,利润为正值，生产处于盈余状态；

(2)L(Q)=R(Q)-C(Q)<0,利润为负值，生产处于亏损状态；

(3)L(Q)=R(Q)-C(Q)=0,利润为零，生产处于无盈亏状态，我们把无盈亏生产时的产量Q0称为无盈亏点(或保本点).无盈亏分析常用于企业管理和经济学中对各种定价、生产、决策的分析.例1-15(1)求例1-14中该厂生产的无盈亏点；

(2)若该厂每天至少生产7t产品，为了不亏本，单价应定为多少钱？

解(1)由L=-Q2+6Q-5=0解得Q1=1,Q2=5,即该厂无盈亏点为两个，分别为生产1t和生产5t.

(2)设单价定位P(万元)，则销售7t的收入应为

R=7P万元

这时的成本为

C(7)=(Q2-4Q+5)|Q=7=26万元为使生产经营不亏本，则必须L=7P-26≥0,即

P≥3.7143万元

所以，只有销售单价不低于3.7143万元，才能不亏本.实训1.1

1.求下列函数的定义域.

2.求下列函数的值.3.判别下列函数的奇偶性.

4.下列各组函数是否相同，为什么？5.将下列函数看做是由简单函数复合而成的复合函数，适当引入中间变量，写出复合步骤.8.阿甘同学做徒步旅行，若他按3km/h的速度前进，在离家2h的时候，他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人将自行车修好，用了1h，随后他又上路了(仍保持3km/h的速度)，5h后他到达目的地.请把阿甘离家的距离关于时间的函数用图形描述出来，并写出函数表达式.

*9.某商品的需求规律为P+3Q=95,供求规律为Q=2P-15,求市场平衡价格.

*10.设生产与销售某种商品的总收入函数R是产量x的二次函数，经统计得知,当产量分别为0、2、4时，总收入R分别0、6、8,试确定R关于x的函数关系，并指明其定义域.*11.某厂生产毛巾，每一百条毛巾需耗费原料、动力、劳力等费用(叫做单位变动成本)为250元，工厂每天还要固定支付(叫做固定成本)300元，试问工厂每天的生产总成本C(元)与产量x(百条)的函数关系是什么？又知每一百条毛巾的出厂价为400元，试问每天生产多少条毛巾才能达到收支平衡(也叫做盈亏平衡)?(假设产出的毛巾可全部售出)

*12.在某产品的总成本中，固定成本C1为20000元，单位产品变动成本为200元，单位产品售价P为400元，求总成本函数C(Q)、收益函数R(Q)、利润函数L(Q)及平均单位成本.

1.2函数的极限

本节首先讨论数列的极限，然后将其推广到一般函数的极限.

1.2.1数列的极限

我们已经学过数列的概念，现在将进一步考查当自变量n无限增大时，数列an=f(n)的变化趋势，先看下列两个数列：归纳这两个数列的变化趋势可知,当n无限增大时，数列{an}的项an都分别无限接近于一个确定的常数.一般地，我们给出下面的定义：

定义1.7如果当n无限增大时，数列{an}的项an无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做数列{an}的极限或说数列{an}收敛于A，记为根据数列极限的定义可知：由此可以推得下列的结论：

还需注意，并不是任何数列都是有极限的.

例如，数列an=3n,当n无限增大时，an也无限增大，不能无限接近于一个确定的常数，所以这个数列没有极限.对于上述没有极限的数列，也说数列的极限不存在.数列极限不存在又称数列发散.例1-16观察下列数列的变化趋势，指出它们的极限.

解下面用列表法和图像法，列出数列在项数n很大时的取值情况，并绘出相应的图像.

(1)列表，如表1-2所示；绘制图像，如图1-16所示.

从表1-2和图1-16可以看出，图1-16

列表，如表1-3所示；绘制图像，如图1-17所示.

从表1-3和图1-17可以看出，

(3)列表，如表1-4所示；绘制图像，如图1-18所示.

图1-17图1-18从表1-4和图1-18可以看出，当n无限增大时，数列{(-1)n}不趋于一个确定的值，所以不存在.

