2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-微专题(九) 子数列问题

第七章数列微专题(九)

子数列问题重点解读子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地锻炼学生的思维．类型一奇偶项问题【名师点拨】奇偶项问题的求解策略(1)对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求S2k－1.(2)含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和．【对点训练】解析：由a1＝0，得a2＝0，进而得a3＝2.当n为奇数时，an＋1＝2an，令n＝2k－1，k∈N*，则a2k＝2a2k－1，当n为偶数时，an＋1＝an＋2，令n＝2k，k∈N*，则a2k＋1＝a2k＋2＝2a2k－1＋2，则a2k＋1＋2＝2(a2k－1＋2)，当k＝1时，a1＋2＝2，所以{a2k－1＋2}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a2k－1＋2＝2k，即a2k－1＝2k－2，则a2k＝2a2k－1＝2k＋1－4.603(21013－2026)【名师点拨】求解公共项问题的策略(1)最小公倍数法：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．(2)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．(3)周期法：通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．【对点训练】3.(2024·福建漳州模拟)将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝(

)A．237 B．238

C．239 D．240解析：数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项，即2，8，32，128，…，可以写成3n－1的形式，观察归纳可得an＝22n－1，所以a20＝22×20－1＝239.故选C.4．(2025·广西梧州高三模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，若由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.类型三增减项问题(2024·山东滨州高三二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.(1)求{an}的通项公式；(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150.【名师点拨】增减项问题的求解策略对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：(1)先判断数列之间共插入(减少)了多少项(可运用等差、等比求和或者项数公式进行判断)；(2)根据题目给出的条件，确定它包含了哪些项．在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可．【对点训练】5.(多选)(2024·黑龙江哈尔滨二模)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的是(

)A．an＝6n－5B．当k＝2时，bn＝2n－1C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为66．(2025·广东湛江高三模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．(1)求r的值；(2)设bn＝2(1