2020年上海市高考数学模拟试卷(一)

2020年上海市高考数学模拟试卷（一）（2020·上海闵行区·模拟）已知复数z1=−12i，z2=3+4i，若复数（2020·上海闵行区·模拟）已知点A2,−5，B−1,4，C5,1，连接AB，AC，若用fx表示所得折线段的函数解析式，则（2020·上海闵行区·模拟）不等式2−x−41（2020·上海闵行区·模拟）求值：limn→∞5⋅4（2020·上海闵行区·模拟）若点F为抛物线y=2x2的焦点，点P为抛物线上的任意一点，则PF的中点M所满足的方程为（2020·上海闵行区·模拟）已知a>b>0，c=2a+b，且ab=1，若l=logca，m=logcb，n=log（2020·上海闵行区·模拟）若函数fx=logax2−ax+3（2020·上海闵行区·模拟）若A，B，C，D，E，F，G所表示的七个区域如图所示，则由不等式组x−y>0,2x+y−1>0,x−2y−1<0所表示的区域所对应的字母是（2020·上海闵行区·模拟）若x+3n展开式的各项系数的和比它的二项系数的和大240，则n=（2020·上海闵行区·模拟）已知集合A，B，若定义A−B=xx∈A且x∉B（2020·上海闵行区·模拟）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=1，AA（2020·上海闵行区·模拟）在数列an中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列an为周期数列，其中T叫做数列an的周期．若周期数列xn满足xn+1=x（2020·上海闵行区·模拟）已知α为非零实常数，有关于幂函数y=x（1）若幂函数y=xα为奇函数，则（2）若幂函数y=xα的定义域为−∞,0∪（3）若幂函数y=xα为奇函数，则其中错误命题的个数是   A．0 B．1 C．2 D．3（2020·上海闵行区·模拟）若有直线l，m，n以及平面α，β，γ，则下列四个命题中真命题是   A．若l与m，l与n分别成异面直线，则m与n成异面直线 B．若l与平面α所成的角等于l与平面β所成的角，由α∥ C．若平面α与平面β所成的二面角等于平面α与平面γ所成的二面角，则β∥ D．若平面α，β，γ两两相交成三条直线l，m，n，则l∥m∥n或l，（2020·上海闵行区·模拟）若y=fx为定义在D上的函数，则“存在x0∈D，使得f−x A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分又非必要条件（2020·上海闵行区·模拟）设数列an的前n项之和为Sn，若Sn=1 A．一定是等差数列，但一定不是等比数列 B．一定是等比数列，但一定不是等差数列 C．一定是等差数列，或一定是等比数列 D．可以既不是等比数列，也不是等差数列（2020·上海闵行区·模拟）将一条长为10个单位长度的线段分割成6条短线段使得每条短线段的长度都为正整数．(1)在所有的可能的分割中，随机地选取一种，求以所选取的一种分割中的6条短线段作为棱恰能组一个三棱锥的概率；(2)上述三棱锥中有几对棱不在同一平面内？试分别求出它们所成的角的大小；(3)求上述三棱锥的体积V．（2020·上海闵行区·模拟）如图，△ABC是某小区内的一块绿地，其中AB=30米，BC=70米，∠A=2(1)试用反三角函数值表示∠C；(2)现要在绿地内，修建一条通道BD，D在AC上，且∠DBC=π6，求BD的长（精确到（2020·上海闵行区·模拟）已知定点A−4,0，B4,0，动点Px,y，直线PA与PB(1)求动点P的轨迹Γ所满足的方程；(2)设过原点的直线l与Γ交于点M，N，点D的坐标为1,1，求△DMN面积S的最大值，并求此时直线l的斜率．（2020·上海闵行区·模拟）已知数列an的前n项和为S(1)求a4(2)求数列an(3)求和：a1（2020·上海闵行区·模拟）已知y=fx是定义在0,+∞上，且以3π为周期的函数，若当fx(1)试写出函数y=fx在3(2)求当x∈0,2020时，方程∣