极限概念产生于求某些实际问题的精确解.极限的思想和分析方法广泛地应用在社会生活和科学研究的各个方面，例如：

(1)在研究复杂问题时，常先用简单算法(如以常代变、以直代曲等)求出近似值，通过取极限得到精确解；(2)用极限对事物的发展作某种预测(包括中长期分析和远期预测).例如研究事物的运动或发展规律、传染性疾病的传播规律、

产品销售量的中长期分析，以及投入与产出的中长期分析等.

从圆面积的计算过程，我们能体会到如何运用极限分析方法由近似解得到精确解，在以后导数和定积分知识的学习中，还将进一步加深对极限的学习和理解.例1-17在分形几何中常提及的Koch雪花可通过递归方法生成.设有单位边长正三角形，如图1-19所示，其周长为P1=3,面积为A1=.将其每边三等分，以中间三分之一段为边向外做正三角形，如图1-20所示,每一条边生成四条新边，新边长为原边长的,同时,生成的三个新三角形每个的面积为原三角形面积的,故总周长,总面积；依次进行下去，得

试讨论当n→∞时周长Pn和面积An的极限.图1-19图1-20解如图1-21和图1-22所示，为求通项Pn和An的表达式,

在递推中:①每一条边生成四条新边，且边长缩短率为；②四条新边共生成四个新的小三角形，且面积缩小率为

,得到于是图1-21每条边生成四条新边图1-22四条新边共生成四个新的小三角形1.2.2函数的极限

函数极限就是研究自变量在各种变化过程中对应函数值的变化趋势.x的变化过程可以分成六种，因此，函数极限也有六种不同的形式。这六种函数极限仅有叙述形式上的区别，它们的实质是相同的，下面分别来介绍.

1)当x→∞时，函数f(x)的极限

定义1.8如果当x的绝对值无限增大(即x→∞)时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f(x)在x→∞时的极限,记为或者f(x)→A(x→∞)

在以上函数极限的定义中，自变量x的绝对值无限增大指的是：x既可以取正值，也可以取负值，但其绝对值无限增大.

定义1.9如果当x仅取正值(或仅取负值)而绝对值无限增大，即x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f(x)在x→+∞(或x→-∞)时的极限,记为或者

f(x)→A(x→+∞)(或者f(x)→A(x→-∞))

应当注意的是,包含两种情形:

且；反之，只有当

时，才有

.例1-18讨论极限

解观察函数y=arctanx的图像(参见图1-23),可以得到,图1-23一般地，如果和都存在且相等，则存在,且；如果和中只要有一个不存在，

或者虽然都存在但不相等，则不存在.2)当x→x0时，函数f(x)的极限

定义1.10如果当x无限接近于定值x0时，即当x→x0时

(在x0处f(x)可以无定义)，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f(x)在x→x0时的极限,记为

根据定义1.10可得：3)当x→x0时，函数f(x)的左极限与右极限

当x→x0时函数的极限中，x既从x0的左侧无限接近于x0(记为x→x0或x→x0-0),又从x0的右侧无限接近于x0(记为x→x+0或x→x0+0).下面给出当x→x0或x→x+0时函数极限的定义.定义1.11如果当x→x+0时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)在x→x0时的右极限,记为

如果当x→x-0时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f(x)在x→x-0时的左极限,记为根据左、右极限的定义可知：

如果

那么图1-24

前面我们讨论了数列的极限，因为数列是以正整数为自变量的函数，所以讨论数列的极限,也就是讨论函数y=f(x)当自变量x取正整数而无限增大时的极限.实训1.2

1.观察下列数列当n→∞时的变化趋势，写出它的极限.

2.求下列极限.3.设,求当x→0时，f(x)的左、右极限，并说明f(x)在x=0处的极限是否存在.并说明当x→1时函数的极限是否存在.1.3无穷小与无穷大

1.3.1无穷小

我们经常遇到极限为零的变量,例如，当x→∞时，

→0；当x→2时，x-2→0.对于这样的变量，我们给出下面的定义：

定义1.12如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么函数f(x)称为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量，简称无穷小.

