2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-微专题(三) 构造法在导数中的应用

第四章一元函数的导数及其应用微专题(三)

构造法在导数中的应用重点解读近几年高考数学客观压轴题，多以导数为工具采用构造函数比较大小或求参数取值范围的形式出题，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明．类型一导数型构造函数(多角度探究)角度1利用f(x)与xn构造

已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，f(－3)＝0，当x>0时，3f(x)＋xf′(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是(

)A．(－∞，－3)∪(0，3)B．(－3，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：设g(x)＝x3f(x)，则g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，当x>0时，因为3f(x)＋xf′(x)<0，则g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)，则g(－x)＝(－x)3f(－x)＝x3f(x)＝g(x)，则g(x)为偶函数，可得g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(－3)＝0，则g(－3)＝g(3)＝0，当x>0时，由f(x)<0，得g(x)<0，即g(x)<g(3)，解得x>3.当x<0时，由f(x)<0，得g(x)>0，即g(x)>g(－3)，解得－3<x<0.综上所述，不等式f(x)<0的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)．故选B.【名师点拨】

题目已知中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新函数，然后再逆用单调性等解决问题．【对点训练】1.设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为___________________．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，则关于x的不等式f(x)>ex的解集为(

)A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．{x|x<1} D．{x|x>1}【名师点拨】

【对点训练】2.(多选)(2025·安徽滁州高三模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)＋f′(x)>0，则下列说法正确的是(

)A．ef(1)<f(0) B．ef(1)>f(0)C．2f(ln2)<ef(1) D．2f(ln2)>ef(1)解析：令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A错误，B正确；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正确，D错误．故选BC.角度3

利用f(x)与sinx，cosx构造【名师点拨】

若不等式满足或通过变形后满足“f′(x)cosx－f(x)sinx>0”的形式，优先考虑构造函数F(x)＝f(x)cosx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．【对点训练】【角度1和差型同构【名师点拨】

利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究，最后解决问题．【对点训练】角度2积型同构【名师点拨】

对于含有xex和xlnx的不等式或通过变形可以转化为含有xex和xlnx型的不等式，可以通过xex＝(lnex)ex进行指对互化，然后转化为研究函数f(x)＝xlnx的性质来解决问题．【对点训练】5.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<blnb，则(

)A．ab>e B．b>eaC．ab<e D．b<ea解析：由aea<blnb，得ealnea<blnb．设f(x)＝xlnx(x>0)，因为a>0，则ea>1，因为b>0，且blnb>aea>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝lnx＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则ealnea<blnb，即f(ea)<f(b)，所以ea<b.角度3商型同构(2025·山西吕梁孝义高三模拟)若关于x的不等式ea＋xl