2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-微专题(八) 情境下的数列问题

第七章数列微专题(八)

情境下的数列问题重点解读情境下的数列问题常通过具体的问题背景或新的定义，考查数列在解决实际问题中的应用，以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．常用的解题步骤是审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题，即一是理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是构建相应的数学模型，利用已学的数列知识、解题的方法和技巧求解．类型一数学文化中的数列问题【名师点拨】运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名的数学问题，解答时准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本类试题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既是基础又是有力保障．【对点训练】1.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{an}的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记bn＝(－1)n·an，n∈N*，则数列{bn}的前20项和是(

)A．110 B．100C．90 D．80类型二实际生活中的数列问题(1)(2024·湖南新高考高三第二次联考)张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码，则另外一个缺货尺寸是(

)A．28码 B．29.5码C．32.5码 D．34码(2)(2024·山西运城高三一模)某工厂加工一种电子零件，去年12月生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月的产量在去年12月的基础上提高4%，产品合格率比去年12月增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品数达到最大是今年的(

)A．5月 B．6月

C．7月 D．8月【名师点拨】求解数列实际问题的注意事项(1)审题、抓住数量关系、建立数学模型，注意问题是求什么(n，an，Sn)．(2)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(3)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(4)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．【对点训练】2.(2024·河南焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过_____年其年投入资金开始超过7000万元．(参考数据：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)(

)A．14 B．13C．12 D．113．(2024·北京高考)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm，325mm，325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为____mm，升量器的高为________mm.(不计量器的厚度)2357.54．(2025·湖北襄阳模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为________．80π类型三数列中的新定义问题对于B，由bn＝n＋cosnπ，可得(b1－x1)(b2－x2)＝(0－3)×(3－5)＝6>0，数列{bn}与数列{xn}不互为“交错数列”，故B不符合题意；对于C，cn＝2n＋sinnπ＝2n，(cn－xn)·(cn＋1－xn＋1)＝(2n－2n－1)(2n＋2－2n－3)＝1>0，数列{cn}与数列{xn}不互为“交错数列”，故C不符合题意；对于D，由dn＝2n＋cosnπ，可得(dn－xn)(dn＋1－xn＋1)＝(2n＋cosnπ－2n－1)[2n＋2＋cos(nπ＋π)－2n－3]＝1－cos2nπ＝0，数列{dn}与数列{xn}互为“交错数列”，故D符合题意．故选D.【名师点拨】数列新定义问题的解题策略策略一读懂定义，理解新定义数列的含义策略二特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论策略三通过特殊情况寻找新定义的