例如，因为,所以函数f(x)=x-2是当x→2时的无穷小；因为,所以是当n→∞时的无穷小.注意：

(1)当说一个函数f(x)是无穷小时，必须指明自变量x的变化趋势；

(2)不要把一个绝对值很小的常数说成无穷小，这是因为常数的极限为它本身，并不一定是零；

(3)常数中只有“0”可以看成是无穷小，但无穷小量不一定是零.

在自变量的同一变化过程中，无穷小有下列性质：

性质1.1有限个无穷小的代数和是无穷小.

性质1.2有限个无穷小的乘积是无穷小.

性质1.3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.图1-251.3.2无穷大

定义1.13如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么函数f(x)称为当x→x0(或x→∞)时的无穷大量,简称无穷大.

根据极限的定义，如果f(x)是当x→x0(或x→∞)时的无穷大，那么它的极限是不存在的.但为了描述函数的这种变化趋势，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记作

limf(x)=∞例如，当x→1时，无限增大，所以

如果x在某个变化过程中，f(x)只取正值无限增大，那么f(x)叫做正无穷大，记作limf(x)=+∞.例如，

.如果x在某个变化过程中，f(x)只取负值而|f(x)|无限增大，那么f(x)叫做负无穷大，记作limf(x)=-∞.例如，.注意：

一般地，无穷大量与无穷小量之间有如下倒数关系：

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，则是无穷小量；反之，如果f(x)是无穷小量，且f(x)≠0,

则为无穷大量.实训1.3

1.下列各说法是否正确，为什么?

(1)无穷小是比任何数都小的数；

(2)零是无穷小；

(3)无穷小是零；

(4)无穷小是越来越小的量；

(5)-∞是无穷小.

2.当x→0时，下列函数哪些是无穷大，哪些是无穷小？1.4极限的运算法则与极限运算

1.4.1极限的运算法则

定理1.1如果limf(x)=A,limg(x)=B,则

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；

(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；下面我们仅证明定理1.1中的(2).

证明因为limf(x)=A,limg(x)=B,由函数极限与无穷小的关系，得

f(x)=A+α,g(x)=B+β

其中,α、β都是自变量同一变化过程中的无穷小.于是有

f(x)·g(x)=(A+α)·(B+β)=AB+(Aβ+Bα+αβ)

由无穷小的性质可知，Aβ+Bα+αβ是无穷小；再由函数极限与无穷小的关系，得

lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B

定理1.1中的(1)、(2)可推广到有限个具有极限的函数的情形.

由定理1.1中的(2),还可得到如下推论：

推论若limf(x)=A,C为常数，k∈N+,则

(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)=CA；

(2)lim[f(x)]k=[limf(x)]k=Ak.

注意:上述法则都只有在limf(x)、limg(x)存在的条件下才能成立.1.4.3无穷小的比较

虽然无穷小都以零为极限，但它们趋向于零的过程却有“快”、“慢”之别，这种趋向于零的快、慢程度我们可用两个无穷小之比的极限来衡量.

定义1.14设α(x)、β(x)是自变量的同一个变化过程中的两个无穷小.显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形.

如当x→0时，x2,x都是无穷小，因为,所以当x→0时，x2是比x高阶的无穷小，即x2=o(x)；相应地，x是比x2低阶的无穷小.

因为(在下一节会作介绍)，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小，即sinx~x(x→0).

下面引入等价无穷小的性质，它在计算某些无穷小的商的极限时，可以简化运算.定理1.2设α(x)~α′(x),β(x)~β′(x),且存在，则

(1)sinx～x；(2)arcsinx～x；

(3)tanx～x；(4)arctanx～x；实训1.4

1.下列各极限的运算是否正确？为什么？如果不正确，写出正确的做法和结果.

3.当x→0时，2x-x2与x2-x3相比，哪一个是高阶无穷小?4.判断x→0时,下列各对是不是等价无穷小.

