全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题51第43讲直线、平面平行的判定与性质

第43讲直线、平面平行的判定与性质【备选理由】例1考查线面平行的证明;例2考查利用面面平行的性质来证明线面平行;例3考查与线面平行有关的存在性问题,考查通过平行的相互转化来解决平行问题;例4考查线面平行、垂直的证明.例1[配例2使用][2026·山东德州开学考]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别为AB,PC的中点,求证:直线EF∥平面PAD.证明:如图,取PD的中点G,连接AG,FG.因为F,G分别为PC,PD的中点,所以FG∥CD且FG=12因为底面ABCD为正方形,E为AB的中点,所以AE∥CD且AE=12CD所以FG∥AE且FG=AE,所以四边形AGFE为平行四边形,所以EF∥AG.因为AG⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以直线EF∥平面PAD.例2[配例2、例4使用][2025·陕西西安期末]如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC,点E,F,G分别为BC,A1C,B1C的中点,点P是线段EF上的一点.(1)求证:AE⊥B1C;(2)求证:PG∥平面A1B1BA.证明:(1)由AB=AC,点E为BC的中点,得AE⊥BC.由AA1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,得AE⊥AA1,又BB1∥AA1,所以AE⊥BB1,又BB1∩BC=B且BB1,BC⊂平面BB1C,所以AE⊥平面BB1C,又B1C⊂平面BB1C,所以AE⊥B1C.(2)如图,连接EG,FG.由点E,F,G分别为BC,A1C,B1C的中点,得EG∥BB1,FG∥A1B1,由EG⊄平面A1B1BA,BB1⊂平面A1B1BA,得EG∥平面A1B1BA,同理可得FG∥平面A1B1BA,又EG∩FG=G且EG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面A1B1BA,又PG⊂平面EFG,所以PG∥平面A1B1BA.例3[配例5使用][2025·福建宁德期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,M是PD的中点,Q是AM的中点,棱PB上是否存在一点N,使得QN∥平面ABCD?若存在,求出PNNB的值;若不存在,请说明理由解:方法一:棱PB上存在一点N,使得QN∥平面ABCD,且PNNB=3证明如下:在平面PAD内,过Q作QT∥AD交PA于T,在棱PB上取点N,使PNNB连接NT,NQ,如图①所示.因为QT∥AD,QT⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以QT∥平面ABCD.设E为PA的中点,连接EM,则QT∥EM.因为Q是AM的中点,所以T是AE的中点,又E是PA的中点,所以PTTA=3因为PTTA=PNNB=3,所以NT∥又因为NT⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以NT∥平面ABCD.又QT,NT⊂平面QNT,QT∩NT=T,所以平面QNT∥平面ABCD.又QN⊂平面QNT,所以QN∥平面ABCD,所以棱PB上存在点N,使得QN∥平面ABCD,且PNNB=3方法二:假设棱PB上存在点N,使得QN∥平面ABCD.连接PQ并延长,交AD于F,连接BF,设E为PA的中点,连接ME交PF于R,如图②所示.因为M是PD的中点,E是PA的中点,所以ME∥AD,所以R是PF的中点.又因为Q是AM的中点,所以Q是RF的中点,所以PQQF=3因为QN∥平面ABCD,QN⊂平面PBF,平面PBF∩平面ABCD=BF,所以QN∥BF,所以PNNB=PQ所以棱PB上存在点N,使得QN∥平面ABCD,且PNNB=3方法三:假设棱PB上存在点N,使得QN∥平面ABCD.连接PQ并延长,交AD于F,连接BF,如图③所示.设PQ=λPF,则λ∈(0,1).因为Q是AM的中点,M是PD的中点,所以PQ=12PA+12PM=则PF=1λPQ=1λ12又因为A,F,D三点共线,所以12λ+14λ=1,解得λ=34,所以PQ因为QN∥平面ABCD,QN⊂平面PBF,平面PBF∩平面ABCD=BF,所以QN∥BF,所以PNNB=PQ所以棱PB上存在点N,使得QN∥平面ABCD,且PNNB=3例4[配例2使用][2025·广东深圳中学期末]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D异于点B,C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求证:A1F∥平面ADE.证明:(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,又∵AD⊂平面ABC,∴CC1⊥AD.∵AD⊥DE,DE,CC1⊂平面BCC1B1,DE∩CC1=E,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,AB=AC,∴A1B1=A1C1,又F为B1C1的中点,∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,∴CC1⊥A