2020年上海市松江区高三数学第一学期期末质量抽查试卷

2020年上海市松江区高三数学第一学期期末质量抽查试卷（2020·上海松江区·模拟）已知集合A=xx−1≥0，B=0,1,2，则（2020·上海松江区·模拟）若角α的终边过点P4,−3，则sin3π（2020·上海松江区·模拟）设z=1−i1+i+2（2020·上海松江区·模拟）x2+2x5（2020·上海松江区·模拟）已知椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1，F2（2020·上海松江区·模拟）若关于x，y的二元一次方程组mx+4y=m+2,x+my=m无解，则实数m=（2020·上海松江区·模拟）已知向量a=1,2，b=m,−3，若向量a−2（2020·上海松江区·模拟）已知函数y=fx存在反函数y=f−1x，若函数y=fx+2（2020·上海松江区·模拟）在无穷等比数列an中，若limn→∞a1+（2020·上海松江区·模拟）函数y=ax+bcx+d的大致图象如图，若函数图象经过0,−1和−4,3两点，且x=−1和y=2是其两条渐近线，则a:b:c:d=（2020·上海松江区·模拟）若实数a,b>0，满足abc=a+b+c，a2+b2=1（2020·上海松江区·模拟）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，集合M=aa=A（2020·上海松江区·模拟）已知l是平面α的一条斜线，直线m⫋α，则   A．存在唯一的一条直线m，使得l⊥m B．存在无限多条直线m，使得l⊥m C．存在唯一的一条直线m，使得l∥ D．存在无限多条直线m，使得l∥（2020·上海松江区·模拟）设x,y∈R，则“x+y>2”是“x，y中至少有一个数大于1”的   A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件（2020·上海松江区·模拟）已知b,c∈R，若x2+bx+c≤M对任意的 A．M的最小值为1 B．M的最小值为2 C．M的最小值为4 D．M的最小值为8（2020·上海松江区·模拟）已知集合M=1,2,3,⋯,10，集合A⊆M，定义MA为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的MA的和记为S10，则 A．45 B．1012 C．2036 D．9217（2020·上海松江区·模拟）如图，圆锥的底面半径OA=2，高PO=6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．(1)求圆锥的侧面积与体积；(2)求异面直线CD与AB所成角的大小（结果用反三角函数表示）．（2020·上海松江区·模拟）已知函数fx(1)求fx(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若fA=0，b，a，c成等差数列，且AB⋅（2020·上海松江区·模拟）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为阶段0(1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式dv；并求k=0.9时，若汽车达到报警距离时，人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？（2020·上海松江区·模拟）设抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点Mm,0的直线l交Γ于不同的两点(1)若∣FA∣=3，求A点的坐标；(2)若m=2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；(3)若∣FA∣=∣FM∣，且直线l1∥l，l1与Γ有且只有一个公共点E，问：（2020·上海松江区·模拟）已知数列an满足：①②当n=2kk∈N∗时，an=n2；当n≠(1)求a1，a3，(2)若Sn=2020，求(3)求证：S2n=4S

答案1.【答案】1,2【知识点】交、并、补集运算2.【答案】−4【知识点】诱导公式3.【答案】1【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义4.【答案】40【知识点】二项式定理的通项5.【答案】4【知识点】椭圆的几何性质6.【答案】−2【知识点】直线与直线的位置关系7.【答案】−3【知识点】平面向量数乘的坐标运算8.【答案】(4,3)【知识点】反函数9.【答案】(0,1【知识点】无穷等比数列的前n项和（沪教版）10.【答案】2:−1:1:1【知识点】函数图象、函数的解析式的概念与求法11.【答案】−22【知识点】均值不等式的应用12.【答案】851【知识点】平面向量的数量积与垂直、古典概型13.【答案】B【知识点】空间的垂直关系、空间的平行关系14.【答案】A【知识点】充分条件与必要条件15.【答案】B【知识点】恒成立问题16.【答案】C【知识点】包含关系、子集与真子集17.【答案】(1)由题意，得OA=2，PO=6，所以PA=P所以圆锥的侧面积为S=πrl=π×2×2体积为V=1(2)取PO的中点E，连接DE，CE，则∠CDE或其补角即为所求，如图所示；因AO⊥EO，AO⊥CO，EO∩CO=O知，AO⊥平面又DE∥所以DE⊥平面所以DE⊥EC，所以△DEC是Rt△，由DE=12OA=1所以∠CDE=arctan13，即异面直线AB与CD所成的角为【知识点】圆锥的表面积与体积、异面直线所成的角18.【答案】(1)fx所以fmax此时2x+π6=(2)由fA=0得所以2A+π6=因0<A<π，所以A=由b，a，c成等差数列，得2a=b+c，因为AB⋅AC=2，所以bc由余弦定理，得a2所以a2=4a【知识点】余弦定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19.【答案】(1)由题意得dv=d当k=0.9时，dvtv(2)根据题意，要求对于任意k∈0.5,0.9，d即对于任意k∈0.5,0.9，20+v+120k由k∈0.5,0.9得1所以110<60v2所以0≤v<20（米/秒），20×3600所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．【知识点】均值不等式的实际应用问题、不等式的实际应用问题20.【答案】(1)由抛物线方程知，焦点是F1,0，准线方程为x=−1设Ax1,y1代入y2=4x得所以A点的坐标A2,22或(2)设Ax1,设直线AB的方程是：x=my+2，联立x=my+2,y2=4x,消去x由韦达定理得y1OA⋅故∠AOB恒为钝角，故原点O总在以线段AB为直径的圆的内部．(3)设Ax1,因为∣FA∣=∣FM∣，则∣m−1∣=x由m>0得m=x1+2故直线AB的斜率kAB因为直线l1和直线AB设直线l1的方程为y=−代入抛物线方程得y2由题意Δ=64y1设ExE,yES△OAE当且仅当y1x1由y12=4x12,所以M点的坐标为M3,0，S【知识点】抛物线中的动态性质证明、动态圆锥曲线问题的性质证明、三阶行列式、抛物线的概念与方程21.【答案】(1)因a2=1，a1所以a1a4=2，0≤a3<所以a3=0或a16=8，0≤a所以a9=0或(2)a2当2k−1<n≤2由于an所以a2k−1+m所以S64S128因为714<2020<2794，所以64<n<128．又2020−714=1306，1+2+3+⋯+50=1275<1306<1+2+3+⋯+50+51=1326，所以nmin(3)必要性：若S