(1)sin2x～x；(2)tanx2～x2；

(3)ln(1+3t)～3x；(4)e2x-1～x.5.利用等价无穷小的性质,求下列极限.1.5两个重要极限

1.5.1第一个重要极限

第一个重要极限为

表1-5列出了函数在x无限接近于零时的一些函数值.

从表1-5和图1-26中可以看出，当x→0时，函数

(将在第3章验证).图1-26为了正确使用这个重要极限，要特别注意这个极限的形式.为了强调它的形式，我们不妨把要注意的内容用□表示出来，即

其中，方框(□)中的变量应该是一样的，而且它一定要趋向于零.1.5.2第二个重要极限①

第二个重要极限为

表1-6列出了函数在x取正值无限增大时的一些函数值.

从表1-6可以看出：(将在第3章验证)，其中数e是一个无理数，e=2.718281828459045….实训1.5

求下列极限.1.6函数极限应用举例

例1-36(游戏销售)当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内销售量会迅速上升，然后开始下降，其函数关系为,t为月份，如图1-27所示.

(1)请计算游戏推出后第6个月、第12个月、第36个月的销售量.

(2)如果要对该产品的长期销售做出预测，则请建立相应的表达式.图1-27

(2)从上面的数据可以看出，随着时间的推移，该产品的长期销售量应为时间s→+∞时的销售量，即

上式说明,当时间t→+∞时，销售量的极限为零，即人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的游戏.例1-37(细菌培养)已知在时刻t(单位:min)容器中的细菌个数为y=104×2kt(k为常数)(参见图1-28).问:

(1)若经过30min,细菌个数增加1倍，求k值；

(2)预测当t→+∞时容器中细菌的个数.解(1)解方程104×2k(t+30)=2×104×2kt,得(2)因为,所以当时间无限增大时，容器中的细菌个数也无限增大.图1-28实训1.6

1.(传染人数)假定某种疾病流行t天后，感染的人数N由下式给出:

问：

(1)从长远考虑，将有多少人感染上这种病？

(2)有可能某天会有100万人染上病吗？50万人呢？25万人呢？2.(放射物衰减)一放射性材料的衰减模型为

N=100e-0.026t(单位：毫克).求：

(1)最初有多少？

(2)衰减10%所需要的时间?

(3)给出t→+∞时的衰减规律.

3.(火炉物体温度)一物体放在温度恒为150的火炉上，它的温度满足如下模型T=-100e-0.029t+100.问：

(1)物体达到100所需要的时间？

(2)t→+∞时，物体的温度为多少？

4.(人口预测)已知某一地区时刻t的人口数量满足N(t)=200e-2e-0.5t,请预测该地区人数数量的变化趋势.5.(细菌培养)100个细菌放在培养器中，其中有足够的食物，但空间有限.对空间的竞争使得细菌总数满足模型(如图1-29所示):.问:

(1)7h后，容器中的细菌总数是多少？

(2)容器中最多能容下多少细菌？

6.(电路电阻)一个5Ω的电阻器与一个电阻为R的可变电阻并联，电路的总电阻为,求它在R→+∞时的极限，并解释其实际意义.图1-291.7函数的连续性

1.7.1函数连续性的概念

在自然界中，很多现象如某昼夜的气温、植物的生长等，都是连续不断地在运动变化着的，即当时间改变很小时，其相应的变化也很小，这种现象反映到数学的函数关系上就是函数的连续性.

1.增量

定义1.15设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2-u1叫做变量u的增量，记为Δu,即Δu=u2-u1.变量的增量也称为变量的改变量或变化量，增量Δu可以是正的，也可以是负的.在Δu为正时，变量u从u1变到u2=u1+Δu是增大的；在Δu为负时，变量u从u1变到u2=u1+Δu是减小的.

2.连续函数的概念

1)f(x)在点x0连续的定义

定义1.16设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，自变量x在点x0取得增量Δx时，相应的函数增量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若当Δx→0时,极限,则称函数y=f(x)在点x0连续.事实上，设x=x0+Δx,则Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(x)-f(x0),

且Δx→0就是x→x0,所以f(x)=f(x0)+Δy,等价于,于是得到函数连续的等价定义.