答案1.【答案】−5+2i【解析】由已知iz1=12，∣【知识点】复数的乘除运算2.【答案】y=−3x+1,【解析】线段AB的方程为y+5=−3x−2，−1≤x≤2，即y=−3x+1，−1≤x≤2，线段AC的方程为y+5=2x−2，2≤x≤5，即y=2x−9，故所求的折线段的解析式为y=−3x+1,【知识点】函数的解析式的概念与求法3.【答案】x∈(0,log【解析】展开行列式，得不等式3⋅2即3⋅2亦即3⋅2于是13解得0<x<log23，故所求解集为【知识点】三阶行列式4.【答案】58【解析】limn→+∞【知识点】数列极限（沪教版）5.【答案】y=4x【解析】抛物线方程为x2=1设点M的坐标为Mx,y由点M为PF的中点，得点P的坐标为P2x,2y−由题意点P在抛物线上，故其坐标应满足抛物线的方程，得4x2=y−116【知识点】抛物线的概念与方程6.【答案】l<n<m【解析】因为a>b>0，且ab=1，所以a2得a>1，类似可得b<1，又ab=1，故有b<ab<a，因为a+b>2ab所以0<2从而logca<log【知识点】均值不等式的应用7.【答案】(1,23【解析】由已知函数fx=log故当x=a2时，x2又a>0，且a≠1，得0<a<23，且a≠1由函数fx是减函数，且x2−ax+3在区间−∞,综上a的取值范围为1,23【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性8.【答案】D【解析】x−y>0所表示的区域为位于直线l:x−y=0下方的区域，即图中由A，B，C，D所表示的区域；2x+y−1>0所表示的区域为位于直线m:2x+y−1=0上方的区域，即图中由C，D，E所表示的区域；x−2y−1<0所表示的区域为位于直线n:x−2y−1=0上方的区域，即图中由A，D，E，F所表示的区域，它们的公共部分为区域D．【知识点】平面区域的表示9.【答案】4【解析】令x=1，得此展开式所有项的系数之和为4n又此展开式所有项的二项系数之和为Cn由题意4n−2n=240，即2【知识点】二项式定理中的赋值法10.【答案】A∩B【解析】由题意集合A−B是由所有属于A，且不属于B的元素组成，即在集合A中需去掉属于B的元素，集合A中属于B的元素可表示为A∩B，故A−B=A−A∩B，若设C=A−B，则C∪A∩B且C∩A∩B=∅，于是【知识点】交、并、补集运算11.【答案】16【解析】因为AC在平面ABCD内，又AA所以AA1⊥AC，从而AA1，同理BB1，B1B，CC1，C1C，因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又B1D1∥BD，从而BD，DB，B因为AC⊥BD，AC⊥BB所以AC⊥平面BB1D1D，从而BD1，容易证明AC与M中的其他元素的数量积都不等于零，故M中与AC的数量积等于零的元素个数为16．【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算12.【答案】1347【解析】先证T≠1，此因当T=1时，数列xn为常数项，且x1=由已知x3=x2−再证T≠2，此因当T=2时，由数列xn为以T=2为周期的数列，可得x2k−1=x1又由已知x3=x2−x1类似可得x4=x当T=3时，由题意x3k−2=x1=1，x按题意，x4=x3−x2此时x5=x4−x3于是得到数列xn的周期为T=3，且a=1，数列xn的每一个周期段为x3k−1=x2=1，x3k=x3故数列xn的前2019项之和为1346又x2020=x1=1，得数列x【知识点】数列的周期性13.【答案】C【解析】命题（1）错误，例如幂函数y=x命题（3）错误，例如幂函数y=x−1为奇函数，在命题（2）正确，由幂函数y=xα的定义域为可知此时幂函数y=x前者幂函数为奇函数，函数在−∞,0，以及在0,+∞分别单调递减，但在−∞,0∪它在−∞,0单调递增，在0,+∞单调递减，因此在−∞,0∪故若幂函数y=xα的定义域为故上述三个命题中有两个为假命题，应选C．【知识点】幂函数及其性质14.