定义1.17设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若当x→x0时，极限,则称函数y=f(x)在点x0连续.2)f(x)在区间上连续性的定义

若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，则称函数f(x)在区间(a,b)内连续.

若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在左端点x=a处右连续，右端点x=b处左连续，则称函数f(x)在[a,b]上连续.

注意:f(x)在左端点x=a处右连续是指,在右端点x=b处左连续是指.

仿照函数f(x)在开区间(a,b)内及闭区间[a,b]上连续性的定义，请读者思考函数f(x)在半开区间(a,b]与[a,b)及开区间

(-∞,+∞)内的连续性的定义.4.函数的间断点及其分类

1)函数的间断点

定义1.18若函数f(x)在点x0满足下列条件之一，则称点x0为函数f(x)的间断点或不连续点.

(1)f(x)在点x0无定义；2)间断点的分类

(1)第一类间断点.极限与都存在的间断点称为第一类间断点.第一类间断点又分为两种情形，即可去间断点与跳跃间断点.

①可去间断点：若与都存在，

且即存在，但是f(x)在点x0无定义或f(x)≠f(x0),则称点x0为f(x)的可去间断点.例1-40讨论下列指定的点是否为函数的可去间断点.1.7.4闭区间上连续函数的性质

下面给出闭区间上连续函数的三个重要性质，它们的正确性不难从几何图形上看出.

定理1.6(最值定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值.

这一性质的正确性，可以直观地从图1-30中反映，但“闭区间”和“连续”这两个条件是不可少的.例如，函数

在(0,1)上连续，但无法取得最值；又如函数y=tanx在[0,π]内的处间断，也无法取得最值图1-30定理1.7(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值：f(a)=A,f(b)=B,则无论C是A与B之间怎样的一个数，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得

f(ξ)=C,a<ξ<b

定理1.7的几何解释参见图1-31.

定理1.8(零点定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.如图1-32所示.图1-31图1-32例1-48证明方程x3-x-1=0在区间(1,2)内至少有一个根.

证明因为f(x)=x3-x-1在闭区间[1,2]上连续，又

f(x)=-1<0,f(2)=5>0

根据零点定理，在(1,2)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即

ξ3-ξ-1=0

这表明方程x3-x-1=0在区间(1,2)内至少有一个根.1.8用MATLAB求函数的极限

1.MATLAB简介

MATLAB(矩阵实验室)是MATrixLABoratory的缩写，是一款由美国TheMathWorks公司出品的商业数学软件.

MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境.

除了矩阵运算、绘制函数/数据图像等常用功能外，MATLAB还可以用来创建用户界面及与调用其他语言

(包括C，C++和FORTRAN)编写的程序.

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件,而软件MATLAB在数值计算方面首屈一指.

MATLAB将矩阵运算、数值分析、图形处理、编程技术结合在一起，为用户提供了一个强有力的科学及工程问题的分析、计算和程序设计工具，它还提供了专业水平的符号计算、文字处理、可视化建模仿真和实时控制等功能，是具有全部语言功能和特征的新一代软件开发台.MATLAB已发展成为适合众多学科、多种工作平台、功能强大的大型软件.从本章开始，将逐章介绍MATLAB的一些简单用法.

MATLAB安装成功后，在Windows桌面上双击MATLAB快捷键，即可打开MATLAB界面(参见图1-33).

MATLAB的操作界面是一个高度集成的工作界面，引入了大量的交互工作窗口并按一定的次序和关系连接在一起.

它的通用操作界面包括多个常用的窗口，如图1-33中所示为默认窗口，包括：命令窗口、工作空间窗口/当前目录浏览器/交互界面分类目录窗口、历史命令窗口等.图1-33

2.命令窗口的使用

1)简单运算

范例1-1求[10+2×(5-3)]÷42的算术运算结果，其步骤为：

(1)在命令窗口中输入以下内容：

>>(10+2*(5-3))/4^2

(2)按“Enter”键.

(3)显示以下结果：

ans=

0.87502)MATLAB表达式的输入

MATLAB语句由表达式和变量组成，有两种常见的形式：

表达式

变量=表达式

表达式由变量名、运算符、数字和函数各部分组成，“=”为赋值符号，将其右边表达式运算的结果赋给左边.范例1-2建立变量y=2,并计算时x的值，其步骤为：

(1)在命令窗口中输入以下内容：

>>y=2；

>>x=y^4-sqrt(y+2)

(2)按“Enter”键.

(3)显示以下结果：

x=

14

3)命令的续行输入

当一个表达式在一行写不下时，可换行，但必须在行尾加上四个英文句号.范例1-3求的值，其步骤为:

(1)在命令窗口中输入以下内容：

>>s=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6....

+1/7-1/8

(2)按“Enter”键.

(3)显示以下结果：

s=

0.6345注意：

(1)同一行中若有多个表达式，则必须用分号或逗号隔开.若表达式后面跟分号，将不显示结果.

(2)当不指定输出变量时，MATLAB将计算值赋给缺省变量ans(answer).

(3)在MATLAB里，有很多控制键和方向键用于命令行的编辑.

(4)当命令行有错误，MATLAB会用红色字体提示.3.MATLAB的变量名的命令规则

(1)以字母开头，后面可跟字母、数字和下划线；

(2)大小写字母有区别；

(3)不超过31个字符.

MATLAB的预定义变量(参见表1-7)在使用时不要再定义.

4.函数

MATLAB提供了很多内部函数，如abs()、sqrt()等.表1-8列出了部分常用的函数.

5.求函数的极限

用命令“limit”求极限，其格式参见表1-9.范例1-4求下列函数极限:

解(1)输入命令：

>>clear%清除前面的命令，以免前面命令对后面操作造成影响

>>symsx

>>limit((exp(x)-1)/x,x,0)

ans=

1(2)输入命令：

>>symsx

>>limit(sin(x)/(3*x),x,0)

ans=

1/3

(3)输入命令:

>>symsx

>>limit((1+1/x)^(2*x),x,inf)

ans=

exp(2)(4)输入命令：

>>symsx

>>limit((1/x)^tan(x),x,0,′right′)

ans=

1实训1.8

1.用help命令查询函数limit()、inf()的用法.

2.求下列函数极限.2.1导数的概念2.2导数的运算2.3隐函数与参数方程的求导法2.4函数的微分2.5用MATLAB求一元函数的导数第2章导数与微分2.1导数的概念

2.1.1导数问题的引入

在实际问题中研究变量的变化情况时，常常碰到求一个变量相对于另一个变量的变化快慢问题，即函数的变化率问题.如物体运动的速度、曲线的变化快慢等问题.为了阐述这一重要概念，下面先看两个实例.例2-1(变速直线运动的速度)设物体作直线运动，其运动方程为s=f(t),其中s为物体在时刻t离开起点的路程.在从t=t0到t=t0+Δt的时间间隔内，路程的增量(参见图2-1)是

Δs=f(t0+Δt)-f(t0).在这段时间内物体运动的平均速度为

显然，时间间隔Δt越短，平均速度越接近于物体在时刻t0的瞬时速度.当Δt无限接近于零时，就无限接近于物体在时刻t0的瞬时速度v(t0).因此，平均速度在Δt→0时的极限值就是物体在时刻t0的瞬时速度，即图2-1例2-2(曲线的切线)设曲线c的方程为y=f(x),P(a,f(a))为曲线c上一定点，求曲线c在点P处的切线斜率.