【答案】D【解析】命题A，B，C都是假命题，可举反例予以说明：在正方形ABCD−A1B1C1D1中，若分别取AA1，BC，CD所在的直线为l，m，n，则l与若取面对角线AC所在的直线为l，分别取平面ABB1A1与平面ADD1A1为平面α与平面β，则l与平面α所成的角以及l与平面若分别取平面ABCD、平面ABB1A1、平面ADD1A1、为平面α、平面β、平面γ，则平面α与平面β所成的二面角等于平面α与平面命题D为真命题证明如下：设α∩β=n，β∩γ=l，α∩γ=m，则由于m⊂α，n⊂α，得直线m与n共面，故m∥n或m与当m∥n时，由于n⊂β，故m∥β，又平面γ过直线m，且β∩γ=l，得当m与n相交时，不妨设交点为K，则K∈m，且K∈n，从而K∈平面γ，且K∈平面β，于是平面β与平面γ有一个交点K，因此它们必相交于过点K的一条直线，由于直线l是平面β与平面γ的交线，因此直线l必过点K，故直线l，【知识点】命题的概念与真假判断15.【答案】A【解析】由f−x02≠由前式得fx不是偶函数，由后式得f由此可得fx是非奇非偶函数，即f−x反之不然，例如有以下函数可作为反例：当x≠1时，fx=x，当x=1时，显然当x=1时，有f−x=f−1=−1，而−fx而当x≠±1以及x≠0时，都有f−x=−fx，即f−x≠f但是对于任意的x∈R，都有f−x2=f由此可见存在x0∈D，使得f−【知识点】函数的奇偶性、充分条件与必要条件16.【答案】D【解析】由Sn=112an+32n∈N∗，得Sn−1=112an−1+32（n−1∈N∗若当n≥2，且n∈N∗时，都有an+a若当n≥2，且n∈N∗时，都有an−a若当n≥2，且n∈N∗时，对某些n的值有an+an−1=0【知识点】等差数列的基本概念与性质、等比数列的基本概念与性质17.【答案】(1)将10分割成6个正整数可以有以下分法：5,1,1,1,1,1，4,2,1,1,1,1，3,3,1,1,1,1，3,2,2,1,1,1，2,2,2,2,1,1．考虑到三棱锥的四个面都是三角形，而三角形的两边之和应大于第三边，因此只有2,2,2,2,1,1才能制作成三棱锥，其中长为1的两条短细棒不能在同一个面上，于是三棱锥的各条棱长可以分别为AC=AD=BC=BD=2，AB=CD=1．故所求概率为15(2)三棱锥A−BCD中共有三对异面直线，它们分别为AB与CD，AC与BD，AD与BC．为求异面直线AB与CD所成的角的大小，可取CD的中点E，连接AE，BE，由AC=AD，BC=BD，可得△ACD与△BCD都是等腰三角形，又点E为CD的中点，故AE⊥CD，BE⊥CD，从而CD⊥平面ABE，得即异面直线AB与CD所成的角为π2为求异面直线AD与BC所成的角的大小，可取AB的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，显然EG∥AD，故∠EGF或它的补角即为异面直线AD与BC所成的角，易证△ACD≌从而AE=BE，故EF⊥AB，易得AE=AD2又EG=FG=1，得cos∠EGF=故异面直线AD与BC所成的角为π−arccos3显然异面直线AC与BD所成的角也为π−arccos3(3)V=【知识点】异面直线所成的角、古典概型18.【答案】(1)由正弦定理得sinC=因为∠A=2所以∠C<π2，故(2)易得∠BDC=5π6故sin∠BDC从而BD=BC⋅【知识点】解三角形的实际应用问题19.【答案】(1)由题意yx−4⋅y得动点P的轨迹Γ所满足的方程为x216+(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，易得此时有M0,−2，N0,2，从而当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为kx−y=0，与Γ的方程联立并消元，得x2解得M41+4k于是∣MN∣=8又点D到直线kx−y=0的距离为d=∣k−1∣由此可得S=1当3−8k≤0时，S≤2，当3−8k>0时，令t=3−8k，则S=21+等号当且仅当t=25t，即t=5时取得，此时综上所述△DMN面积S的最大值为