如图2-2所示,在曲线c上点P的邻近另取一点Q(a+Δx,

f(a+Δx)),Δx≠0,则割线PQ的斜率为

当点Q沿曲线c趋向于点P时，Δx→0,割线PQ趋向于极限位置PT.我们把直线PT称为曲线c在点P处的切线.此时，切线的斜率为图2-2以上两个实例反映的问题，虽然实际意义不同，但从数学观点来看，都可归结为计算函数增量与自变量增量之比的极限问题.这种特殊的极限就可称为函数的导数.2.1.2导数的定义

定义2.1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0有增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内且Δx≠0)时，函数有相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx→0时，两个增量之比的极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，且称这个极限为函数y=f(x)在点x0的导数(也称变化率),记作(2-1)即

若式(2-1)不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.

如果不可导的原因是因为Δx→0时,→∞,这时也称函数y=f(x)在x0处的导数为无穷大.

有了导数的概念，前面讨论的两个实例可以叙述为：

(1)变速直线运动的速度v(t0)是路程s=s(t)在t0时刻的导数，即(2)曲线在点P(a,f(a))处的切线的斜率等于函数f(x)在点a处的导数，即

k=f′(a)

如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，则称函数在区间(a,b)内可导.这时对任意给定的值x∈(a,b),都有一个确定的导数值与之对应，因此就构成了x的一个新的函数，称该函数为f(x)的导函数，记作

即显然，函数y=f(x)在点x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x=x0的函数值，即

以后在不会混淆的情况下，可把导函数简称为导数.

用导数的定义求简单函数的导数，可分为以下三个步骤：(1)求增量：给自变量x以增量Δx,求出对应的函数增量

Δy=f(x+Δx)-f(x)

(2)算比值：计算出两个增量的比值(3)取极限：对上式两端取极限

例2-3求函数y=C(C为常数)的导数.

解因为Δy=C-C=0,所以

即C′=0例2-4求函数y=x3的导数.

解

即

(x3)′=3x2

类似地，利用二项式定理，可求得y=xn(n∈Z+)的导数，(xn)′=nxn-1.更一般地，对于幂函数y=xa(a∈R),有(xa)′=axa-1.利用这个公式可以很方便地求出幂函数的导数.例如：例2-5求函数y=sinx的导数.

解

即(sinx)′=cosx

类似地，可以求得

(cosx)′=-sinx

例2-6求函数y=logax(a>0,a≠1)的导数.

2.1.3导数的几何意义

由例2-2及导数的定义可得：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为

y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

如果f′(x0)=0,则切线方程为y=y0,此时切线平行于x轴.

如果f′(x0)为无穷大，即切线的斜率是无穷大，则切线方程为x=x0,此时切线垂直于x轴.过点(x0,f(x0))且与切线垂直的直线称为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线.如果f′(x0)≠0,则法线的斜率为

从而法线方程为例2-8求曲线y=x3在点P(1,1)处的切线方程和法线方程.

解y′=(x3)′=3x2

曲线在点P(1,1)处的切线斜率为

k=y′|x=1=3x2|x=1=3

从而所求的切线方程为

y-1=3(x-1)

即3x-y-2=0

所求法线方程为

即x+3y-4=02.1.4函数可导与连续的关系

定理2.1若函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处连续.

证明因为

所以因此,即函数f(x)在点x0处连续.

定理2.1的逆定理不成立，也就是说，若函数f(x)在点x0处连续，f(x)在点x0处不一定可导.例2-9验证函数f(x)=|x|在x=0处连续但不可导.

证明因为图2-3*2.1.5函数的相对变化率——函数的弹性

例2-10设函数y=x2,当x由10变到11时，y由100变到121.此时，自变量与因变量的绝对改变量分别为Δx=1,Δy=21,而它们的相对改变量分别为

这表明，自变量x由10变到11的相对变动为10%时，y的相对变动为21%.这时两相对改变量的比为表示自变量x在(10,11)内从x=10起，当x改变1%时，y平均改变2.1%,我们称它为从x=10到x=11函数y=x2的平均相对变化率，也称为平均意义下函数y=x2的弹性.对任意点x,若y=f(x)可导,则有

函数f(x)在点x处的弹性E|x反映了随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度.即当x产生1%的改变时，f(x)近似地改变E|x%.在应用问题中解释弹性的具体意义时，经常略去“近似”两字.

例2-11求指数函数y=ax(a>0,a≠1)在点x处的弹性.

解实训2.1

1.若f(x)=3x,则f′(3)=———,[f(3)]′=———.

2.设y=2x2+1,试按定义求y′|x=-1.

3.求下列函数的导数.

4.求曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线和法线方程.5.设讨论a和b取何值时，f(x)在点x=0处可导.6.指出图2-4中的函数图形在a、b、c、d点是否连续，是否可导.

*7.验证双曲线y=上任意一点处的切线与两个坐标轴所围成的三角形面积等于2.

8.若函数p(t)表示在时刻t某件产品的价格，则在通货膨胀期间，p(t)将迅速增加.假设某国家的经济正处于通货膨胀时期，该国总统的经济顾问发现，通货膨胀率正在减慢，于是，在不久的某次发布会上，总统说：“通货膨胀仍然存在，但已经在控制之下，不久物价将会稳定下来.”(1)用描述为什么“通货膨胀仍然存在”.

(2)用描述为什么总统相信通货膨胀仍然存在,“但已经在控制之下”.

(3)用描述总统的预言“不久物价将会稳定下来”.图2-42.2导数的运算

上一节根据导数的定义可以求出一些简单函数的导数.但对于一般初等函数的导数，用导数的定义来求是比较困难的，因此有必要讨论函数的求导法则，将复杂函数的求导转化为对简单函数的求导.2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

设u=u(x)、v=v(x)都是x的可导函数，则有下面结论：

定理2.2(函数的和、差、积、商的求导法则)

(1)和、差的导数：(u±v)′=u′±v′.

(2)乘积的导数：(uv)′=u′v+uv′.

特别地，(C·u)′=C·u′(C为常数).(3)商的导数：其中v≠0.下面给出(2)的证明，其他的留给读者自己证明.

证明设y=u(x)v(x).因为

Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)

=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x+Δx)v(x)+u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x)

=u(x+Δx)Δv+v(x)Δu

所以

于是

即

(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

以上结果可简单地表示为

(uv)′=u′v+uv′

注意:导数的加法法则和乘法法则可以推广到有限多个可导函数的情形.

(1)(u1±u2±…±un)′=u1′±u2′±…±un′；

(2)(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.例2-12设y=ax+sinx-cosx(a>0,a≠1),求y′.

解y′=(ax)′+(sinx)′-(cosx)′

=axlna+cosx+sinx

例2-13设y=x3lnx,求y′.

解y′=(x3lnx)′=(x3)′lnx+x3·(lnx)′

=3x2lnx+x3·=3x2lnx+x2

=x2(3lnx+1)例2-14设y=tanx,求y′.

解

类似地，可以推导出

(cotx)′=-csc2x

例2-15设y=secx,求y′.

解

类似地，可以推导出(cscx)′=-cotx·cscx

2.2.2反函数的求导法则

定理2.3若函数y=f(x)在点x的某邻域内连续且单调，在点x处可导，且f′(x)≠0,则y=f(x)的反函数x=φ(y)在对应点y处也可导，且

例2-16求对数函数y=logax(a>0,a≠1)的导数y′.

解因为对数函数y=logax(a>0,a≠1)与指数函数x=ay互为反函数，函数y=logax(a>0,a≠1)在开区间(0,+∞)内单调、可导，由定理2.3可得即

特别地，当a=e时，有2.2.3复合函数的求导法则

设y=f[φ(x)]是由y=f(u)及u=φ(x)构成的复合函数，其中f为外层函数，φ为内层函数.设Δx为x的微小增量，因为u=φ(x)在点x处可导，所以当x→0时，有Δu→0.设Δu≠0,则有即{f[φ(x)]}′=f′[φ(x)]φ′(x)于是有下述定理.定理2.4若函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在相应点u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导，且有

或{f[φ(x)]}′=f′[φ(x)]φ′(x)

定理2.4又称为复合函数求导的链式法则，用语言表述为：复合函数的导数等于外层函数f(u)的导数和内层函数φ(x)的导数的乘积.

注意:在导数符